Матрицы и СЛУ - Кожевников

Ìàòðèöû è ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèéÏ.À. Êîæåâíèêîâ27 ìàÿ 2016 ã.234ÎãëàâëåíèåÏðåäèñëîâèå7§1.Ââåäåíèå8Ëèíåéíûå îïåðàöèè íàä ìàòðèöàìè, òðàíñïîíèðîâàíèå ìàòðèö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ñëîæåíèå è óìíîæåíèå íà ÷èñëî. . . . . . .

. .Ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ è ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà§2.3.13Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . .14Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü è ðàíã . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .17Ðàíã ìàòðèöû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ . . . . . . . . .

. . . . . . .21Óìíîæåíèå ìàòðèö. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21. .21. . . .25Óìíîæåíèå ìàòðèö è ðàíã . . . . . . . . . . . . .26Îáðàòèìûå ìàòðèöû. Îáðàòíàÿ ìàòðèöàÇàäà÷è è óïðàæíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . .4.1414Ðàíã . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Îïðåäåëåíèå, îñíîâíûå ñâîéñòâà è ïðèìåðû§12Òðàíñïîíèðîâàíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü§. .1010Ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ è èõ ïðèìåíåíèå. . . .2728Ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ è ýëåìåíòàðíûåìàòðèöû. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .30Ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ è ðàíã. . . . . .32. . . . . . . . . . . . .34Íåâûðîæäåííûå ìàòðèöû§5.28Ìåòîä Ãàóññà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . .37Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé . . .

. . . . . . . . . . . .38Ôîðìû çàïèñè è êðèòåðèé ñîâìåñòíîñòè . . . . .3856Îäíîðîäíûåñèñòåìûñòðóêòóðà ðåøåíèÿëèíåéíûõóðàâíåíèé,. . . . . . . . . . . . . . . . .40Ðåøåíèå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ìåòîäîì§6.Ãàóññà . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .41Äâîéñòâåííîñòü. . . . . . . . . . . . . . . . . . .44Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . .46Îïðåäåëèòåëü (äåòåðìèíàíò). . . . . . . . . . . . . . .Èíäóêòèâíîå îïðåäåëåíèåÎñíîâíûå ñâîéñòâà. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .ßâíîå ðàçëîæåíèå îïðåäåëèòåëÿ464747. . . . .

. . . .53Ôîðìóëû ñ èñïîëüçîâàíèåì îïðåäåëèòåëÿ . . . .54Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . .56Ïðèëîæåíèå57Ëîãèêà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57Ìíîæåñòâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57Çíàê ñóììèðîâàíèÿ . . . . . . . . .

. . . . . . . .59Ïîíÿòèÿ îòîáðàæåíèÿ è ïðåîáðàçîâàíèÿ59Îòâåòû, óêàçàíèÿ è ðåøåíèÿ63Ñïèñîê îáîçíà÷åíèé72. . . .Ëèòåðàòóðà717ÏðåäèñëîâèåÝòî ó÷åáíîå ïîñîáèå ïîñîáèå íàïèñàíî íà îñíîâå ëåêöèé ïî êóðñó àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè è ëèíåéíîé àëãåáðû, êîòîðûé ÷èòàåòñÿàâòîðîì íà ôàêóëüòåòå îáùåé è ïðèêëàäíîé ôèçèêè ÌÔÒÈ ñ 2007ãîäà.Ïî òðàäèöèè, ñëîæèâøåéñÿ íà Ôèçòåõå, ìàòðèöû è ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñèñòåìàòè÷åñêè èçó÷àþòñÿ äî ââåäåíèÿ àáñòðàêòíûõ ïîíÿòèé âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà è ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ.Ïðè äàëüíåéøåì îñâîåíèè àáñòðàêòíûõ ïîíÿòèé ìàòðèöû, íàðÿäóñ íàãëÿäíîé ãåîìåòðèåé, ñòàíîâÿòñÿ èñòî÷íèêîì ìîòèâèðîâîê è ïðèìåðîâ. Òàêàÿ ìåòîäèêà ïðåïîäàâàíèÿ îòðàæåíà â ýòîì èçäàíèè.Èçëîæåíèå â îñíîâíîì òåêñòå âåäåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíî.

Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ÷èòàòåëü çíàêîì ñ ýëåìåíòàðíîé ìàòåìàòèêîé è îñíîâàìè òåîðèè ìíîæåñòâ (íåêîòîðûå íà÷àëüíûå ñâåäåíèÿ ñîáðàíûâ ïðèëîæåíèè). Îñíîâíîé òåêñò ñíàáæåí ñíîñêàìè-êîììåíòàðèÿìè,ìíîãèå èç êîòîðûõ äàíû ñ öåëüþ ñâÿçàòü èçëàãàåìûé ôðàãìåíò òåîðèè ñ äðóãèìè ñþæåòàìè èç àëãåáðû è ãåîìåòðèè. òåêñòå ñèìâîëàìè◃èîòìå÷àþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî íà÷àëî èêîíåö äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèé (òåîðåì, ïðåäëîæåíèé è ëåìì). Âñëó÷àå äîêàçàòåëüñòâà ýêâèâàëåíòíîñòèâîëû⇒ñëåäñòâèé⇐ îáîçíà÷àþòA ⇒ B è B ⇒ A.èA⇔BóñëîâèéAèBñèì-íà÷àëî äîêàçàòåëüñòâà ñîîòâåòñòâåííîÊóðñèâîì âûäåëÿþòñÿ ôîðìóëèðîâêèóòâåðæäåíèé, à òàêæå îïðåäåëÿåìûå ïîíÿòèÿ.Àâòîð áëàãîäàðåí ñâîèì ó÷èòåëÿì è êîëëåãàì èç ÌÃÓ è ÌÔÒÈ, âïðîöåññå ðàáîòû ñ êîòîðûìè ñêëàäûâàëèñü ïîíèìàíèå ìàòåìàòèêè èñòèëü åå ïðåïîäàâàíèÿ. Òàêæå àâòîð âûðàæàåò áëàãîäàðíîñòü ñâîèìñëóøàòåëÿì èíòåðåñ ê ïðåäìåòó è óâëå÷åííîñòü ìíîãèõ ñòóäåíòîâÌÔÒÈ ñïîñîáñòâîâàëè ðàáîòå íàä ýòèì èçäàíèåì.Äîöåíò ÌÔÒÈÏ.

Êîæåâíèêîâ8ÂâåäåíèåÏóñòü äàíû íàòóðàëüíûå ÷èñëàmnýëåìåíòîâñòîëáöàìèìàòðèöû, çàïèñàííûé âÌàòðèöåén.ðàçìåðà m × nmn äåéñòâèòåëüíûõ1 ÷èñåëâèäå òàáëèöû ñ mèèáóäåì íàçûâàòü óïîðÿäî÷åííûé íàáîð èçñòðîêàìè.Ìíîæåñòâî ìàòðèö (ñ äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè) ðàçìåðà2áóäåì îáîçíà÷àòüMm×n .Ìàòðèöû ðàçìåðà31×1m×nèíîãäà ïîçâîëèìñåáå îòîæäåñòâëÿòü ñ ÷èñëàìè.Ìàòðèöà= 1, 2, . . . , n,A ∈ Mm×nñ ýëåìåíòàìèaij ,ãäåi = 1, 2, . . . , m, j =âûãëÿäèò òàê:a11 a21A =  a31 .. .am1a12a22a32a13a23a33.................am2am3....a1na2n a3n ..

. .amn(1)Êîðîòêî ïèøåì A = (aij ). Ñòðîêó ñ íîìåðîì i áóäåì îáîçíà÷àòü ai • :()ai• = ai1 ai2 . . . ain . Ñòîëáåö ñ íîìåðîì j áóäåì îáîçíà÷àòü a•j :a1j a2j a•j =  . . Ñòðîêè è ñòîëáöû ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ìàòðèöû ðàç .. amjìåðà 1×n è m×1: ai• ∈ M1×n , a•j ∈ Mm×1 . Ñòðîêè è ñòîëáöû èíîãäà1 Èçëàãàåìàÿ çäåñü òåîðèÿ îñòàåòñÿ áåç èçìåíåíèé äëÿ ìàòðèö ñ ðàöèîíàëüíûìè èëè êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, èëè ìàòðèö ñ ýëåìåíòàìè èç ïðîèçâîëüíîãîïîëÿ K . Èíîãäà ðàññìàòðèâàþòñÿ ìàòðèöû, ýëåìåíòàìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ íå÷èñëà, à äðóãèå îáúåêòû íàïðèìåð âåêòîðû, èëè äàæå íåêîòîðûå îòîáðàæåíèÿ.

