Матрицы и СЛУ - Кожевников, страница 3

Îêàçûâàåòñÿ, ðàíã íå èçìåíèòñÿ, åñëè êäîáàâëÿòü ëèíåéíûå êîìáèíàöèè ñòîëáöîâ èçA(è íàîáîðîò, ðàíãíå èçìåíèòñÿ, åñëè èç ñèñòåìû ñòîëáöîâ óäàëèòü ñòîëáåö, êîòîðûéðàñêëàäûâàåòñÿ ïî îñòàâøèìñÿ ñòîëáöàì). Îáîáùåíèå ýòîãî ôàêòàñîñòàâëÿåò ñîäåðæàíèå ñëåäóþùåé îñíîâíîé òåîðåìû î ðàíãàõ. Äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû ïðåäïîøëåì äâå ëåììû (êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè òåîðåìû).Ïóñòü A ñèñòåìà âåêòîðîâ-ñòîëáöîâ èç Mm×1, ïðè÷åì rg A = r. Òîãäà ëþáàÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ïîäñèñòåìà èç rñòîëáöîâ ÿâëÿåòñÿ áàçèñíîé äëÿ A.Ëåììà 1.◃A1 , A2 , . . . , Ar íåêîòîðàÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ïîäñèA, A ïðîèçâîëüíûé ñòîëáåö èç A. Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü,÷òî A ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ñòîëáöû A1 , A2 , . .

. , Ar .Èç îïðåäåëåíèÿ ðàíãà ñëåäóåò, ÷òî ñèñòåìà èç r + 1 ñòîëáöîâ A,A1 , A2 , . . . , Ar ëèíåéíî çàâèñèìà. Òîãäà íàéäóòñÿ ÷èñëà µ, λ1 , . . . ,r∑λr ∈ R, íå âñå ðàâíûå íóëþ è òàêèå, ÷òî µA +λi Ai = O. Ïðè ýòîìÏóñòüñòåìà âµ ̸= 0,èíà÷å ñèñòåìà A1 ,r λ∑iÎòñþäà A = −Ai . i=1 µA2 , . . . , A ri=1áûëà áû ëèíåéíî çàâèñèìîé.Ïóñòü A1, A2, . . . , Ak êîíå÷íàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâñòîëáöîâ èç Mm×1, B ∈ ⟨A1, A2, . .

. , Ak ⟩. Òîãäà rg(A1, A2, . . . , Ak ) == rg(A1 , A2 , . . . , Ak , B).Ëåììà 2.19◃r = rg(A1 , A2 , . . . , Ak ) (r 6 k ). Ïðåäïîëîæèì, ÷òîA1 , A2 , . . . , Ak , B íàøëàñü ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ïîäñèñòåìà èç r + 1 âåêòîðîâ-ñòîëáöîâ. Òîãäàîäèí èç ýòèõ r + 1 ñòîëáöîâ ýòî B (òàê êàê â ñèñòåìå A1 , A2 ,. . .. . . , Ak íåò ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ïîäñèñòåìû èç r + 1 âåêòîðîâñòîëáöîâ). Èòàê, ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè B, A1 , A2 , . .

. , Ar ëèÏîëîæèìóòâåðæäåíèå íåâåðíî, è â ñèñòåìåíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà. Èç ïðåäëîæåíèÿ 2.2 ñëåäóåò, ÷òî ñèñòåìàA1 , A2 , . . . , Arëèíåéíî íåçàâèñèìà, çíà÷èò, ïî ëåììå 1 êàæäûé èçA1 , A2 , . . . , Ak ëåæèò â ⟨A1 , A2 , . . . , Ar ⟩. Ïî óñëîB ðàâåí ëèíåéíîé êîìáèíàöèè âåêòîðîâ-ñòîëáöîâ A1 , A2 , . . .

