Матрицы и СЛУ - Кожевников (1188216)
Текст из файла
Ìàòðèöû è ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèéÏ.À. Êîæåâíèêîâ27 ìàÿ 2016 ã.234ÎãëàâëåíèåÏðåäèñëîâèå7§1.Ââåäåíèå8Ëèíåéíûå îïåðàöèè íàä ìàòðèöàìè, òðàíñïîíèðîâàíèå ìàòðèö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ñëîæåíèå è óìíîæåíèå íà ÷èñëî. . . . . . .
. .Ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ è ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà§2.3.13Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . .14Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü è ðàíã . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .17Ðàíã ìàòðèöû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ . . . . . . . . .
. . . . . . .21Óìíîæåíèå ìàòðèö. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21. .21. . . .25Óìíîæåíèå ìàòðèö è ðàíã . . . . . . . . . . . . .26Îáðàòèìûå ìàòðèöû. Îáðàòíàÿ ìàòðèöàÇàäà÷è è óïðàæíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . .4.1414Ðàíã . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Îïðåäåëåíèå, îñíîâíûå ñâîéñòâà è ïðèìåðû§12Òðàíñïîíèðîâàíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü§. .1010Ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ è èõ ïðèìåíåíèå. . . .2728Ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ è ýëåìåíòàðíûåìàòðèöû. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .30Ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ è ðàíã. . . . . .32. . . . . . . . . . . . .34Íåâûðîæäåííûå ìàòðèöû§5.28Ìåòîä Ãàóññà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . .37Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé . . .
. . . . . . . . . . . .38Ôîðìû çàïèñè è êðèòåðèé ñîâìåñòíîñòè . . . . .3856Îäíîðîäíûåñèñòåìûñòðóêòóðà ðåøåíèÿëèíåéíûõóðàâíåíèé,. . . . . . . . . . . . . . . . .40Ðåøåíèå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ìåòîäîì§6.Ãàóññà . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .41Äâîéñòâåííîñòü. . . . . . . . . . . . . . . . . . .44Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . .46Îïðåäåëèòåëü (äåòåðìèíàíò). . . . . . . . . . . . . . .Èíäóêòèâíîå îïðåäåëåíèåÎñíîâíûå ñâîéñòâà. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .ßâíîå ðàçëîæåíèå îïðåäåëèòåëÿ464747. . . . .
. . . .53Ôîðìóëû ñ èñïîëüçîâàíèåì îïðåäåëèòåëÿ . . . .54Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . .56Ïðèëîæåíèå57Ëîãèêà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57Ìíîæåñòâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57Çíàê ñóììèðîâàíèÿ . . . . . . . . .
. . . . . . . .59Ïîíÿòèÿ îòîáðàæåíèÿ è ïðåîáðàçîâàíèÿ59Îòâåòû, óêàçàíèÿ è ðåøåíèÿ63Ñïèñîê îáîçíà÷åíèé72. . . .Ëèòåðàòóðà717ÏðåäèñëîâèåÝòî ó÷åáíîå ïîñîáèå ïîñîáèå íàïèñàíî íà îñíîâå ëåêöèé ïî êóðñó àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè è ëèíåéíîé àëãåáðû, êîòîðûé ÷èòàåòñÿàâòîðîì íà ôàêóëüòåòå îáùåé è ïðèêëàäíîé ôèçèêè ÌÔÒÈ ñ 2007ãîäà.Ïî òðàäèöèè, ñëîæèâøåéñÿ íà Ôèçòåõå, ìàòðèöû è ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñèñòåìàòè÷åñêè èçó÷àþòñÿ äî ââåäåíèÿ àáñòðàêòíûõ ïîíÿòèé âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà è ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ.Ïðè äàëüíåéøåì îñâîåíèè àáñòðàêòíûõ ïîíÿòèé ìàòðèöû, íàðÿäóñ íàãëÿäíîé ãåîìåòðèåé, ñòàíîâÿòñÿ èñòî÷íèêîì ìîòèâèðîâîê è ïðèìåðîâ. Òàêàÿ ìåòîäèêà ïðåïîäàâàíèÿ îòðàæåíà â ýòîì èçäàíèè.Èçëîæåíèå â îñíîâíîì òåêñòå âåäåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíî.
