Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005), страница 16

Упражнения 1. Приведите к каноническому виду уравнение Зх + 10ху+ Зу — 2х+ 2у — 9 = О. 2. Приведите к каноническому виду уравнение 9х — 24ху+ 16у — 34х — 38у — 9 = О. 3. Какого класса линию может определять уравнение второго порядка, если его левая часть раскладывается в произведение линейных мночленов? 4. При каком условии на его коэффициенты уравнение второго порядка в декартовой прямоугольной системе координат является уравнением окружности? 5.

Система координат удовлетворяет условиям )е1~ = (е2~ = 5, (е1, е2) = = 7. Какая линия определяется в этой системе координат уравнением х + + у- — 17 6. Докажите, что сумма коэффициентов А+ С в уравнении (1) не меняется при переходе от одной декартовой прямоугольной системы координат к другой такой же системе. 3 2. Эллипс, гипербола и парабола В предыдущем параграфе мы познакомились с классификацией линий второго порядка. Геометрические свойства только трех классов линий не являются очевидными. Ими мы сейчас займемся. 1.

Эллипс. Напомним, что мы назвали эллипсом линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением г е — ', + —,=1 (1) при условии а > Ь > О. Из уравнения (1) следует, что для всех точек эллипса ~х~ < а и ~д~ < Ь. Значит, эллипс лежит в прямоугольнике со сторонами 2а и 2Ь. Точки пересечения эллипса с осями канонической системы координат, имеющие координаты (а, 0), ( — а,О)., (О,Ь) и (О, — Ь), называются вершинами эллипса. Числа а, и Ь называются соответственно большой и малой полуосями эллипса. Гл. Ш..7инии и поверхности второго порядка Рис.

28. Здесь Ь/а=1/2 Рис. 29 всех точек уменьшаются в одном и том же отношении 6/а (рис. 28). С эллипсом связаны две замечательные точки, называемые его фокусами. Пусть по определению 2 2 од2 (2) и с > О. Фокусами называются точки ЕТ и Е2 с координатами (с,О) и ( — с, 0) в канонической системе координат (рис. 29). Для окружности с = О, и оба фокуса совпадают с центром. Ниже мы будем предполагать, что эллипс не является окружностью. Отношение в =— (3) называется эксцентриситетом эллипса. Отметим, что в < 1. П р е д л о ж е н и е 2.

Расстояние от произвольной точки М(х, д), лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов (см. рис. 29) является В каноническое уравнение входят только квадраты координат. Поэтому, если координаты (х, д) какой-либо точки М ему удовлетворя- Ь ют, то ему удовлетворяют и координа- 1 ты ( — х,д), (х, — д) и ( — х, — д) точек ЛХтт ЛХ2 и ЛХз (рис. 27).

Отсюда вытекает Предложение 1. Оси канонической системы координат являются осями симметрии эллипса, а начало канонической Мз — Ь 2 системы — его центром симметприи. Рис. 27 Внешний вид эллипса проще всего описать сравнением с окружностью радиуса а с центром в центре эллипса: х2 + д2 = а2. При каждом х таком, что ~х~ < а, найдутся две точки эллипса с ордиватами ~6 уà — итсот и две точки окруитвости с приплатами ~оуУТ вЂ” иа,ьоа. Пусть точке эллипса соответствует точка окружности с ординатой того же знака.

Тогда отношение ординат соответствующих точек равно 6/а. Итак, эллипс получается из окружности таким сжатием ее к оси абсцисс, при котором ординаты ~2. Эллипс, гипербола и парабола линейной функцией от ее абсциссы х: г1 — — (Е1ЛХ~ = а — вх, га — — ~Р~М~ = а+ех. (4) Доказательство Очевидно, что т1 = (х — с)а + у~. Подставим сюда выражение для д2, найденное из уравнения эллипса. Мы получим 2, 2 ох г~~ —— х — 2сх+ с + о Учитывая равенство (2), это можно преобразовать к виду 2 2 2 2 2 + ( )2 аг Так как х < а и ю < 1, отсюда следует, что справедливо первое из равенств (4): г~ — — а — ях.

Второе равенство доказывается аналогично. Предложение 3. Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы сумма ее расстояний до фокусов равнялась большой оси эллипса 2а. Необходимость условия очевидна: если мы сложим равенства (4) почленно, то увидим, что г1 + г2 —— 2а. (о) Докажем достаточность. Пусть для точки М(х, д) выполнено условие (5), т.

е. = 2а— Возведем обе части равенства в квадрат и приведем подобные члены: хе+а = а 2 Это равенство также возведем в квадрат и приведем подобные члены, используя соотношение (2). Мы придем к равенству о~х2 + а~у~ = = азо2, равносильному уравнению эллипса (1). ~~2 М С эллипсом связаны две заменг тг 1 чательные прямые, называемые еа его директрисами. Их уравнения ~, Р, о е1 в канонической системе координат (рис. 30) х= —, х= — —. (7) Рис. ЗО Директрису и фокус, которые лежат по одну сторону от центра, будем считать соответствующими друг другу.

