Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005), страница 17

33 приближается к числу Ь/а. Прямая у = = Ьх/а с угловым коэффициентом Ь/а не пересекает гиперболу, и прямые с большими угловыми коэффициентами ее тем более не пересекают. Любая прямая с меньшим положительным угловым коэффициентом пересекает гиперболу. Если мы будем поворачивать прямую от горизонтального положения по часовой стрелке, то к будет убывать, к2 расти, и прямая будет пересекать гиперболу во все удаляющихся точках, пока не займет положения с угловым коэффициентом — Ь/а.

К прямой д = — Ьх/а относится все, что было сказано о д = Ьх/а: опа нс пересекает гиперболу и отделяет прямыс, пересекающие се, от не пересекающих. Из приведенных рассуждений вытекает, что гипербола имеет вид, изображенный на рис. 33. О п р е д е л е н и е. Прямые с уравнениями д = Ьх/о, и д = — Ьт/а в канонической системе координат называются асимптотами гиперболы. Запишем уравнения асимптот в виде Ьх — ау = 0 и Ьх+ ад = О.

Расстояния от точки ЛХ(х, у) до асимптот равны соответственно )Ьх — ау) 61 —— (Ьх+ ау! ,Я +ь' боле, то Ь2х2 — а~уз = а2Ь', и Ь-' а'+ Ь~ Если точка М находится на гипер Ь,Ь, — ~Ьг;— а-' + (10) Предложение 7. Произведение расстояний от точки гиперболы до асимптот постоянно и равно азЬ2/(аз+ Ь2). Отсюда следует важное свойство асимптот. Предложение 8. Если точка движется по гиперболе так, что ее абсцисса по абсолютной величине неограниченно возрастает, то расстояние от точки до одной из асимптот стремится к нулю.

Действительно, хотя бы одно из расстояний 61 или Ьг при этих условиях должно неограниченно возрастать, и, если бы предложение было неверно, произведение не было бы постоянно. Введем число с, положив 2 2+Ь2 ~2. Эллипс, гипербола и парабола 75 и с ) О. Фокусами гиперболы называются точки К1 и Г~ с коорди- Рис. 34. с2=аг+Ь2 Рис. 35.

т2 — т1 — — 2а; т( — т2 — — 2а натами (с, 0) и ( — с, О) в канонической системе координат. Отношение г = с/а, как и для эллипса, называется эксцентриситетом. У гиперболы в ) 1. Предложение 9. Расстояния от произвольной точки М(х,у) на гиперболе до каждого из фокусов следующим образом зависят от ее абсциссы х: т1 — — ~Р~М = ~а — вх~, т2 — — ~Р~М~ = ~а+ях!. (11) Доказательство этого утверждения почти дословно совпадает с доказательством предложения 2, и мы не будем его воспроизводить. Заметим, что равенства (11) можно подробнее записать так: для правой ветви гиперболы (х ) а) т1 —— ех — а, тз — — ах+ а:, для левой ветви гиперболы (х < — а) т1 — — а — ах, та — — — ех — а.

Итак, для правой ветви т2 — т1 —— 2а, а для левой ветви т1 — т2 = 2а. В обоих случаях ~т2 — т1~ = 2а. (12) Предложение 10. Для того чтобы точка М лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы разность ее расстояний до фокусов по абсолютной величине равнялась вещественной оси гиперболы 2а. Необходимость условия уже доказана. Для доказательства достаточности условия его нужно представить в ниде = ~2а+ Дальнейшее отличается от доказательства предложения 3 только тем, что нужно воспользоваться равенством (10), а не (2). Директрисами гиперболы называются прямые., задаваемые в канонической системе координат уравнениями а а х= ~ х= (1З) Я Я Директрисы лежат ближе к центру, чем вершины, и, следовательно, не пересекают гиперболу.

Директриса и фокус, лежащие по одну сторону от центра, считаются соответствующими друг другу. 1л. 111..7инии и поверхности второго порядка Предложение 11. Для того чтобы точка лежала на гиперболе, Й необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фоку- М са к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету г (рис. 36). Доказательство повторяет доказательство предложения 4.

Докажем, например, необходимость условия для фокуса Я( — с, 0). Пусть М'(х, у) — точка гиперболы. Расстояние от ЛХ' до директрисы с уравнением х = — а/г по формуле (9) ~3 гл. 11 равно д' = х+ — = — )гх+ а!. Из формулы (11) мы видим теперь, что г'/д' = г. Уравнение касательной к гиперболе в точке Мо(хо,до), лежащей на ней, выводится так же, как соответствующее уравнение (8) для эллипса. Оно имеет вид ххо ууе (14) а2 о2 Прсдложспис 12. Касательная к гиперболе в точке ЛХо(хо,уо) есть биссектриса угла между отрезками, соединяющини эту точку с фокусали.

Доказательство почти не отличается от доказательства предложения 5. Рекомендуем читателю полностью провести доказательства этого и остальных утверждений, здесь сформулированных, но не доказанных для гиперболы. 3. Парабола. Параболой мы назвали линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением у = 2рх (15) при условии р > О.