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ÷èòàòåëü çíàêîì ñ ýëåìåíòàðíîé ìàòåìàòèêîé è îñíîâàìè òåîðèè ìíîæåñòâ (íåêîòîðûå íà÷àëüíûå ñâåäåíèÿ ñîáðàíûâ ïðèëîæåíèè). Îñíîâíîé òåêñò ñíàáæåí ñíîñêàìè-êîììåíòàðèÿìè,ìíîãèå èç êîòîðûõ äàíû ñ öåëüþ ñâÿçàòü èçëàãàåìûé ôðàãìåíò òåîðèè ñ äðóãèìè ñþæåòàìè èç àëãåáðû è ãåîìåòðèè. òåêñòå ñèìâîëàìè◃èîòìå÷àþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî íà÷àëî èêîíåö äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèé (òåîðåì, ïðåäëîæåíèé è ëåìì). Âñëó÷àå äîêàçàòåëüñòâà ýêâèâàëåíòíîñòèâîëû⇒ñëåäñòâèé⇐ îáîçíà÷àþòA ⇒ B è B ⇒ A.èA⇔BóñëîâèéAèBñèì-íà÷àëî äîêàçàòåëüñòâà ñîîòâåòñòâåííîÊóðñèâîì âûäåëÿþòñÿ ôîðìóëèðîâêèóòâåðæäåíèé, à òàêæå îïðåäåëÿåìûå ïîíÿòèÿ.Àâòîð áëàãîäàðåí ñâîèì ó÷èòåëÿì è êîëëåãàì èç ÌÃÓ è ÌÔÒÈ, âïðîöåññå ðàáîòû ñ êîòîðûìè ñêëàäûâàëèñü ïîíèìàíèå ìàòåìàòèêè èñòèëü åå ïðåïîäàâàíèÿ. Òàêæå àâòîð âûðàæàåò áëàãîäàðíîñòü ñâîèìñëóøàòåëÿì èíòåðåñ ê ïðåäìåòó è óâëå÷åííîñòü ìíîãèõ ñòóäåíòîâÌÔÒÈ ñïîñîáñòâîâàëè ðàáîòå íàä ýòèì èçäàíèåì.Äîöåíò ÌÔÒÈÏ.
Êîæåâíèêîâ8ÂâåäåíèåÏóñòü äàíû íàòóðàëüíûå ÷èñëàmnýëåìåíòîâñòîëáöàìèìàòðèöû, çàïèñàííûé âÌàòðèöåén.ðàçìåðà m × nmn äåéñòâèòåëüíûõ1 ÷èñåëâèäå òàáëèöû ñ mèèáóäåì íàçûâàòü óïîðÿäî÷åííûé íàáîð èçñòðîêàìè.Ìíîæåñòâî ìàòðèö (ñ äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè) ðàçìåðà2áóäåì îáîçíà÷àòüMm×n .Ìàòðèöû ðàçìåðà31×1m×nèíîãäà ïîçâîëèìñåáå îòîæäåñòâëÿòü ñ ÷èñëàìè.Ìàòðèöà= 1, 2, . . . , n,A ∈ Mm×nñ ýëåìåíòàìèaij ,ãäåi = 1, 2, . . . , m, j =âûãëÿäèò òàê:a11 a21A = a31 .. .am1a12a22a32a13a23a33.................am2am3....a1na2n a3n ..
. .amn(1)Êîðîòêî ïèøåì A = (aij ). Ñòðîêó ñ íîìåðîì i áóäåì îáîçíà÷àòü ai • :()ai• = ai1 ai2 . . . ain . Ñòîëáåö ñ íîìåðîì j áóäåì îáîçíà÷àòü a•j :a1j a2j a•j = . . Ñòðîêè è ñòîëáöû ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ìàòðèöû ðàç .. amjìåðà 1×n è m×1: ai• ∈ M1×n , a•j ∈ Mm×1 . Ñòðîêè è ñòîëáöû èíîãäà1 Èçëàãàåìàÿ çäåñü òåîðèÿ îñòàåòñÿ áåç èçìåíåíèé äëÿ ìàòðèö ñ ðàöèîíàëüíûìè èëè êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, èëè ìàòðèö ñ ýëåìåíòàìè èç ïðîèçâîëüíîãîïîëÿ K . Èíîãäà ðàññìàòðèâàþòñÿ ìàòðèöû, ýëåìåíòàìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ íå÷èñëà, à äðóãèå îáúåêòû íàïðèìåð âåêòîðû, èëè äàæå íåêîòîðûå îòîáðàæåíèÿ.
