Матрицы и СЛУ - Кожевников, страница 7

, m, j = 1, . . . , p. ÒðàíñTïîíèðîâàíèå ýòèõ ðàâåíñòâ äàåò bj• ai • = 0 äëÿ âñåõ i = 1, . . . , m,j = 1, . . . , p. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñòîëáöû aTi• ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè ñèTTñòåìû BX = O : a1 • . . . am • ∈ Sol(B | O). Òîãäà ïî ïðåäëîæåíèþ 5.2TT⟨a1 • . . . am • ⟩ ⊂ Sol(B | O).Òàêæå (ïî ïðåäëîæåíèþ 5.5 è òåîðåìå 2.1) n − rg A== rg(Sol(A | O)) = rg(bT1 • , . .

. , bTp • ) = rg B , îòêóäà rg(Sol(B | O)) == n − rg B = rg A = rg(aT1 • . . . aTm • ) = rg⟨aT1 • . . . aTm • ⟩.TTÈç äîêàçàííîãî ðàâåíñòâà ðàíãîâ è âêëþ÷åíèÿ ⟨a1 • . . . am • ⟩ ⊂TT⊂ Sol(B | O) ïîëó÷àåì (ñíîâà ïî òåîðåìå 2.1) ⟨a1 • . . . am • ⟩ == Sol(B | O). ÄîêàæåìÈç ïðåäûäóùåãî ïðåäëîæåíèÿ ìû ïîëó÷àåìÀËÃÎÐÈÒÌ âîññòàíîâëåíèÿ îäíîðîäíîé ñèñòåìû ïî ìíîæåñòâóåå ðåøåíèé.X1 , . . . , Xs ∈ Mn×1 . Íàéäåì íåêîSol(A | O) = ⟨X1 , . . . , Xs ⟩.Äîñòàòî÷íî çàïèñàòü ìàòðèöó Φ, ñîñòîÿùóþ èç ñòîëáöîâ X1 , . . ..

. . , Xs , íàéòè ôóíäàìåíòàëüíóþ ìàòðèöó Ψ ñèñòåìû ΦT X = O, èTâçÿòü A = Ψ .Ïóñòü äàíà ñèñòåìà ñòîëáöîâòîðóþ ìàòðèöó45Aòàêóþ, ÷òî44 Ïðèâåäåì ñëåäóþùóþ òðàêòîâêó ýòîãî ïðåäëîæåíèÿ. Ïóñòü â ïðîñòðàíñòâåMn×1 ââåäåíà ñòðóêòóðà åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà ñî "ñòàíäàðòíûì"ñêàëÿðíûìTïðîèçâåäåíèåì (X, Y ) = X T Y . Òîãäà ïîäïðîñòðàíñòâà Sol(A | O) è ⟨aT1 • , . .

. , am • ⟩ îðòîãîíàëüíûå äîïîëíåíèÿ äðóã äëÿ äðóãà.45 Âîîáùå, òàêèõ ìàòðèö ìîæåò áûòü áåñêîíå÷íî ìíîãî.46Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ1. Ðåøèòå ñèñòåìó2x3 + x4 − x5 = 2,−4x − 2x + 2x = −4,3453x1 − 6x2 + 5x3 + x4 + 2x5 = 5,−x1 + 2x2 + 5x3 + 3x4 − 7x5 = 2.2. Íàéäèòå õîòÿ áû îäíó îäíîðîäíóþ ñèñòåìó, èìåþùóþ ìíîæå-    240−3  1  −1    ⟨ 2  ,  0  ,  2 ⟩.−1−11ñòâî ðåøåíèéAXB = C , ãäå C ∈ Mm×n A ∈ Mm×m è B ∈ Mn×n íåâûðîæ-3.