Предложение 4. Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету эллипса в. Докажем это предложение для фокуса Я( — с, О). Пусть ЛХ(х, д) произвольная точка эллипса. Расстояние от ЛХ до директрисы с урав- Гл.

Ш..7инии и поверхности второго ггорядка пением х = — а/е по формуле (9) ~ 3 гл. П равно а 1 гг2 — — х + — = — (ех + а) . Из формулы (4) мы видим теперь, что гг/(Х2 — — .. Обратно, пусть для какой-то точки плоскости гг/аг = е, т. е. (и Н- с)л .4- ут = е (и ~- — ) .

Так как е = с/а, это равенство легко приводится к виду (6), из которого, как мы знаем, следует уравнение эллипса. Выведем уравнение касательной к эллипсу, заданному каноническим уравнением. Пусть ЛХо(хо, до) — точка на эллипсе и до ф О. Через ЛХо проходит график некоторой функции д = Х(х), который цсликож лежит на эллипсе. (для уо > 0 это график Гз(т) = 6 ГТ вЂ” тэззол, Нля уо < О график Гг(л) = — 6;/Т вЂ” лт)о~.

Не уточняя знака уоо обозначим подходящую функцию Х(х).) Для нее выполнено тождество ' „(У(х))' а- "Ьг Дифференцируем его по х: 2х 2ЯХ' а- 'Ь2 Подставляя х = х() и ~(хо) = д(. з находим производную от ~ в точке хоз равную угловому коэффициенту касательной: Ь х() з (хо) = — —., —.

о'-' уо Теперь мы можем написать уравнение касательной: хн д — до = — —., — (х — хо). аг уо Упрощая это уравнение, учтем, что Ьгх~ ~+ а~до2 = а2Ь2, так как ЛХ() лежит на эллипсе. Результату можно придать вид (8) При выводе уравнения (8) мы исключили вершины эллипса (а, О) и ( — а,О), положив до ф О. Для этих точек оно превращается, соответственно, в уравнения х = а и х = — а. Эти уравнения определяют касательные в вершинах.

Проверить это можно, заметив, что в вершинах х как функция от д достигает экстремума. Предоставим читателю проделать это подробно и показать тем самым, что уравнение (8) определяет касательную для любой точки ЛХо(хо, до) на эллипсе. Предложение 5. Касательная к эллипсу в точке ЛХо(хо,до) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезками, соединяюгиими эту точку с фокусами. ~2. Эллшгс, гипербола и парабола Доказательство Нам надо сравнить углы р1 и ~р2, составленные векторами Е~ЛХо и Е~Мо с вектором п, перпендикулярным касательной (рис. 31).

Из уравнения (8) находим, что п(хо/а , .уо/б~), и потому (Е1Мо, п) = —,(хо — с) + —,Уо —— Рис. 31 =1 — —, хес а — ехо аг а Используя (4), мы получаем отсюда, что соа д1 — — 1/(а~п~). Аналогично находим сов ~р2 — — 1/(а~п~). Предложение доказано. 2. Гипербола. Гиперболой мы назвали линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением 2 (9) Из этого уравнения видно, что для всех точек гиперболы ~х~ > а, т.

е. все точки гиперболы лежат вне вертикальной полосы ширины 2а (рис. 32). Ось абсцисс канонической системы ко- М1 М ординат пересекает гиперболу в точках с координатами (а, О) и ( — а, О), назы- О е1 ваемых вершинами, гиперболы. Ось ор- ма М2 динат не пересекает гиперболу. Таким образом, гипербола состоит из двух не связанных между собой частей. Они на- Рис. 32 зываются ее ветвями. Числа а и б называются соответственно вещественной и мнимой полуосями гиперболы. В точности так же,как и для эллипса, доказывается Предложение 6.

Для гиперболы оси канонической системы координат являются осями симметрии, а начало канонической системы центром симметрии. Для исследования формы гиперболы найдем ее пересечение с произвольной прямой, проходящей через начало координат. Уравнение прямой возьмем в виде у = кх, поскольку мы уже знаем, что прямая х = 0 не пересекает гиперболу. Абсциссы точек перечения находятся из уравнения 2 Поэтому, если б2 — агк~ > О, то х=~ аб Это позволяет указать координаты точек пересечения (аб/о, аИ/о) и Гл.

111..7инии и поверхности второго порядка ( — аЬ/а, — аЬИ/о), где обозначено о = (Ь2 — а2к2)112. В силу симметрии достаточно проследить за движением первой из точек при изменении к (рис. 33). Числитель дроби аЬ/ю постоянен, а знаменатель принимает наибольшее значение при к = О. Следовательно, наименьшую абсциссу имеет вершина (а,О). С ростом й знаменатель убывает, и х растет, стремясь к бесконечности, когда Й Рис.