Âñòðå÷àþòñÿ è òàê íàçûâàåìûå áëî÷íûå ìàòðèöû ìàòðèöû, ýëåìåíòûêîòîðûõ ñàìè ÿâëÿþòñÿ ìàòðèöàìè.2 Âî ìíîãèõ êíèãàõ äëÿ ìíîæåñòâà ìàòðèö ðàçìåðà m × n ñ ýëåìåíòàìè èçïîëÿ (èëè êîëüöà) K ïðèíÿòî îáîçíà÷åíèå Matm×n (K).3 Êàê ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ìíîæåñòâî Mm×n åñòåñòâåííî îòîæäåñòâëÿåòñÿñ Rmn (èçîìîðôíî Rmn ).9âåêòîðàìè-ñòðîêàìè âåêòîðàìè-ñòîëáöàìèíàçûâàþòèñòðî÷íóþ çàïèñüðèöû (1) ìîæíî èñïîëüçîâàòüñòîëáöîâóþ çàïèñü A = (a•1a•2···a•n). Äëÿ ìàòa1 • a2 • A = . , èëè .. am •.A, íàõîäÿùèåñÿ íà ïåðåñå÷åíèè íåêîòîðûõñòðîê ai1 • , ai2 • , . . .
, aik • (1 6 i1 < i2 < . . . < ik 6 m) è íåêîòîðûõñòîëáöîâ a•j1 , a•j2 , . . . , a•jl (1 6 j1 < j2 < . . . < jl 6 n), îáðàçóþò(ðàçìåðà k × l):Ýëåìåíòû ìàòðèöûïîäìàòðèöóa i1 j 1 a i2 j 1 .. .aik j1ai1 j2ai2 j2...........a ik j 2....ai 1 j lai 2 j l . .. .aik jl ÷àñòíîñòè, ñòðîêè è ñòîëáöû ìàòðèöû ÿâëÿþòñÿ åå ïîäìàòðèöà-4 Ôèêñèðîâàííûé ýëåìåíò ìàòðèöû òàêæå ìîæíî ñ÷èòàòü ïîä-ìè.ìàòðèöåé ðàçìåðàÅñëèm = n,1 × 1.òî ìàòðèöàA ∈ Mm×níàçûâàåòñÿïîðÿäêîìA = (aij ) ∈ Mm×na11 , a22k = min{m, n}äèàãîíàëüíûìèäèàãîíàëüA = (aij )nòðåóãîëüíîé1 6 j < i 6 n÷èñëîníàçûâàåòñÿêâàäðàòíîé ìàòðèöû. ìàòðèöåýëåìåíòû, íàçûâàþòñÿ,êâàäðàòíîé,.
. . , akk ,, îíè îáðàçóþò.Êâàäðàòíàÿ ìàòðèöàïîðÿäêà, åñëè äëÿ ëþáûõíàçûâàåòñÿâûïîëíåíîãäåãëàâíóþâåðõíå-aij = 0.Èíà÷å ãîâîðÿ, ìàòðèöà âåðõíåòðåóãîëüíàÿ, åñëè âñå åå ýëåìåíòû ïîäãëàâíîé äèàãîíàëüþ ðàâíû íóëþ. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿíåòðåóãîëüíûåíèæ-ìàòðèöû êàê êâàäðàòíûå ìàòðèöû, â êîòîðûõ âñåýëåìåíòû íàä ãëàâíîé äèàãîíàëüþ ðàâíû íóëþ. Êâàäðàòíàÿ ìàòðèöàA = (aij ) ∈ Mn×n íàçûâàåòñÿaij = 0. Òàêèì îáðàçîì,âûïîëíåíîäèàãîíàëüíîé, åñëè ïðèi ̸= jâ äèàãîíàëüíîé ìàòðèöå âñåýëåìåíòû âíå ãëàâíîé äèàãîíàëè íóëåâûå. Äèàãîíàëüíóþ ìàòðèöó4 Èíîãäà ïîäìàòðèöó k × l íàçûâàþò ìèíîðîì k × l, õîòÿ ÷àùå ìèíîðîì íàçûâàþò îïðåäåëèòåëü êâàäðàòíîé ïîäìàòðèöû.10 λ100 λ2.
