Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005), страница 15

Если исключить этот случай, то число корней уравнения и, следовательно, число точек пересечения не превосходит порядка линии. Мы доказали П р е д ложе н и е 5. Число точек пересечения алгебраической линии с прямой, которая на ней не лежит целиком, не превосходит порядка линии. Существуют линии, которые ни с одной прямой не имеют в принципе возможного числа точек пересечения, равного порядку линии. Примерами могут служить линии с уравнениями х2+ уз = 0 или ( 2+р2)2 1 П Пример.

Архимедова спираль — линия с уравнением г = а~р в полярной системе координат пересекает каждую прямую, проходящую через полюс, в бесконечном числе точек. Следовательно, она не является алгебраической линией. УЛРажНЕНИН 1. В декартовой прямоугольной системе координат даны координаты вершин треугольника А(20, — 15), В( — 16, 0) и С( — 8,6). Найдите координаты центра и радиус окружности, вписанной в треугольник. 2. Начало координат лежит в одном из углов, образованных прямыми с уравнениями А1х+В1р+ С1 = 0 и А2х+ Веу+ С = О. При каком необходимом и достаточном условии на коэффициенты уравнений этот угол острый2 3.

Составьте уравнение прямой, проходящей через начало координат и пересекающей прямые с уравнениями х = 1 + 21, у = 2 + 31, ~ = — 1 и х = 41, у = 5 — 5~, ~ = 3+ 2~ 4. В декартовой прямоугольной системе координат найдите координаты центра и радиус сферы, проходящей через точку А(0, 1, 0) и касающейся плоскостей с уравнениями х + р = О, т, — р = 0 и х + д + 4~ = О. 5.

В декартовой прямоугольной системе координат даны координаты вершин треугольника А(1, 2, 3), В(1, 5, — 1) и С(5,3, — 5). Найдите координаты центра окружности, описанной около треугольника. 6. Напишите уравнения прямой, которая параллельна прямой г = го + + ао4 и пересекает прямыс г = г1 + а11 и г = ге + а28. ГЛАВА 1П ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ~ 1. Исследование уравнения второго порядка В общей декартовой системе координат линия второго порядка может быть задана уравнением1 Ах2 + 2Вхд + Сдз + 2Рх + 2Ед + Е = О., (1) в котором коэффициенты А, В и С не равны нулю одновременно. Исследуем множество точек, которые ему удовлетворяют, не предполагая заранее, что хоть одна такая точка существует.

С этой целью мы будем менять систему координат так, чтобы уравнение стало возможно проще. С самого начала можно считать систему координат декартовой прямоугольной, так как при переходе к прямоугольной системе координат общий вид уравнения (1) не изменится. При повороте базиса декартовой прямоугольной системы координат на угол р старые координаты точки т,д будут связаны с ее новыми координатами х', д' формулами (8) ~ 3 гл. 1 х: х совд — д япф, д: х з1п~Р+ д соаф. В новых координатах уравнение (1) примет вид А(т' сов у — д' эш р) 2 + 2В(~к соэ у — д' яп у) х х(т яви+ д соа р) + С(т а1п р+ д соа р) + ... = О. Здесь многоточием обозначены члены первой степени относительно х', д' и свободный член„которые нет необходимости выписывать.

Нас будет интересовать член с произведением х'д' в преобразованном уравнении. В невыписанные члены это произведение не входит, и мы подсчитаем, что половина коэффициента при х'д' есть В' = — А яп д соз р + В(соя~ р — яп2 ~р) + С яп д соя ~р. Если В = О, то поворачивать систему координат не будем. Если же В ф: ф:- О, то выберем угол р так, чтобы В' обратилось в нуль. Это требование приведет к уравнению 2Всоз2~р = (А — С) зш2~р.

(2) Если А = С, то соа 2р = О, и можно положить ~р = ~г/4. Если же А ф С, 1 ~ 2В 1 то выбираем у = — агс~~ ~ ~. Для нас сейчас важно то, что хоть *) Коэффициенты при произведении переменных и при их первых степенях обозначены 2В, 20 и 2Е, так как ниже часто будут употребляться половины этих коэффициентов. 66 Гл. 111..плинии и поверхности второго порядка один такой угол обязательно существует. После поворота системы координат на этот угол линия будет иметь уравнение А'х'з + С'у'~ + 2П'х' + 2Е'у' + Г' = О.

(3) Выражения для коэффициентов уравнения (3) через коэффициенты (1) подсчитать не трудно, но это не нужно. Теперь коэффициент при произведении переменных равен нулю, а остальные члены мы по- прежнему считаем произвольными. Сформулируем следующее вспомогательное Предложение 1. Если в уравнение (3) входит с ненулевым коэффициентом квадрат одной из координат, то при помощи переноса начала координат вдоль соответствующей оси можно обратить в нуль член с первой степенью этой координаты.

В самом деле, пусть, например, А' ф О. Перепишем (3) в виде 2.0' .О' ~/'2 Если мы сделаем перенос начала координат, определяемый формулами х" = х'+.0'/А', у" = у', то уравнение приведется к виду Ас о2+Сг н2+2Е~, о+Ро О как и требовалось. А. Предположим, что А'С' ~ О, .т. с. оба коэффициента отличны от нуля. Согласно предложению 1 при помощи переноса начала координат уравнение приведется к виду А'х"а+ С'ун~+ Ео = О. (4) Могут быть сделаны следующие предположения относительно знаков коэффициентов в этом уравнении.