Из уравнения (15) вытекает, что для всех точек параболы х > О. Парабола проходит через начало канонической системы координат. Эта точка называется вершиной параболы. Форма параболы известна из курса средней школы, где она встречается в качестве графика функции д = ах~. Отличие уравнений объясняется тем, что в канонической системе координат по сравнению с прежней оси координат поменялись местами, а коэффициенты связаны равенством 2р = а свокусол параболы называется точка Хг с координатами (р/2,0) в канонической системе координат. Директрисой параболы называется прямая с уравнением х = — р/2 в канонической системе координат (РЯ на рис. 37).

~2. Эллипс, гипербола и парабола Предложение 13. Расстояние от точки М(х,у), лежащей на параболе, до фокуса равно г=х+ —. 2 (16) Для доказательства вычислим квадрат расстояния от точки ЛХ(х, у) до фокуса по координатам этих точек: г~ = (х— — р/2) + д и подставим сюда д из канони- р/2 р/2 че ского уравнения параболы. Мы получаем г = х — — +2рх= х+— Р Е1 Отсюда в силу х > О следует равенство (16). Заметим, что расстояние от точки М до директрисы по формуле 9 2 2 гл.

П также равно г д=х+ —. 2 М Отсюда вытекает необходимость следующего условия. Рис. 37. т=й П р е д л о ж е н и е 14. Для того чтобы точка М лежала на параболе, необходимо и достаточно, чтобы она была одинаково удалена от фокуса и от директрисы этой параболы. Докажем достаточность. Пусть точка ЛХ(х, д) одинаково удалена от фокуса и от директрисы параболы: Возводя это уравнение в квадрат и приводя в нем подобные члены, мы получаем из него уравнение параболы (15). Это заканчивает доказательство. Параболе приписывается эксцентриситет е = 1.

В силу этого соглашения формула д — — Я верна и для эллипса, и для гиперболы, и для параболы. Выведем уравнение касательной к параболе в точке ЛХо(хо, до), лежащей на ней. Пусть уо ф О. Через точку Мо проходит график функции у = Дх), целиком лежащий на параболе. (Это у = ~/2рх или же у = — „/2рх, смотря по знаку до.) Для функции Х(х) выполнено тождество (~(х))2 = 2рх, дифференцируя которое имеем 2Х(х)~'(х) = 2р. Подставляя х = хо и ~(хо) = уо, находим ~'(хо) = р/до. Теперь мы можем написать уравнение касательной к параболе у — до = — (х — хо). до Упростим его. Для этого раскроем скобки и вспомним, что уо = 2рхо.

Теперь уравнение касательной принимает окончательный вид ддо = р(х + хо). Гл. 111..йинии и поверхности второго порядка Заметим, что для вершины параболы, которую мы исключили, положив уо ф О, уравнение (17) превращается в уравнение х = О, т. е. в уравнение касательной в вершине. Поэтому уравнение (17) справедливо для любой точки на параболе. Предложение 15. Касательная к параболе в точке ЛХо есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезком, который соединяет ЛХо с фокусом, и лучом, выходящим из этой точки в направлении оси параболы (рис.

38). Доказательство Рассмотрим касательную в точке ЛХо(хо,уо). Из уравнения (17) получаем ее направляющий вектор ч(уо,р). Значит, (ч,е~) = уо и сов р~ = уо/~ч~. Вектор ЕЛА имеет компоненты хо — р/2 и уо, а потому (х' ЛХо ч) — хоуо Уо +РУо — Уо хо + р 1 И 2 2) Но ~ЕЛА! = хо + р/2. Следовательно, сов д2 — — уо/)ч~.

Это заканчивает доказательство. Заметим, что )Р'Х! = ~ЕЛХо) (см. рис. 38). УПРажНЕНИЯ 1. Докажите, что вершины гиперболы и точки пересечения ее асимптот с директрисами лежат на одной окружности. 2. Фокус эллипса (гиперболы или параболы) делит проходящую через него хорду на отрезки длины и и и.

Докажите, что сумма 1/и+ 1/о постоянна. 3. Выведите уравнение эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе координат, приняв за полюс фокус, а за полярную ось луч, лежащий на оси симметрии и не пересекающий директрису, соответствующую данному фокусу. 4. На плоскости нарисованы эллипс и парабола вместе с их осями симметрии. Как с помощью циркуля и линейки построить их фокусы и директрисы? Тот же вопрос относительно гиперболы, у которой нарисованы асимптоты. (Задача построения осей симметрии и асимптот решается на основании материала З 3.) 5. Пусть и и о — длины двух взаимно перпендикулярных радиусов эллипса. Найдите сумму 1/и + 1/х . 6. Найдите кратчайшее расстояние от параболы уг = 12х до прямой х— — у+7=0.

7. Докажите, что отрезок касательной, заключенный между асимптотами гиперболы, делится пополам точкой касания. 8. В уравнение касательной к эллипсу (8) в качестве хо и уь подставлены координаты точки, лежащей не на эллипсе, а вне эллипса. Как расположена получившаяся прямая? 9. Из точки на директрисе проведены две касательные к параболе. Докажите, что они взаимно перпендикулярны, и отрезок, соединяющий точки касания, проходит через фокус. 93.