, Ak :k∑B =λi Ai . Ïîäñòàâèâ â ýòî âûðàæåíèå ðàçëîæåíèÿ A1 , A2 , . . .âåêòîðîâ-ñòîëáöîââèþi=1ïî ñòîëáöàì. . . , AkA1 , A2 , . . . , Ar , ïîëó÷èì, ÷òî B ðàñêëàäûâàåòñÿA1 , A2 , . . . , Ar . Íî ýòî ïðîòèâîðå÷èò ëèíåéíîéñèñòåìû B, A1 , A2 , . . . , Ar (ñì. ïðåäëîæåíèå 2.1). ïî âåêòîðàì-ñòîëáöàìíåçàâèñèìîñòèÏóñòü A è B äâåòàêèå ñèñòåìû âåêòîðîâ-ñòîëáöîâ èç Mm×1, ÷òî A ⊂ B. Ïóñòürg A = r. Òîãäà rg B = r ⇔ ëþáîé ñòîëáåö èç B ïðèíàäëåæèò ⟨A⟩.Òåîðåìà 2.1 (îñíîâíàÿ òåîðåìà î ðàíãàõ).◃ ⇒A çàôèêñèðóåì íåêîòîðóþ ëèíåéíî íåçàâèñèA1 , A2 , . . . , Ar èç r ñòîëáöîâ.

Òàê êàê A1 , A2 , . . .. . . , Ar ∈ B è rg B = r, òî ïî ëåììå 1 (ïðèìåíåííîé ê ñèñòåìå B )ëþáîé ñòîëáåö èç B ëåæèò â ⟨A1 , A2 , . . . , Ar ⟩ è, ñëåäîâàòåëüíî, â ⟨A⟩.⇐ Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óòâåðæäåíèå íåâåðíî, è â ñèñòåìå B íàøëàñü ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ïîäñèñòåìà èç r + 1 âåêòîðîâ-ñòîëáöîâB1 , B2 , . . . , Br+1 . Êàæäûé èç íèõ ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç íåñêîëüêî (êîíå÷íîå ÷èñëî) âåêòîðîâ-ñòîëáöîâ èç A, ïîýòîìó ìîæíî âûáðàòüêîíå÷íóþ ñèñòåìó ñòîëáöîâ A1 , A2 , . . . , Al èç A, ÷åðåç êîòîðûå ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ êàæäûé èç âåêòîðîâ-ñòîëáöîâ B1 , B2 , . . .

, Br+1 .Òîãäà rg(A1 , A2 , . . . , Al , B1 , B2 , . . . , Br+1 ) > rg(B1 , B2 , . . . , Br+1 ) == r + 1. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðèìåíÿÿ ìíîãîêðàòíî ëåììó 2, èìååì: rg(A1 , A2 , . . . , Al , B1 , B2 , . . . , Br+1 ) = rg(A1 , A2 , . . . , Al , B1 , B2 , . . .. . . , Br ) = rg(A1 , A2 , .

. . , Al , B1 , B2 , . . . , Br−1 ) = . . . = rg(A1 , A2 , . . .. . . , Al ) 6 rg A = r. Ïðîòèâîðå÷èå.  ñèñòåìåìóþ ïîäñèñòåìóÏóñòü A ñèñòåìà âåêòîðîâ-ñòîëáöîâ èç Mm×1, è rg A = r. Òîãäà áàçèñíûìè äëÿÑëåäñòâèå 1 (îïèñàíèå áàçèñíûõ ïîäñèñòåì).20A ÿâëÿþòñÿ â òî÷íîñòè ëèíåéíî íåçàâèñèìûå ïîäñèñòåìû èç râåêòîðîâ-ñòîëáöîâ.Äëÿ ëþáîé ñèñòåìû A âåêòîðîâ-ñòîëáöîâ èç Mm×1åå ðàíã îïðåäåëåí, ïðè÷åì rg A 6 m.Ñëåäñòâèå 2.◃èçmrg A 6 rg Mm×1 .

Ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 2.4, â ìíîm èìååòñÿ áàçèñíàÿ ïîäñèñòåìàÎòñþäà rg Mm×1 = m. Î÷åâèäíî,æåñòâåMm×1âñåõ ñòîëáöîâ âûñîòûñòîëáöîâ.Äëÿ ëþáîé ñèñòåìû âåêòîðîâ-ñòîëáöîâ A èç Mm×1âûïîëíåíî rg A = rg⟨A⟩.Ñëåäñòâèå 3.Ðàíã ìàòðèöûÎïðåäåëåíèå.Ñòîëáöîâûì (ñòðî÷íûì) ðàíãîììàòðèöû íàçûâà-åòñÿ ðàíã ñèñòåìû åå ñòîëáöîâ (ñòðîê).A îáîçíà÷èì ñîîòâåòrgv A è rgh A.

