Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005), страница 14

7. Расстояние между скрещивающимися прямыми. Пусть прямые р и о не параллельны. Известно, что в этом случае существуют такие параллельные плоскости Р и ф что прямая р лежит в Р, а прямая а лежит в Я. (Если уравнения прямых г = гг + а11 и г = г2 + + а2~, то плоскость Р имеет начальную точку г1 и направляющие векторы а1 и а2.

Аналогично строится плоскость ® Расстояние 6 между Р и Я называется расстоянием между прямыми р и а. Если р и а пересекаются, то Р и ~ совпадают и 6 = О. Для того чтобы найти расстояние 6, проще всего разделить объем параллелепипеда, построенного на векторах г2 — г1, а1 и аа, на площадь его основания (рис. 24). Мы получим М1 а1 р ~(г~ — г1, а1, ае) ~ )(а1, а2~ ~ Рис. 24 Знаменатель этой дроби отличен от нуля, поскольку прямые не параллельны. Предложение 1. Прямые линии с уравнениями г = г1+ а1~ и г = г2 + а21 пересекаются тогда и только тогда, когда 6 = О, т.

е. (г2 — г1,а1,а2) = О, (а1,а2~ ~ О. 60 Гл. 11. Прямые линии и плоскости 8. Вычисление углов. Чтобы найти угол между двумя прямыми, следует найти их направляющие векторы и вычислить косинус угла между ними, используя скалярное произведение. При этом следует иметь в виду, что, изменив направление одного из векторов, мы получим косинус смежного угла. Для нахождения угла между прямой и плоскостью определяют угол 0 между направляющим вектором прямой и Рис. 25 ~Р='Р2='Р1 нормальным вектором плоскости. Если векторы выбрать так, чтобы сов 0 > О, и взять О < В ( к/2, то искомый угол дополняет 0 до к/2.

Угол между плоскостями находят как угол между их нормальными векторами. Полезна бывает формула для угла между прямыми линиями на плоскости, заданными уравнениями у = Й1х+ о1 и у = Й2х+ о2 в декартовой прямоугольной системе координат. Обозначим через ~р угол между прямыми, отсчитываемый от первой прямой ко второй в том же направлении, в котором производится кратчайший поворот от первого базисного вектора ко второму. Тогда ~~ ~р можно найти как тангенс разности углов, которые прямые составляют с осью абсцисс. Так как тангенсы этих углов равны угловым коэффициентам прямых, мы получаем — 1"+.,'Ь (10) Конечно, эта формула не имеет смысла, когда знаменатель дроби обращается в нуль.

В этом случае прямые перпендикулярны. Действительно, согласно предложению 1 ~2 векторы с компонентами (1, Й1) и (1, Й2) — направляющие векторы прямых, и их скалярное произведение равно 1+ й1й2. Мы получили Предложение 2. для перпендикулярности прямых с угловыми коэффициентами Й1 и Й~ в декартовой прямоугольной системе координат необходимо и достаточно выполнение равенства 1+ И1И2 — — О. 9.

Некоторые задачи на построение. а) Перпендикуляр из точки на плоскость. Проекция точки. Если (г — го, и) = О уравнение плоскости и дана точка ЛХ с радиус-вектором В., то прямая с уравнением г = К + 1п проходит через М и перпендикулярна плоскости. Решая совместно уравнения прямой и плоскости, найдем ортогональную проекцию ЛХ на плоскость. Из (В, — го+ 1п,п) = О находим 1 и подставляем в уравнение прямой. Мы получим радиус- вектор проекции (В, — ге, п) (и!-' Обратите внимание на структуру этой формулы: из радиус-векто- фЗ. Основные задачи о прямьгх и плоскостях ра К вычитается проекция К вЂ” го на нормальный вектор плоскости.