Âñòðå÷àþòñÿ è òàê íàçûâàåìûå áëî÷íûå ìàòðèöû ìàòðèöû, ýëåìåíòûêîòîðûõ ñàìè ÿâëÿþòñÿ ìàòðèöàìè.2 Âî ìíîãèõ êíèãàõ äëÿ ìíîæåñòâà ìàòðèö ðàçìåðà m × n ñ ýëåìåíòàìè èçïîëÿ (èëè êîëüöà) K ïðèíÿòî îáîçíà÷åíèå Matm×n (K).3 Êàê ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ìíîæåñòâî Mm×n åñòåñòâåííî îòîæäåñòâëÿåòñÿñ Rmn (èçîìîðôíî Rmn ).9âåêòîðàìè-ñòðîêàìè âåêòîðàìè-ñòîëáöàìèíàçûâàþòèñòðî÷íóþ çàïèñüðèöû (1) ìîæíî èñïîëüçîâàòüñòîëáöîâóþ çàïèñü A = (a•1a•2···a•n). Äëÿ ìàòa1 • a2 • A =  . , èëè .. am •.A, íàõîäÿùèåñÿ íà ïåðåñå÷åíèè íåêîòîðûõñòðîê ai1 • , ai2 • , . . .

, aik • (1 6 i1 < i2 < . . . < ik 6 m) è íåêîòîðûõñòîëáöîâ a•j1 , a•j2 , . . . , a•jl (1 6 j1 < j2 < . . . < jl 6 n), îáðàçóþò(ðàçìåðà k × l):Ýëåìåíòû ìàòðèöûïîäìàòðèöóa i1 j 1 a i2 j 1 .. .aik j1ai1 j2ai2 j2...........a ik j 2....ai 1 j lai 2 j l . .. .aik jl ÷àñòíîñòè, ñòðîêè è ñòîëáöû ìàòðèöû ÿâëÿþòñÿ åå ïîäìàòðèöà-4 Ôèêñèðîâàííûé ýëåìåíò ìàòðèöû òàêæå ìîæíî ñ÷èòàòü ïîä-ìè.ìàòðèöåé ðàçìåðàÅñëèm = n,1 × 1.òî ìàòðèöàA ∈ Mm×níàçûâàåòñÿïîðÿäêîìA = (aij ) ∈ Mm×na11 , a22k = min{m, n}äèàãîíàëüíûìèäèàãîíàëüA = (aij )nòðåóãîëüíîé1 6 j < i 6 n÷èñëîníàçûâàåòñÿêâàäðàòíîé ìàòðèöû. ìàòðèöåýëåìåíòû, íàçûâàþòñÿ,êâàäðàòíîé,.

. . , akk ,, îíè îáðàçóþò.Êâàäðàòíàÿ ìàòðèöàïîðÿäêà, åñëè äëÿ ëþáûõíàçûâàåòñÿâûïîëíåíîãäåãëàâíóþâåðõíå-aij = 0.Èíà÷å ãîâîðÿ, ìàòðèöà âåðõíåòðåóãîëüíàÿ, åñëè âñå åå ýëåìåíòû ïîäãëàâíîé äèàãîíàëüþ ðàâíû íóëþ. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿíåòðåóãîëüíûåíèæ-ìàòðèöû êàê êâàäðàòíûå ìàòðèöû, â êîòîðûõ âñåýëåìåíòû íàä ãëàâíîé äèàãîíàëüþ ðàâíû íóëþ. Êâàäðàòíàÿ ìàòðèöàA = (aij ) ∈ Mn×n íàçûâàåòñÿaij = 0. Òàêèì îáðàçîì,âûïîëíåíîäèàãîíàëüíîé, åñëè ïðèi ̸= jâ äèàãîíàëüíîé ìàòðèöå âñåýëåìåíòû âíå ãëàâíîé äèàãîíàëè íóëåâûå. Äèàãîíàëüíóþ ìàòðèöó4 Èíîãäà ïîäìàòðèöó k × l íàçûâàþò ìèíîðîì k × l, õîòÿ ÷àùå ìèíîðîì íàçûâàþò îïðåäåëèòåëü êâàäðàòíîé ïîäìàòðèöû.10 λ100 λ2.