Ðåøèòå ìàòðè÷íîå óðàâíåíèåïðîèçâîëüíàÿ ìàòðèöà, àäåííûå ìàòðèöû.Φ ∈ Mn×s íåêîòîðàÿ ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà äëÿAX = O. Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ ôóíäàìåíòàëüíûõ ìàòðèö èìååò âèä ΦS , ãäå S ïðîáåãàåò âñå íåâûðîæäåííûå ìàòðèöû ïîðÿäêà s.4. Ïóñòüñèñòåìû5. Äîêàæèòå, ÷òî äâå ñîâìåñòíûå ñèñòåìû ýêâèâàëåíòíû òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà êàæäîå óðàâíåíèå îäíîé èç íèõ ÿâëÿåòñÿëèíåéíîé êîìáèíàöèåé óðàâíåíèé äðóãîé ñèñòåìû.A ∈ Mm×n . Ïóñòü Φ ∈ Mn×s ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòSol(A | O). Ñèñòåìà ñòðîê ìàòðèöû Φ ñ íîìåðàìè j1 , j2 , . . . , js ÿâëÿåòñÿ áàçèñíîé äëÿ Φ òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà ëèíåéíî íåçàâèñèìà ñèñòåìà ñòîëáöîâ ìàòðèöû A, ïîëó÷åííàÿ ïîñëå âû÷åðêèâàíèÿ ñòîëáöîâ ñ íîìåðàìè j1 , j2 , . . .

, js .6. Ïóñòüðèöà ñèñòåìû§ 6. Îïðåäåëèòåëü (äåòåðìèíàíò)Äåòåðìèíàíò êâàäðàòíîé ìàòðèöû ìîæåò áûòü îïðåäåëåí ðàçëè÷íûìè ýêâèâàëåíòíûìè ïóòÿìè. Êàê ìû óâèäèì íèæå, äåòåðìèíàíò ìàòðèöû ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé è êîñîñèììåòðè÷íîé ôóíêöèåé47ñòðîê èëè ñòîëáöîâ ìàòðèöû.46 Äëÿ âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ ìîæ-íî äåéñòâîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ñòðîê è ñòîëáöîâ ïðèâîäÿò (îòñëåæèâàÿ èçìåíåíèå îïðåäåëèòåëÿ) ìàòðèöó ê ìàòðèöå âåðõíåòðåóãîëüíîãî èëè íèæíåòðåóãîëüíîãîâèäà, äëÿ êîòîðîé îïðåäåëèòåëü ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ÷èñåë, ñòîÿùèõíà ãëàâíîé äèàãîíàëè.Èíäóêòèâíîå îïðåäåëåíèåÏîäìàòðèöó ðàçìåðàA ∈ Mm×nöû(m − 1) × (n − 1),ai •âû÷åðêèâàíèåì ñòðîêèäîïîëíèòåëüíîé ïîäìàòðèöåéïîëó÷åííóþ èç ìàòðè-a•j , íàçîâåìaij .

Äîïîëíè-è ñòîëáöà, îòâå÷àþùåé ýëåìåíòóòåëüíóþ ïîäìàòðèöó, îòâå÷àþùóþ ýëåìåíòóaij ,áóäåì îáîçíà÷àòüAij .Êàæäîé êâàäðàòíîé ìàòðèöåíàçûâàåìîåîïðåäåëèòåëåìèëèïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ÷èñëî,|A| èëè det A.A = (a11 ) ïîðÿäêà 1äåëèòåëü îáîçíà÷àþòÄëÿ ìàòðèöûAäåòåðìèíàíòîìïîëîæèììàòðèöûA.Îïðå-|A| = a11 .Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî äåòåðìèíàíò óæå îïðåäåëåí äëÿ êâàäðàòíûõìàòðèö ïîðÿäêànn − 1,çàäàäèìñëåäóþùåé ôîðìóëîé|A|äëÿ ìàòðèöûA = (aij )ðàçëîæåíèÿ ïî ïåðâîìó ñòîëáöó|A| =ïîðÿäêà:n∑(−1)i+1 ai1 |Ai1 |.(4)i=1Îñíîâíûå ñâîéñòâàÅñëè A = (aij ) âåðõíåòðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n, òî |A| = a11a22 .