Из этих соображений можно было получить ответ. б) Перпендикуляр из точки на прямую. Пусть прямая задана уравнением [г — го,а~ = О и дана точка ЛХ с радиус-вектором К. Вектор р = [В, — го,а~ перпендикулярен плоскости, проходящей через прямую и точку М. Если точка не лежит на прямой, то р ~ О, и вектор [а, р~ = [а, [К вЂ” го, а)1 также ненулевой и перпендикулярен а и р. Следовательно, он лежит в указанной плоскости и перпендикулярен прямой. Итак, получено уравнение г = В. + г[а, [В.

— го, а)) перпендикуляра, опущенного из точки ЛХ на заданную прямую. Применив формулу двойного векторного произведения, вы заметите, что [а,р~ коллинеарен разности вектора К вЂ” го и его проекции на вектор а. Задачу можно было решить, заметив это свойство направляющего вектора перпендикуляра.

в) Уравнение проекции прямой на плоскость. Его просто получить, если не требуется находить направляющий вектор и начальную точку. Пусть заданная плоскость имеет уравнение (г, п) + +П = О., а прямая — уравнение [г — го,а~ = О, причем [а,п| ф О. Тогда плоскость (г — го, а,п) = О проходит через прямую перпендикулярно заданной плоскости. Таким образом, проекция прямой может быть задана системой из двух уравнений.

(г — го,а,п) = О, (г,п) +.0 = О. Направляющий вектор проекции Ь вЂ” проекция а на плоскость. Она получается из а вычитанием из него его проекции на нормаль: Ь=а — ',) и. 1 Р За начальную точку может быть принята точка пересечения проектируемой прямой с плоскостью, если она существует, или же проекция начальной точки прямой. г) Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым.

Пусть прямые с уравнениями г = гг + + айаг и г = г2 + 1а2 не параллельны, т. е. [аг,а2~ ~ О. Вектор р = [аг,а2~ перпендикулярен обеим прямым. Следовательно, плоскость (г — гг,агг [аг,а2~) = О (11) проходит через первую прямую и общий перпендикуляр к обеим прямым (рис. 26), а плоскость О (г — г2, аг, [аг, а~~) = О (12) Рис.

26 62 Гл. 11. Прямые линии и плоскости — — через вторую прямую и общий перпендикуляр. Поэтому общий перпендикуляр можно задать системой уравнений (11), (12). Чтобы найти его начальную точку, можно решить совместно уравнение первой прямой и плоскости (12). Направляющий вектор — [а~, а2). 10. Пучок прямых. Пучком прямых на плоскости называется множество прямых, проходящих через фиксированную точку центр пу та. Пусть А~х + В~д + С~ — — 0 и А2х + В2д + С2 — — 0 — уравнения двух прямых, принадлежащих пучку.

Тогда уравнение а(А~х+ В~у+ С~) +,3(А2х+ Вед+ С2) = 0 (13) при условии а2+,о~ ф 0 называется уравнением пучка прямых. Основанием для этого служит П ред ложе н и е 3. При любых а и Д (ае + э2 ф 0) уравнение (13) определяет прямую линию, принадлежащую пучку. Обратно, уравнение каждой прямой из пучка представимо в виде (13). Докажем сначала, что коэффициенты при переменных в уравнении (13) не равны нулю одновременно. Для этого перепишем его в виде (аА~ + ЗА2)х + (аВ~ + ДВ2)д + (аС~ + ДС2) = О.

Допустим, что аА~ + ДА2 — — 0 и аВ~ + ДВ2 — — О. Так как прямые пересекаются, А~В2 — А2В~ ф 0 и из предложения 9 ~ 2 вытекает, что значения а = О, ~3 = 0 единственные, которые удовлетворяют этим двум равенствам. Но эти значения мы исключили. Таким образом, уравнение (13) определяет прямую линию. Обозначим через хо, до координаты центра пучка. По условию А~хо + В~до + С~ — — О, А2хо + В2до + С2 — — О, а потому хо, до удовлетворяют уравнению (13), и прямая проходит через центр пучка. Вторая часть предложения будет доказана, если окажется, что через любую точку, отличную от центра пучка ЛХо, проходит прямая линия с уравнением вида (13).