Èòàê, äëÿ ìàòðèöû (1) ïî îïðåäåëåíèþ rgv A == rg{a•1 , a•2 , . . . , a•n }, rgh A = rg{a1 • , a2 • , . . . , am • }.  § 4 ìû äîêàÑòîëáöîâûé è ñòðî÷íûé è ðàíã ìàòðèöûñòâåííîæåì, ÷òî ñòðî÷íûé è ñòîëáöîâûé ðàíãè ëþáîé ìàòðèöû ðàâíû, ïîñëå÷åãî ñìîæåì ãîâîðèòü î ðàíãå ìàòðèöûðàíãîârgv Aèrgh Arg A(íå óòî÷íÿÿ, êàêîé èçèìååòñÿ â âèäó).Åñëè′ A′ íåêîòîðàÿ ïîäìàòðèöà ìàòðèöû A,6 rgv A è rgh A 6 rgh A.Ïðåäëîæåíèå 2.8.òî rgv A′◃Äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî ïîñëå âû÷åðêèâàíèÿ ñòðîêè (èëèrgv è rgh íå óâåëè÷àòñÿ.Î÷åâèäíî, ÷òî ïîñëå âû÷åðêèâàíèÿ ñòðîêèñòîëáöà) ðàíãèÏîñëåâû÷åðêèâàíèÿñòðîêèëèíåéíîrgh íå óâåëè÷èòñÿ.çàâèñèìàÿ ïîäñèñòåìàñòîëáöîâ îñòàåòñÿ ëèíåéíî çàâèñèìîé (åñëè íåêîòîðàÿ íåòðèâèàëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ íåñêîëüêèõ ñòîëáöîâ áûëà ðàâíàO, òî ýòîñâîéñòâî ñîõðàíèòñÿ è ïîñëå âû÷åðêèâàíèÿ ñòðîêè), ñëåäîâàòåëüíî,rgvíå óâåëè÷èâàåòñÿ.Ïóñòü A, B ∈ Mm×n.

Òîãäà(è rgh(A + B) 6 rgh A + rgh B).Ïðåäëîæåíèå 2.9.6 rgv A + rgv Brgv (A + B) 621◃A + B ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åa•1 , a•2 , . . . , a•n , b•1 , b•2 , . . . , b•n . Ïîýòîìó, ïîëüçóÿñü òåîðåìîé 2.1, rgv (A + B) 6 rg⟨a•1 , a•2 , . . . , a•n , b•1 , b•2 , . . . , b•n ⟩ == rg(a•1 , a•2 , . . . , a•n , b•1 , b•2 , . . . , b•n ). Íî èç ïðåäëîæåíèÿ 2.6 ñëåäóåò, ÷òî ïîñëåäíèé ðàíã íå ïðåâîñõîäèò rg(a•1 , a•2 , . . . , a•n ) ++ rg(b•1 , b•2 , . . . , b•n ) = rgv A + rgv B .Ðàññóæäåíèÿ äëÿ rgh àíàëîãè÷íû.

Êàæäûé ñòîëáåö ìàòðèöûðåç ñòîëáöûÇàäà÷è è óïðàæíåíèÿB ðàñêëàäûâàåòñÿ ïîA1 , A2 , . . . , Ak åäèíñòâåííûì îáðàçîì. Äîêàæèòå, ÷òîA1 , A2 , . . . , Ak ëèíåéíî íåçàâèñèìà.1. Ïóñòü èçâåñòíî, ÷òî íåêîòîðûé ñòîëáåöñòîëáöàìñèñòåìàA, B ∈ Mm×n . Ìîæåò ëè îêàçàòüñÿ, ÷òî rg A = 10, rg B =5, rg(A + B) = 3?2. Ïóñòü3.

Äîêàæèòå, ÷òî ìàòðèöó ðàíãàìûrìàòðèö ðàíãàr ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóì-1.4. Íàéäèòå íàèáîëüøåå êîëè÷åñòâî ìàòðèö, êîòîðîå ìîæåò áûòüâ ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ïîäñèñòåìå à) ñèììåòðè÷åñêèõ; á) êîñîñèììåòðè÷åñêèõ ìàòðèö ïîðÿäêàn.5. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáóþ ëèíåéíî íåçàâèñèìóþ ïîäñèñòåìó â ñèñòåìåA ñòîëáöîâ âûñîòû n ìîæíî äîïîëíèòü äî áàçèñíîé ïîä-ñèñòåìû.§ 3. Óìíîæåíèå ìàòðèöÎïðåäåëåíèå, îñíîâíûå ñâîéñòâà è ïðèìåðûÎïðåäåëèì óìíîæåíèå ñòðîêè äëèíûníà ñòîëáåö âûñîòûn.22 b1()  b2 a2 . . . an  .  íàçûâàåòñÿÎïðåäåëåíèå.

