Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005), страница 18

з7иния второго порядка, заданная общим уравнением 79 ~ 3. Линия второго порядка, заданная общим уравнением 1. Пересечение линии второго порядка и прямой. Рассмотрим линию второго порядка, заданную общим уравнением Ах + 2Вху + Сд + 2ох+ 2Еу+ Е = О (1) в декартовой системе координат, и исследуем пересечение этой линии с произвольной прямой х=хо+сИ, у=до+3~. (2) Значения параметра 1, соответствующие точкам пересечения, должны удовлетворять уравнению, получаемому подстановкой (2) в (1): А(хо + сИ)' + 2В(хо + й~) (до + ® + С(до + ~й) + + 2Р(хо + сИ) + 2Е(уо + /й) + Е = О (3) Раскрывая скобки и приводя подобные члены, мы получим уравнение Р1 + 2® + Рс = О, (4) в котором Р = Ас '+ 2Вс ~3 + С~Р.

(5) Я вЂ” (-4хо + Вдо + ~-'~) с~ + (Вхо + Сдо + Е) А (6) или, при другой группировке слагаемых, Ааа + 2Ва,З + С~Р = О, (9) и, следовательно, уравнение (4) является линейным. В этом случае оно имеет один корень при Я ,—~ О, а при Я = О либо выполнено тождественно (если и .й = О), либо не имеет решений. Следовательно, "исключительные" прямые или пересекают линию в единственной точке, или лежат на ней целиком, или не имеют с ней общих точек. В равенство (9) не входят координаты начальной точки прямой. Кроме того, оно остается справедливым, если умножить а и Д на общий ненулевой множитель.

О п р е д е л е н и е. Направление, определяемое вектором, компоненты которого удовлетворяют уравнению (9), называется асилптотичесним направлением линии второго порядка. а = (Аа+ Вмхо+ (Во+ СЯуо+.Оо+ ЕД. Свободный член — это значение многочлена при 1 = О, т. е. В = Ахо + 2Вхо уо + Суо2 + 2.0хо + 2Еуо + Е = О. (8) Вообще говоря, уравнение (4) квадратное, имеет не больше двух корней, и прямая пересекает линию или в двух точках, или в одной точке (кратные корни), или не пересекает ее (комплексные корни). Но возможны "исключительные" прямые, для которых Р = О, т.

е. 80 Гл. 111. Линии и поверхности второго порядка 2. Тип линии. Выясним, сколько асимптотических направлений может иметь линия второго порядка. Обозначив А В В С сформулируем следующее Предложение 1. Линия второго порядка имеет два асимптотических направления, если о < О, одно, если о = О, и ни одного, если о > О. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим несколько случаев.

1) Пусть А = С = О. Тогда В у- "0 и о = — В2 < О. Уравнение (9) имеет вид 2ВаД = О, и ему удовлетворяют векторы (1, 0) и (О, 1). 2) Пусть С ф О. Тогда вектор (0,1) не является решением этого уравнения, и каждое решение можно задать угловым коэффициентом й = ~3/о, удовлетворяющим уравнению Ск2 + 2Вй + А = О. Дискриминант этого уравнения равен В2 — АС = — о.

Следовательно, оно имеет два вещественных корня при о < О, один корень при о = 0 и не имеет вещественных корней при о > О. 3) Случай А ф 0 исследуется аналогично случаю 2, только нужно рассматривать не угловой коэффициент, а отношение о/~3. Поскольку разобранные выше случаи исчерпывают все возможности, предложение доказано. От противного нетрудно проверить, что и обратно число асимптотических направлений определяет знак о.

Мы определили асимптотические направления при помощи аналитического условия (9). Поэтому в принципе при изменении системы координат асимптотическое направление могло бы перестать быть асимптотическим, или, наоборот, обыкновенное направление стать асимптотическим. Из геометрического смысла асимптотических направлений видно, что в действительности асимптотические направления не зависят от выбора системы координат. Используя канонические уравнения, легко проверить, что эллипс не имеет асимптотиб ческих направлений, парабола имеет одно, а гипербола — два асимптотических направления (рис.

39). Поэтому линии второго порядка называются линиями гиперболического, параболического или эллиптического типа, смотря по тому, имеют они два, одно или не имеют ни одного асимптотического направления. Для линий гиперболического типа о < О, для параболического типа д = О, а для эллиптического о > О. 3. Диаметр линии второго порядка. Назовем хордой любой отрезок, концы которого лежат на линии, а остальные точки на ней рЗ. Линия второго порядка, заданная общим уравнением 81 не лежат.

Таким образом, хорда не может иметь асимптотического направления. Предположим, что рассматриваемая линия второго порядка имеет по крайней мере одну хорду. Этому условию удовлетворяют эллипсы, гиперболы, пары пересекающихся прямых, параболы и пары параллельных прямых. Фиксируем какое-нибудь неасимптотическое направление и исследуем множество середин хорд, имеющих это направление.