Легко проверить, так ли это. Рассмотрим точку ЛХ~(х~, д~), отличную от ЛХо, и обозначим и — А~х~ + В~у~ + С~, о = Азх~ + В2д~ + С2. Так как наши прямые имеют только одну общую точку, числа и и о одновременно не равны нулю, и мы вправе положить а = — о, ~3 = и. При таких значениях а и ~3 координаты точки ЛХ~ удовлетворяют уравнению (13). Это означает, что соответствующая этим значениям прямая пучка проходит через ЛХ~, и предложение доказано. Заметим, что каждая пара чисел а и э' (а2 + ф ф 0) определяет в пучке единственную прямую, но каждой прямой соответствуют бесконечно много пропорциональных между собой пар чисел. Если нам известны координаты центра пучка, то уравнение пучка можно написать в виде а(х — хо) + о(д — до) = О, фЗ.

Основные задачи о прямьгх и плоскостях сг(Агх+ В1д+ Сгг+.Ог) + Д(А2х+ Взд+ С~г+ Рз) = О, где сгг + ф ф О, а в скобках стоят левые части уравнений двух различных плоскостей пучка. Связкой плоскостей называется множество плоскостей, проходящих через фиксированную точку центр связки. Уравнение связки плоскостей имеет вид а(Агх+ Вгд+ Сгг+.0г) +,3(А2х+ В2д+ С2г+.02) + + ~(Азх + Взд + Сзг+ 0з) = Ог где сг- + ~3~ + 'уз ф О, а в скобках стоят левые части уравнений плос- костей связки, имеющих центр своей единственной общей точкой. Предоставим читателю самостоятельно вывести эти уравнения, если он пожелает. 11.

О геометрическом смысле порядка алгебраической линии. Пусть на плоскости дана алгебраическая линия Ь, имеющая в декартовой системе координат уравнение Агх~ д~ + ... + А,х~'д~' = О. (14) Рассмотрим произвольную прямую с параметрическими уравне- ниями (15) х — хО + а1~~ д — дО + агг. Найдем точки пересечения А и прямой линии.

Они будут известны, если мы найдем соответствующие им значения параметра 1. Это будут те значения, при которых х и д, выраженные по форму- положив, что пучок определяется прямыми х — хо — — О и д — до — — О. Впрочем, и без того очевидно, что это уравнение произвольной прямой, проходящей через ЛХо.

Посмотрим на уравнение пучка прямых с несколько более общей точки зрения. Систему из уравнений прямых, определяющих пучок, можно рассматривать как уравнение центра пучка. Поэтому уравнение каждой прямой пучка есть следствие этой системы. Теперь наш результат можно сформулировать так. П р е д л о ж е н и е 4. Если система линейных уравнений имеет реигение, то некоторое линейное уравнение является ее следствием тогда и только тогда, когда оно есть сумма уравнений системьг, умноженных на какие-то числа.

Мы доказали это предложение для частного случая систем из двух уравнений с двумя неизвестными. В общем виде оно вытекает из результатов гл. гг о системах линейных уравнений. Другими геометрическими интерпретациями этого предложения являются пучки и связки плоскостей. Пучком плоскостей называется множество плоскостей, проходящих через фиксированную прямую ось пучка. Уравнение пучка плоскостей имеет вид Гл. Х1. Прямые линии и плоскости 64 лам (15), удовлетворяют уравнению (14).

Подставим (15) в (14): А1 (хо + аМ ' Ьо + а2~)" + " + -4. (хо + а1 ~) ' Ьо + аФ ' = О (16) Раскрывая скобки в каждом члене, мы получим многочлены относительно 1 степеней Й1 + 11, ..., Й,, + 1,. Их сумма будет многочленом, степень которого не выше, чем максимальная из степеней слагаемых. По максимальное из чисел к1 + 11, ..., к, +1, — это порядок линии Л. Поэтому степень уравнения (16) не превосходит порядка линии. Может, конечно, случиться, что все коэффициенты этого уравнения равны нулю, и оно представляет собой тождество.