Ïðîèçâåäåíèåì a1 .. bnn∑÷èñëî (òî åñòü ìàòðèöà ðàçìåðà 1 × 1) c =ai bi .i=1A = (aij ) ∈ Mm×n íà ìàòB = (bjk ) ∈ Mn×p íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà (cik ) ∈ Mm×p , â êîòîðîé= ai • b•k äëÿ âñåõ i ∈ {1, 2, . . . , m}, k ∈ {1, 2, . . . , p}.Îïðåäåëåíèå. Ïðîèçâåäåíèåì ìàòðèöûðèöócikÒàêèì îáðàçîì, ïðîèçâåäåíèåöîâ ìàòðèöûAABîïðåäåëåíî, åñëè ÷èñëî ñòîëá-ðàâíî ÷èñëó ñòðîê ìàòðèöûëÿþùóþ óïîðÿäî÷åííîé ïàðå ìàòðèöAèBB.Îïåðàöèþ, ñîïîñòàâ-èõ ïðîèçâåäåíèå, áóäåìóìíîæåíèÿ 19∀ A, A′ ∈ Mm×n , ∀ B, B ′ ∈ Mn×p , ∀ C ∈ Mp×q ,∀ λ ∈ R âûïîëíåíû ðàâåíñòâà:201) (AB)C = A(BC);2) A(B + B′) = AB + AB′;3) (A + A′)B = AB + A′B;4) λ(AB) = (λA)B = A(λB);5) (AB)T = BT AT .íàçûâàòü îïåðàöèåé.Òåîðåìà 3.1.19 Áîëåå òî÷íî, óìíîæåíèå ýòî îòîáðàæåíèå φ : Mm×n × Mn×p → Mm×p ,ïðè êîòîðîì φ(A, B) = AB .Ïðèâåäåì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ, ìîòèâèðóþùèõ òàêîå îïðåäåëåíèå óìíîæåíèÿìàòðèö.1.

Åñëè X è Y êîîðäèíàòíûå ñòîëáöû âåêòîðîâ a è b â îðòîíîðìèðîâàííîìáàçèñå, òî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå (a, b) ðàâíî X T Y .2. Ïðîèçâåäåíèå ìàòðèö ïåðåõîäà îò áàçèñà e ê e′ è îò e′ ê e′′ ìàòðèöà ïåðåõîäàîò e ê e′′ .3. Ìàòðèöà êîìïîçèöèè ëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ ðàâíàïðîèçâåäåíèþ ìàòðèö ýòèõ ëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé.4. Ìàòðè÷íàÿ çàïèñü áèëèíåéíîé ôóíêöèè X T BY , ãäå X è Y êîîðäèíàòíûåñòîëáöû âåêòîðîâ, à B ìàòðèöà áèëèíåéíîé ôóíêöèè. Òàêæå â ìàòðè÷íîì âèäåèíîãäà óäîáíî çàïèñûâàþòñÿ êâàäðàòè÷íûå ôóíêöèè, óðàâíåíèÿ àëãåáðàè÷åñêèõêðèâûõ è ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà.5.

Ìàòðè÷íàÿ çàïèñü AX = b ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñì. §5.20 Ñâîéñòâî 1) àññîöèàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ, ñâîéñòâà 2) è 3) äèñòðèáóòèâíîñòè óìíîæåíèÿ ïî ñëîæåíèþ.23◃21Íåïîñðåäñòâåííàÿ ïðîâåðêà.Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ìàòðèöû, óìíîæåíèå íà êîòîðûå âûãëÿäèò îñîáåííî ïðîñòî.Óìíîæåíèå ëþáîé ìàòðèöû ñïðàâà èëè ñëåâà íà íóëåâóþ ìàòðèöó (ïîäõîäÿùåãî ðàçìåðà) î÷åâèäíî ïðèâîäèò ê íóëåâîé ìàòðèöåñîîòâåòñòâóþùåãî ðàçìåðà.Ïðè óìíîæåíèè ìàòðèöû A= (aij ) ∈ Mm×n ñëåâà íàdiag(λ1 , λ2 , . . . , λm ) i-ÿ ñòðî÷êà óìíîæàåòñÿ íà λi , à ïðè óìíîæå22íèè íà diag(µ1 , µ2 , .