Если начальная точка Рис. 40 ЛХо(хо,до) секущей (2) находится в середине хорды., то корни уравнения (4) равны по абсолютной величине и отличаются знаком (рис. 40). Это будет так в том и только том случае, когда Я = О. Используя (7), мы получаем, что середины хорд направления (а,,З) лежат на прямой (Аа + В Ях + (Ва + С~З) у + .0а + ЕД = О.

(10) Определение. Прямая (10) называется диалетрол линии второго порядка, сопряженным направлению (а,,З). Стоит обратить внимание на то, что диаметром называется вся прямая. Это не означает, что середины хорд заполняют ее целиком. Так может быть, но возможно также, что множество середин хорд есть, например, отрезок или луч. Конечно, остается сомнение, действительно ли уравнение (10) определяет прямую: не окажутся ли в нем коэффициенты при переменных оба равными нулю? Допустим, что это так, т. е.

Аа + В~З = О, Ва + С,З = О. Умножим первое из этих равенств на а, второе на Д и сложим. Мы получим равенство (9), которое по предположению не имеет места. Следовательно, уравнение (10) определяет прямую. 4. Центр линии второго порядка. Обозначим левую часть уравнения (1) через Ф(х, у) и введем Определение. Точка О(хо,до) называется центром линии второго порядка Ф(х, д) = О, если для любого вектора а (а, 3) выполнено равенство Ф(хо + а; уо + ® = Ф(хо — а, уо — З). По-видимому, это определение зависит от выбора системы координат, так как в нем участвует не линия, а многочлен, стоящий в левой части ее уравнения. Допустим, что координаты (хо, до) точки О в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению (11). Будут ли *) Мы обозначаем направление компонентами ненулевого вектора, имеющего зто направление.

Ясно, что о и ~3 интересуют нас с точностью до общего множителя. 6 Д.В. Беклемишев Гл. 111..7инии и поверхности второго нарядна 82 ее координаты (хо, до) в другой системе координат удовлетворять равенству того же вида для многочлена Ф(х, у)., задающего ту же линию в новой системе координат? Легко видеть, что это так, потому что многочлен Ф так и выбирается, чтобы для координат любой точки выполнялось равенство Ф(х, д) = Ф(х, д). Нам остается только выписать это равенство для точек, получаемых из О сдвигом на векторы а и — а. Ниже мы докажем, что в том случае, когда линия содержит хоть одну точку, центры линии и только они являются ее центрами симметрии. Однако понятие центра несколько более общее: линии, являющиеся пустыми множествами, имеют вполне определенные центры, хотя говорить об их центрах симметрии смысла нет.

Например, каждая точка прямой д = 0 является центром линии с уравнениему +1=0. Получим систему уравнений для координат центра. С этой целью напишем подробнее равенство (11). Его левая часть равна А(хо + а) + 2В(хо + аНдо + Д) + +С(уо+Д) +20(хо+а)+2Е(уо+Д)+ Е Правая часть отличается от левой только знаками у а и Д. Поэтому при вычитании Ф(хо — а,до — ® из Ф(хо+ а,до+,о) уничтожаются все члены, кроме тех, в которые а и ~3 входят в первой степени, а члены с первыми степенями удвоятся. После упрощений мы получаем (Ахо + Вуо + Й)а + (Вхо + Сдо + Е)~$ = О. (12) Но равенство (11), а вместе с ним и равносильное равенство (12) имеет место при любых а и,З, в частности, при а = 1, Д = 0 и при а = О, Д = 1.

Отсюда следует, что координаты (хо, до) центра должны удовлетворять системе уравнений Ахо + Вдо + О = О, (13) Вхо + Суо + Е = О. Легко видеть, что и обратно, если справедливы равенства (13), то, ум- ножая их на произвольные числа а и,З и складывая, мы получим (12), а тем самым и (11). Исследуем, обязательно ли существуют центры у линии второго порядка, а если они существуют, то сколько их и как они расположе- ны. Система уравнений (13) согласно предложению 9 82 гл.

11 имеет единственное решение тогда и только тогда, когда (14) Таким образом, условие д ф 0 необходимо и достаточно для того, чтобы линия второго порядка имела единственный центр. Линии второго порядка, имеющие единственный центр, называются центральными. ~3. Линия второго порядка, заданная общим уравнением 83 Полученное условие показывает, что центральными являются линии эллиптического и гиперболического типов.

Условие о = 0 характеризует нецентральные линии. Это линии параболического типа. При условии о = 0 система (13) либо не имеет решения, либо равносильна одному из составляющих ее уравнений (предложение 9 8 2 гл.П). Это значит, что нецентральная линия либо не имеет центра (парабола), либо ее центры заполняют прямую линию (пары параллельных прямых, вещественных и мнимых, и пары совпавших прямых). П редло жение 2. Если линия второго порядка не является пустым множеством и имеет центр О(хо,до), то он ее центр симметрии. В самом деле, рассмотрим произвольную точку линии ЛХ(х,д) и докажем, что симметричная ей относительно О точка ЛХ1(х1, д1) также лежит на линии.