.. .. .0 0······00.... ..··· λn,ó êîòîðîéaii = λiäëÿi = 1, 2, . . . , n,îáîçíà÷àåìñêàëÿðíîédiag(λ1 , λ2 , . . . , λn ). Ìàòðèöà diag(λ, λ, . . . , λ) íàçûâàåòñÿ,à ìàòðèöà diag(1, 1, . . . , 1) . Åäèíè÷íóþ ìàòðèöó ïîðÿäêà n áóäåì îáîçíà÷àòü En èëè E , åñëè èç êîíòåêñòà ÿñåí åå ïîðÿäîê.Ìàòðèöû A = (aij ) ∈ Mm×n è B = (bij ) ∈ Mk×l ñ÷èòàþòñÿ(ïèøåì A = B ), åñëè îíè èìåþò îäèíàêîâûå ðàçìåðû, èíà ñîîòâåòñòâóþùèõ ìåñòàõ ó íèõ ðàâíûå ýëåìåíòû (òî åñòü k = m,l = n è aij = bij äëÿ âñåõ i = 1, 2, . .
. , m, j = 1, 2, . . . , n).åäèíè÷íîéðàâíûìè äàëüíåéøèõ ðàññìîòðåíèÿõ íàì âñòðåòÿòñÿñòåìû ìàòðèö5ñòîëáöîâ).íàáîðû, èëèñè-(â ÷àñòíîñòè, ñèñòåìû âåêòîðîâ-ñòðîê è âåêòîðîâ-Åñëè â êîíå÷íîé ñèñòåìå ìàòðèö çàôèêñèðîâàí ïîðÿäîê,â êîòîðîì îíè ïåðå÷èñëÿþòñÿ, òî ãîâîðÿò îáìàòðèö.óïîðÿäî÷åííîé ñèñòåìå§ 1. Ëèíåéíûå îïåðàöèè íàä ìàòðèöàìè,òðàíñïîíèðîâàíèå ìàòðèöÑëîæåíèå è óìíîæåíèå íà ÷èñëîÌàòðèöû îäèíàêîâîãî ðàçìåðà ìîæíî ñêëàäûâàòü, ìàòðèöó ìîæíî óìíîæàòü íà ÷èñëî. Ýòè îïåðàöèè îïðåäåëåíû ñàìûì åñòåñòâåííûì îáðàçîì "ïîêîìïîíåíòíî".Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü äàíû ìàòðèöû A, B ∈ Mm×n , A = (aij ), B == (bij ). Ìàòðèöà (cij ) ∈ Mm×n íàçûâàåòñÿìàòðèö A è B ,åñëè cij = aij + bij äëÿ âñåõ i = 1, 2, .
. . , m, j = 1, 2, . . . , n.ñóììîéÏóñòü äàíà ìàòðèöà A ∈ Mm×n , A = (aij ), è ÷èñëîλ ∈ R. Ìàòðèöà (dij ) ∈ Mm×n íàçûâàåòñÿìàòðèöûA íà ÷èñëî λ, åñëè dij = λaij äëÿ âñåõ i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n.Îïðåäåëåíèå.ïðîèçâåäåíèåì5 Îòëè÷èå ñèñòåìû (íàáîðà) îò ìíîæåñòâà â òîì, ÷òî â íåé îäèí ýëåìåíò ìîæåò ñîäåðæàòüñÿ â íåñêîëüêèõ ýêçåìïëÿðàõ. Àíàëîãè÷íî ïîíÿòèþ ïîäìíîæåñòâàââîäèòñÿ ïîíÿòèå ïîäñèñòåìû (ïîäíàáîðà).