.. .. .0 0······00.... ..··· λn,ó êîòîðîéaii = λiäëÿi = 1, 2, . . . , n,îáîçíà÷àåìñêàëÿðíîédiag(λ1 , λ2 , . . . , λn ). Ìàòðèöà diag(λ, λ, . . . , λ) íàçûâàåòñÿ,à ìàòðèöà diag(1, 1, . . . , 1) . Åäèíè÷íóþ ìàòðèöó ïîðÿäêà n áóäåì îáîçíà÷àòü En èëè E , åñëè èç êîíòåêñòà ÿñåí åå ïîðÿäîê.Ìàòðèöû A = (aij ) ∈ Mm×n è B = (bij ) ∈ Mk×l ñ÷èòàþòñÿ(ïèøåì A = B ), åñëè îíè èìåþò îäèíàêîâûå ðàçìåðû, èíà ñîîòâåòñòâóþùèõ ìåñòàõ ó íèõ ðàâíûå ýëåìåíòû (òî åñòü k = m,l = n è aij = bij äëÿ âñåõ i = 1, 2, . .

. , m, j = 1, 2, . . . , n).åäèíè÷íîéðàâíûìè äàëüíåéøèõ ðàññìîòðåíèÿõ íàì âñòðåòÿòñÿñòåìû ìàòðèö5ñòîëáöîâ).íàáîðû, èëèñè-(â ÷àñòíîñòè, ñèñòåìû âåêòîðîâ-ñòðîê è âåêòîðîâ-Åñëè â êîíå÷íîé ñèñòåìå ìàòðèö çàôèêñèðîâàí ïîðÿäîê,â êîòîðîì îíè ïåðå÷èñëÿþòñÿ, òî ãîâîðÿò îáìàòðèö.óïîðÿäî÷åííîé ñèñòåìå§ 1. Ëèíåéíûå îïåðàöèè íàä ìàòðèöàìè,òðàíñïîíèðîâàíèå ìàòðèöÑëîæåíèå è óìíîæåíèå íà ÷èñëîÌàòðèöû îäèíàêîâîãî ðàçìåðà ìîæíî ñêëàäûâàòü, ìàòðèöó ìîæíî óìíîæàòü íà ÷èñëî. Ýòè îïåðàöèè îïðåäåëåíû ñàìûì åñòåñòâåííûì îáðàçîì "ïîêîìïîíåíòíî".Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü äàíû ìàòðèöû A, B ∈ Mm×n , A = (aij ), B == (bij ). Ìàòðèöà (cij ) ∈ Mm×n íàçûâàåòñÿìàòðèö A è B ,åñëè cij = aij + bij äëÿ âñåõ i = 1, 2, .

. . , m, j = 1, 2, . . . , n.ñóììîéÏóñòü äàíà ìàòðèöà A ∈ Mm×n , A = (aij ), è ÷èñëîλ ∈ R. Ìàòðèöà (dij ) ∈ Mm×n íàçûâàåòñÿìàòðèöûA íà ÷èñëî λ, åñëè dij = λaij äëÿ âñåõ i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n.Îïðåäåëåíèå.ïðîèçâåäåíèåì5 Îòëè÷èå ñèñòåìû (íàáîðà) îò ìíîæåñòâà â òîì, ÷òî â íåé îäèí ýëåìåíò ìîæåò ñîäåðæàòüñÿ â íåñêîëüêèõ ýêçåìïëÿðàõ. Àíàëîãè÷íî ïîíÿòèþ ïîäìíîæåñòâàââîäèòñÿ ïîíÿòèå ïîäñèñòåìû (ïîäíàáîðà).