. . ann.Òåîðåìà 6.1.◃Ïðèìåíèì èíäóêöèþ ïîn. Äëÿ ìàòðèö ïîðÿäêà 1 óòâåðæäåíèån − 1.âåðíî. Ïóñòü óòâåðæäåíèå âåðíî äëÿ ìàòðèö ïîðÿäêà46 Êàê ìîæíî çàìåòèòü, ýòî è äðóãèå ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëÿ íàõîäÿòñÿ â ñîãëàñèè ñ åãî ñëåäóþùåé ãåîìåòðè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèåé. Ïóñòü â íåêîòîðîì áàçèñåe1 , . . . , en n-ìåðíîãî âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà n âåêòîðîâ a1 , . . . , an çàäàíû êîîðäèíàòíûìè ñòîëáöàìè, êîòîðûå çàïèñàíû â ìàòðèöó A ðàçìåðà n × n. Òîãäàîïðåäåëèòåëü ìàòðèöû A ýòî îòíîøåíèå îðèåíòèðîâàííûõ îáúåìîâ ïàðàëëå-ëåïèïåäîâV± (a1 , .

. . , an ).V± (e1 , . . . , en )48Âñå ýëåìåíòû ïåðâîãî ñòîëáöà ìàòðèöûðàâíû 0, ïîýòîìó|A| = a11 |A11 |. Íî A11n − 1 ñ äèàãîíàëüíûìè|A11 | = a22 . . . ann . öà ïîðÿäêàA,ýëåìåíòàìèÑëåäñòâèå. | diag(λ1 , λ2 , . . . , λn )| = λ1 λ2 . . . λn= 1 |Di (λ)| = λ;.Òåîðåìà 6.2 (ëèíåéíîñòü ïî ñòðîêàì).a11 ,a22 , . . . , ann ,çíà÷èò,, â ÷àñòíîñòè, |E| =Ïóñòü äàíû êâàäðàòíûå... êîòîðûå îò- ′  ′′ a1 •a1 •′′′A =  A =  A = ,′′′an•an•an•a1 •êðîìå âîçìîæíî âåðõíåòðåóãîëüíàÿ ìàòðè-... ,... ,ëè÷àþòñÿ òîëüêî â ′ îäíîé′′ñòðîêå, òî åñòü äëÿ íåêîòîðîãî íîìåðàk âûïîëíåíî ai • = ai • = ai• ïðè i ̸= k . Òîãäà1) åñëè ak • = a′k • + a′′k •, òî |A| = |A′| + |A′′|;2) åñëè ak • = λa′k •, òî |A| = λ|A′|.ìàòðèöû◃Ïðèìåíèì èíäóêöèþ ïîn. Äëÿ ìàòðèö ïîðÿäêà 1 óòâåðæäåíèån−âåðíî.

Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî óòâåðæäåíèå âåðíî äëÿ ìàòðèö ïîðÿäêà1, äîêàæåì åãî äëÿ ìàòðèö A, A′ , A′′ ïîðÿäêà n.|A| ïî ïåðâîìó ñòîëáöó, âûäåëèâ îòäåëü(−1)i+1 ai1 |Ai1 |+(−1)k+1 ak1 |Ak1 |. Ïðè i ̸= k1) Çàïèøåì ðàçëîæåíèåíîk -å ñëàãàåìîå: |A| =i̸=kA′′i1 , îòëè÷àþòñÿ â îäíîé ñòðîêå, ïðè÷åì ñîîòâåò′′′ñòâóþùàÿ ñòðîêà ìàòðèöû Ai1 ðàâíà ñóììå ñòðîê ìàòðèö Ai1 è Ai1 .′′′Ñîãëàñíî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè |Ai1 | = |Ai1 | + |Ai1 | ïðè i ̸= k .′′′′′′Ó÷èòûâàÿ, ÷òî Ak1 = Ak1 = Ak1 è ai1 = ai1 = ai1 ïðè i ̸= k , èìååììàòðèöû|A| =Ai1 , A′i1∑∑è(−1)i+1 ai1 (|A′i1 | + |A′′i1 |) + (−1)k+1 (a′k1 + a′′k1 )|Ak1 | =i̸=k∑=  (−1)i+1 ai1 |A′i1 | + (−1)k+1 a′k1 |Ak1 | +i̸=k∑+  (−1)i+1 ai1 |A′′i1 | + (−1)k+1 a′′k1 |Ak1 | =i̸=k49=∑(−1)i+1 a′i1 |A′i1 | + (−1)k+1 a′k1 |A′k1 | +i̸=k∑+  (−1)i+1 a′′i1 |A′′i1 | + (−1)k+1 a′′k1 |A′′k1 | = |A′ | + |A′′ |.i̸=k2) Àíàëîãè÷íî 1),|A| =∑(−1)i+1 ai1 |Ai1 | + (−1)k+1 ak1 |Ak1 | =i̸=k=∑(−1)i+1 a′i1 (λ|A′i1 |) + (−1)k+1 (λa′k1 )|A′k1 | =i̸=k(=λ∑i̸=k)(−1)i+1 a′i1 |A′i1 | + (−1)k+1 a′k1 |A′k1 |= λ|A′ |.