Ìîæíî ãîâîðèòü îá îïåðàöèÿõ îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ ñèñòåì.11A è B îáîçíà÷èì A + B , ïðîèçâåäåíèå ìàòðèöû AλA.ñîïîñòàâëÿþùóþ ïàðå ìàòðèö A è B ìàòðèöó A + B ,Ñóììó ìàòðèöíà ÷èñëîλîáîçíà÷èìÎïåðàöèþ,áóäåì íàçûâàòüñëîæåíèåì, à îïåðàöèþ, ñîïîñòàâëÿþùóþ ìàòðèöåA ïðîèçâåäåíèå A íà ôèêñèðîâàííîå ÷èñëî λ, áóäåì íàçûâàòü6 íà ÷èñëî λ.æåíèåìÎïðåäåëåíèå. Ìàòðèöà èçíàçûâàåòñÿMm×n ,íóëåâîé ìàòðèöåéâñå ýëåìåíòû êîòîðîé ðàâíûÎïðåäåëåíèå. Ìàòðèöà(−1)AO.íàçûâàåòñÿA.ïðîòèâîïîëîæíîéÌàòðèöó, ïðîòèâîïîëîæíóþ äëÿ ìàòðèöûÌîæíî ââåñòè îïåðàöèþìàòðèö, ïîëàãàÿ0,.Íóëåâûå ìàòðèöû îáû÷íî îáîçíà÷àþòìàòðèöûóìíî-âû÷èòàíèÿA,îáîçíà÷àåì, òî åñòü ãîâîðèòü îA − B = A + (−B).äëÿ−A.ðàçíîñòè∀ A, B, C ∈ Mm×n , ∀ λ, µ ∈ R âûïîëíåíû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:71) (A + B) + C = A + (B + C);2) A + B = B + A;3) A + O = A (çäåñü O ∈ Mm×n íóëåâàÿ ìàòðèöà);4) A + (−A) = O;5) (λ + µ)A = λA + µA;6) λ(A + B) = λA + λB;7) 1 · A = A;8) (λµ)A = λ(µA).Ïðåäëîæåíèå 1.1.◃Âñå ïåðå÷èñëåííûå ñâîéñòâà ëåãêî âûòåêàþò èç ñîîòâåòñòâóþ-ùèõ ñâîéñòâ äëÿ ÷èñåë òàê êàê îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿíà ÷èñëî âûïîëíÿþòñÿ "ïîêîìïîíåíòíî".6 Áîëåå òî÷íî, ñëîæåíèå ýòî îòîáðàæåíèå ψ : Mm×n × Mm×n → Mm×n ,ïðè êîòîðîì ψ(A, B) = A + B , à óìíîæåíèå íà λ îòîáðàæåíèå δλ : Mm×n →→ Mm×n , ïðè êîòîðîì δλ (A) = λA.7 Çíàêîìûå ñ íà÷àëàìè ëèíåéíîé àëãåáðû ëåãêî ïåðåôîðìóëèðóþò ýòî ïðåäëîæåíèå ñëåäóþùèì îáðàçîì: ìíîæåñòâî Mm×n ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà ÷èñëî.Ñâîéñòâà 1) è 2) íàçûâàþòñÿ àññîöèàòèâíîñòüþ è êîììóòàòèâíîñòüþ ñëîæåíèÿ, 5) è 6) ñâîéñòâàìè ëèíåéíîñòè, èëè äèñòðèáóòèâíîñòè.12∀ A, B ∈ Mm×n , ∀ λ, µ ∈ R âûïîëíåíî:1) 0 · A = λ · O = O;2) −(λA) = (−λ)A = λ(−A);3) (λ − µ)A = λA − µA;4) λ(A − B) = λA − λB.Ñëåäñòâèå.Ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ è ëèíåéíàÿ îáîëî÷êàÎïðåäåëåíèå.Ñóììàk∑λi AiÏóñòüA1 , A2 , .
. . , Ak ∈ Mm×n , λ1 , λ2 , . . . , λk ∈ R.íàçûâàåòñÿëèíåéíîé êîìáèíàöèåéêîýôôèöèåíòàìè λ1, λ2, . . . , λki=1. . . , Ak ñìàòðèöA1 , A2 , . . ..Åñëè õîòÿ áû îäèí èç êîýôôèöèåíòîâ â ñóììåk∑λi Aiíåòðèâèàëüíàÿíå ðà-i=1âåí÷òî0,òî ãîâîðÿò, ÷òî ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿòðèâèàëüíàÿëè ìàòðèöà. . .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