Ìîæíî ãîâîðèòü îá îïåðàöèÿõ îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ ñèñòåì.11A è B îáîçíà÷èì A + B , ïðîèçâåäåíèå ìàòðèöû AλA.ñîïîñòàâëÿþùóþ ïàðå ìàòðèö A è B ìàòðèöó A + B ,Ñóììó ìàòðèöíà ÷èñëîλîáîçíà÷èìÎïåðàöèþ,áóäåì íàçûâàòüñëîæåíèåì, à îïåðàöèþ, ñîïîñòàâëÿþùóþ ìàòðèöåA ïðîèçâåäåíèå A íà ôèêñèðîâàííîå ÷èñëî λ, áóäåì íàçûâàòü6 íà ÷èñëî λ.æåíèåìÎïðåäåëåíèå. Ìàòðèöà èçíàçûâàåòñÿMm×n ,íóëåâîé ìàòðèöåéâñå ýëåìåíòû êîòîðîé ðàâíûÎïðåäåëåíèå. Ìàòðèöà(−1)AO.íàçûâàåòñÿA.ïðîòèâîïîëîæíîéÌàòðèöó, ïðîòèâîïîëîæíóþ äëÿ ìàòðèöûÌîæíî ââåñòè îïåðàöèþìàòðèö, ïîëàãàÿ0,.Íóëåâûå ìàòðèöû îáû÷íî îáîçíà÷àþòìàòðèöûóìíî-âû÷èòàíèÿA,îáîçíà÷àåì, òî åñòü ãîâîðèòü îA − B = A + (−B).äëÿ−A.ðàçíîñòè∀ A, B, C ∈ Mm×n , ∀ λ, µ ∈ R âûïîëíåíû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:71) (A + B) + C = A + (B + C);2) A + B = B + A;3) A + O = A (çäåñü O ∈ Mm×n íóëåâàÿ ìàòðèöà);4) A + (−A) = O;5) (λ + µ)A = λA + µA;6) λ(A + B) = λA + λB;7) 1 · A = A;8) (λµ)A = λ(µA).Ïðåäëîæåíèå 1.1.◃Âñå ïåðå÷èñëåííûå ñâîéñòâà ëåãêî âûòåêàþò èç ñîîòâåòñòâóþ-ùèõ ñâîéñòâ äëÿ ÷èñåë òàê êàê îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿíà ÷èñëî âûïîëíÿþòñÿ "ïîêîìïîíåíòíî".6 Áîëåå òî÷íî, ñëîæåíèå ýòî îòîáðàæåíèå ψ : Mm×n × Mm×n → Mm×n ,ïðè êîòîðîì ψ(A, B) = A + B , à óìíîæåíèå íà λ îòîáðàæåíèå δλ : Mm×n →→ Mm×n , ïðè êîòîðîì δλ (A) = λA.7 Çíàêîìûå ñ íà÷àëàìè ëèíåéíîé àëãåáðû ëåãêî ïåðåôîðìóëèðóþò ýòî ïðåäëîæåíèå ñëåäóþùèì îáðàçîì: ìíîæåñòâî Mm×n ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà ÷èñëî.Ñâîéñòâà 1) è 2) íàçûâàþòñÿ àññîöèàòèâíîñòüþ è êîììóòàòèâíîñòüþ ñëîæåíèÿ, 5) è 6) ñâîéñòâàìè ëèíåéíîñòè, èëè äèñòðèáóòèâíîñòè.12∀ A, B ∈ Mm×n , ∀ λ, µ ∈ R âûïîëíåíî:1) 0 · A = λ · O = O;2) −(λA) = (−λ)A = λ(−A);3) (λ − µ)A = λA − µA;4) λ(A − B) = λA − λB.Ñëåäñòâèå.Ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ è ëèíåéíàÿ îáîëî÷êàÎïðåäåëåíèå.Ñóììàk∑λi AiÏóñòüA1 , A2 , .

. . , Ak ∈ Mm×n , λ1 , λ2 , . . . , λk ∈ R.íàçûâàåòñÿëèíåéíîé êîìáèíàöèåéêîýôôèöèåíòàìè λ1, λ2, . . . , λki=1. . . , Ak ñìàòðèöA1 , A2 , . . ..Åñëè õîòÿ áû îäèí èç êîýôôèöèåíòîâ â ñóììåk∑λi Aiíåòðèâèàëüíàÿíå ðà-i=1âåí÷òî0,òî ãîâîðÿò, ÷òî ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿòðèâèàëüíàÿëè ìàòðèöà. . .