Ïðè âûïîëíåíèè ýëåìåíòàðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿñòðîê De i(λ) II òèïà îïðåäåëèòåëü óìíîæàåòñÿ íà λ.Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ñ íóëåâîé ñòðîêîé ðàâåí 0.Ñëåäñòâèå1.Ñëåäñòâèå 2.◃ óòâåðæäåíèè 2) òåîðåìû äîñòàòî÷íî ïîëîæèòüλ = 0. Äàëåå äîêàæåì, ÷òî îïðåäåëèòåëü èçìåíèò çíàê, åñëè ïîìåíÿòüìåñòàìè äâå ñòðîêè ìàòðèöû. Âíà÷àëå ðàññìîòðèì ñëó÷àé äâóõ ñîñåäíèõ ñòðîê.Ïóñòü êâàäðàòíûå ìàòðèöû A è A′ òàêîâû, ÷òî (äëÿíåêîòîðîãî íîìåðà k) Pek k+1(A) = A′. Òîãäà |A′| = −|A|.Ëåììà.◃Äëÿ ìàòðèö ïîðÿäêà 1 íå÷åãî äîêàçûâàòü.

Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òîóòâåðæäåíèå âåðíî äëÿ ìàòðèö ïîðÿäêàðèö ïîðÿäêàèn − 1, äîêàæåì åãî äëÿ ìàò-n. ′ a1 •a1 • ..  ′  .. ′Ïîëîæèì A =  . , A =  . , ãäå ai • = ai •an•a′n•′′ak • = ak+1• , ak+1 • = ak • .ïðèi ̸= k, k + 1,50Çàïèøåìäåëüíîk -åðàçëîæåíèåè(k + 1)-å|A|ïîïåðâîìóñëàãàåìûå:|A| =ñòîëáöó,∑âûäåëèâîò-(−1)i+1 ai1 |Ai1 | +i̸=k,k+1+ (−1)k+1 ak1 |Ak1 | + (−1)k+2 ak+1 1 |Ak+1 1 |.

Ïðè i ̸= k, k + 1 ìàòðèöûAi1 è A′i1 ïîëó÷àþòñÿ äðóã èç äðóãà ïåðåñòàíîâêîé äâóõ ñîñåäíèõ′ñòðîê, çíà÷èò, ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè |Ai1 | = −|Ai1 |. Ó÷èòû′′′′âàÿ, ÷òî Ak1 = Ak+1 1 , Ak+1 1 = Ak1 , ak1 = ak+1 1 , ak+1 1 = ak1 è∑′′i+1 ′ai1 = ai1 ïðè i ̸= k, k + 1, èìååì |A| =(−1) ai1 (−|Ai1 |) +i̸=k,k+1∑+(−1)k+1 a′k+1 1 |A′k+1 1 |+(−1)k+2 a′k 1 |A′k 1 | = −(−1)i+1 a′i1 |A′i1 |−i̸=k,k+1− (−1)k+2 a′k+1 1 |A′k+1 1 | − (−1)k+1 a′k 1 |A′k 1 | = −|A′ |. Ïóñòü ìàòðèöà A′ ïîëó÷àåòñÿ èç ìàòðèöû Aïðèìåíåíèåìýëåìåíòàðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ñòðîê II òèïà.