А1. А'С' > О коэффициенты А' и С' имеют один знак. Для Ро имеются следующие три возможности. А1а,. Знак Г" противоположен знаку А' и С'. Перенесем Е" в другую часть равенства и разделим на него. Уравнение примет вид о2 о2 (5) где а2 = — 1го/А', 62 = — Ео/С'. Можно считать, что в этом уравнении а > О, 6 > О и а > 6. Действительно, если последнее условие не выполнено, то можно сделать дополнительную замену координат (6) О пре дел ение.

Линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением (5) при условии а > 6, называется эллипсом, уравнение называется каноническим уравнением эллипса, а система координат его канонической системой координат. При а = 6 уравнение (5) есть уравнение окружности радиуса а. Таким образом, окружность — частный случай эллипса. у1. Исследование уравнения второго порядка приводится к виду пе ог 2 (9) где а' = Е" /А', 62 = Рп/С'. О п р е д е л е н и е. Линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением (9), называется гиперболой, уравнение называется каноническим уравнением гиперболы, а система координат ее канонической системой координат.

А2б. Е" = О. Уравнение имеет вид (10) Его левая часть разлагается па множители ахо — сд" и ах" + сд" и, следовательно, обращается в нуль тогда и только тогда, когда равен нулю хоть один из сомножителей. Поэтому линия с уравнением (10) состоит из двух прямых. Эти прямые пересекаются в начале координат, и мы имеем, таким образом, пару пересекающихся прямых. Б.

Допустим теперь, что А'С' = О, и, следовательно., один из коэффициентов А' или С' равен нулю. В случае необходимости, делая замену (6), мы можем считать, что А' = О. При этом С' ~ О, так как иначе порядок уравнения был бы меньше двух. Используя предложение 1, мы приведем уравнение к виду С'д"2 + 2.0'хо + Ео = О. Б1. Пусть О' ф О. Сгруппируем члены следующим образом: С'д"з+ 2.0' хо+, = О. А1б. Знак Го совпадает с общим знаком А" и С". Тогда аналогично предыдущему мы можем привести уравнение к виду ог ое (7) Этому уравнению не удовлетворяют координаты ни одной точки. Уравнение, которое приводится к каноническому виду (7), называется уравнением мнимого эллипса. А1в.

Г' = О. Уравнение имеет вид (8) Ему удовлетворяет только одна точка х" = О, д" = О. Уравнение, приводящееся к каноническому виду (8), называется уравнением пары мнимых пересекающихся прямых. Основанием для этого названия служит сходство с приведенным ниже уравнением (10). А2. А'С' ( 0 — коэффициенты А' и С' имеют разные знаки. Относительно Г" имеются следующие две возможности. А2а..Г' ~ О. В случае необходимости, делая замену (6), мы можем считать, что знак г о противоположен знаку А'.

Тогда уравнение Гл. 111..7инии и поверхности второго порядка Перенесем начало координат вдоль оси абсцисс в соответствии с формулами перехода х' = х" + Га/20', д* = д". Тогда уравнение примет вид С"д"2+ 2.0'х* = О, или э2 2 э где р = — В'/С'. Мы можем считать, что р > О, так как в противном случае можно сделать дополнительную замену координат, изменяющую направление оси абсцисс: х = — х', д = д".

О пре дел ение. Линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением (11) при условии р > О, называется параболой, уравнение называется каноническим уравнением параболы, а система координат — ее канонической системой координат. Б2.

Допустим, что О' = О. Уравнение имеет вид С'д"2+ Еп = О. Относительно Гп есть следующие три возможности. Б2а. С'Гп ( О знаки С' и Е" противоположны. Разделив на С', приведем уравнение к виду (12) Левая часть уравнения разлагается на множители д" + а и д" — а. Обращение в нуль каждого из них определяет прямую линию. Эти прямые параллельны, и, таким образом, уравнение определяет пару параллельных прямых. Б2б. С'Еа > О знаки С' и Еп совпадают.

Разделив на С', приведем уравнение к виду д +а =О, (13) Этому уравнению не удовлетворяют координаты ни одной точки. Уравнение, приводящееся к каноническому виду (13), называют уравнением пары мнимых параллельных прямых. Б2в. Га = О. После деления на С' уравнение принимает вид Это уравнение эквивалентно уравнению д" = О, и потому определяет прямую линию.

Уравнение, приводящееся к каноническому виду (14), называется уравнением пары совпавших прямых. Соберем вместе полученные результаты. Т е о р е м а 1. Пусть в декартовой системе координат задано уравнение второго порядка (1). Тогда существует такая декартова прямоугольная система координат, в которой это уравнение принимает один из следующих девяти канонических видов: 9 е х д х 1) — + д =1; 2) — + д = — 1; 3) азха+с~у~ =О; а- '6- 'ае Ь-' ~2. Эллипс, гипербола и парабола ') г 4) — — —" = 1 5) а2х~ — с2д2 = 0 6) д2 = 2рх; 7) д2 — а~ = 0 8) д2 + а~ = 0 9) д2 = О. В соответствии с этим существуют семь классов линий второго порядка: 1) эллипсы; 3) точки (пары мнимых пересекающихся прямых); 4) гиперболы; 5) пары пересекающихся прямых; 6) параболы; 7) пары параллельных прямых; 9) прямые (пары совпавших прямых). Уравнению 2) мнимого эллипса и уравнению 8) пары мнимых параллельных прямых не удовлетворяет ни одна точка.