Òîãäà|A′ | = −|A|.Ïðåäëîæåíèå 6.1.◃A′ = Pekl (A).Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè k < l . ÒîãäàePkl ìîæíî ïîëó÷èòü, ïîñëåäîâàòåëüíî âûïîëíÿÿ Pek k+1 , Pek+1 k+2 , . . .. . ., Pel−2 l−1 , Pel−1 l , Pel−2 l−1 , . . . , Pek+1 k+2 , Pek k+1 . Òàêèì îáðàçîì, Peklìîæíî îñóùåñòâèòü çà (2(l − k) − 1) îáìåíîâ ñîñåäíèõ ñòðîê. Íî èçÏîëîæèìëåììû ñëåäóåò, ÷òî â ðåçóëüòàòå íå÷åòíîãî ÷èñëà îáìåíîâ ñîñåäíèõñòðîê|A|ïîìåíÿåòñÿ íà−|A|. Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû, ñîäåðæàùåé äâå ðàâíûåñòðîêè, ðàâåí 0.47|Pij | = −1.Ïóñòü ìàòðèöà A′ ïîëó÷àåòñÿ èç ìàòðèöû Aïðèìåíåíèåìýëåìåíòàðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ñòðîê III òèïà.

Òîãäà|A′ | = |A|.Ñëåäñòâèå1.Ñëåäñòâèå 2.Ïðåäëîæåíèå 6.2.◃Ïóñòü ìàòðèöàA′ïîëó÷àåòñÿ èç ìàòðèöûA=a1 •...ïðåîá-an•47 Ýòî óòâåðæäåíèå ïåðåñòàåò áûòü ñëåäñòâèåì äëÿ îïðåäåëèòåëÿ ñ ýëåìåíòàìèèç ïîëÿ õàðàêòåðèñòèêè 2.51ðàçîâàíèåìTekl (λ),òî åñòüA′ = a′1 •. . , ãäå.′an•a′i • = ai •i ̸= k ,è. . , êîòîðàÿ ïîëó.′′an•′′÷àåòñÿ èç A çàìåíîé k -é ñòðîêè íà l-þ, òî åñòü ai • = ai • ïðè i ̸= k ,′′′′′è ak• = al• . Ïî òåîðåìå 6.2 èìååì |A | = |A| + λ|A |, íî ïî ñëåäñòâèþ′′1 èç ïðåäëîæåíèÿ 6.1, |A | = 0. a′k• = ak• + λal• .Ñëåäñòâèå.Ðàññìîòðèì ìàòðèöóA′′ = a′′1 •ïðè.|Tij (λ)| = 1Äëÿ ìàòðèöû A ∈ýêâèâàëåíòíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: A íåâûðîæäåííàÿ (= îáðàòèìàÿ) ⇔ |A| ̸= 0.Òåîðåìà 6.3 (êðèòåðèé íåâûðîæäåííîñòè-2).Mn×n◃ Êàê ìû ïîêàçàëè â ïðåäûäóùèõ óòâåðæäåíèÿõ, óñëîâèå |A| == 0 íå èçìåíÿåòñÿ ïðè ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ ñòðîê.

Åñëè Aíåâûðîæäåííàÿ, òî ïî òåîðåìå 4.3 A ïðèâîäèòñÿ ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ñòðîê ê åäèíè÷íîé ìàòðèöå, ïîýòîìó |A| ≠ 0. Åñëèæå A âûðîæäåíà, òî îíà ïðèâîäèòñÿ ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíè′ÿìè ñòðîê ê íåêîòîðîé ìàòðèöå A óïðîùåííîãî âèäà, ñîäåðæàùåé′ñòðîêó íóëåé. Ïîýòîìó (ñì. ñëåäñòâèå 2 èç òåîðåìû 6.2) |A | = 0 ⇒|A| = 0. 48Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà îá îïðåäåëèòåëå ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö.Âíà÷àëå äîêàæåì ëåììó (ÿâëÿþùóþñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì òåîðåìû).Ïóñòü S, A ∈ Mn×n, ïðè÷åì S ýëåìåíòàðíàÿ ìàòðèöà.Òîãäà |SA| = |S| · |A|.Ëåììà.◃Êàê íàì èçâåñòíî (ïðåäëîæåíèå 4.2),ëó÷åííàÿ èçASA ýòî ìàòðèöà, ïî-ñîîòâåòñòâóþùèì ýëåìåíòàðíûì ïðåîáðàçîâàíèåì48 Ýòà òåîðåìà èìååò ñëåäóþùóþ òðàêòîâêó.