. . , µn ) ñïðàâà j -é ñòîëáåö óìíîæàåòñÿ íà µj .Òàê, óìíîæåíèå ìàòðèöû ñëåâà èëè ñïðàâà íà ñêàëÿðíóþ ìàòðèöódiag(λ, λ, . . . , λ)= AEn = A.23ðàâíîñèëüíî óìíîæåíèþ íàλ,â ÷àñòíîñòè,Em A =Êàê ñëåäóåò èç ïóíêòà 1) òåîðåìû 3.1, ïðîèçâåäåíèå íåñêîëüêèõìàòðèö (åñëè ýòî ïðîèçâåäåíèå âîçìîæíî âûïîëíèòü)24A1 A2 . . . Akíåçàâèñèò îò ðàññòàíîâêè ñêîáîê.ÅñëèA ∈ Mn×n , òî ìîæíî îïðåäåëèòü s-þ ñòåïåíü ìàòðèöû äëÿs: As = AA. . . A}. Òàêæå ïîëîæèì A0 = E .

Íåòðóäíî| {zíàòóðàëüíûõs áóêâ Aâèäåòü, ÷òî äëÿ öåëûõ íåîòðèöàòåëüíûõ= As At , Ast = (As )t .ÐàâåíñòâîAB = BAÍàïðèìåð, ïðîèçâåäåíèås, t âåðíû ðàâåíñòâà As+t =äëÿ ìàòðèö, âîîáùå ãîâîðÿ, íå âûïîëíåíî.ABìîæåò áûòü îïðåäåëåíî, àBA íåò. Â21 Ïðîâåðèì, íàïðèìåð, 1), 3) è 5). Ïóñòü A = (a ), A′ = (a′ ), B = (b ),ijjkijC = (ckl ).1) Ïóñòü AB = (dik ), (AB)C = (fil ), BC = (gjl ), A(BC) = (hil ). Òîãäà fil ==p∑k=1dik ckl =p ∑n∑k=1 j=13) Ïóñòü AB = (dik ),= (hik ). Òîãäà gik =pn ∑∑aij bjk ckl =A + A′n∑j=1j=1 k=1aij bjk ckl =(A + A′ )Bn∑aij gjl = hil .j=1= (fij ),= (gik ), A′ B = (d′ik ), AB + A′ B =nnn∑∑∑fij bjk =(aij + a′ij )bjk =aij bjk +a′ij bjk = dik +j=1j=1j=1+ d′ik = hik .5) Ïóñòü AB = (dik ), (AB)T = (fki ), AT = (gji ), B T = (hkj ), B T AT = (tki ).nn∑∑Òîãäà fki = dik =aij bjk =gji hkj = tki .j=1j=122 Îáùàÿ ñèòóàöèÿ âèäíà â ïðåäëîæåíèè 3.2.23 Îòñþäà ïîíÿòåí ñìûñë òåðìèíîâ "ñêàëÿðíàÿ"è "åäèíè÷íàÿ".24 Ôîðìàëüíîå äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà ìîæíî ïðîâåñòè òàê æå, êàê è âñëó÷àå ïðîèçâåäåíèÿ îòîáðàæåíèé (ñì.

ïðèëîæåíèå).24A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×m , m ̸= n,BAAè B êâàäðàòíûå ìàòðèöû ïîðÿäêà n (òîãäà îáà ïðîèçâåäåíèÿ ABè BA îïðåäåëåíû è ÿâëÿþòñÿ êâàäðàòíûìè ìàòðèöàìè ïîðÿäêà n),âîçìîæíî AB íå ðàâíî BA, íàïðèìåð:ñëó÷àåîáà ïðîèçâåäåíèÿABèîïðåäåëåíû, íî ÿâëÿþòñÿ ìàòðèöàìè ðàçíûõ ðàçìåðîâ. Äàæå åñëè(0010)(0001)=()(0 10, íî0 0001)(0 10 0)=(00)0.0Èç ïðèâåäåííîãî ïðèìåðà âèäèì òàêæå, ÷òî ïðîèçâåäåíèå äâóõ íåíóëåâûõ ìàòðèö ìîæåò îêàçàòüñÿ íóëåâîé ìàòðèöåé.ðàòíîé ìàòðèöûA:AèïîëîæèìBïåðåñòàíîâî÷íû, åñëè AB = BA.n∑Ìîæíî îïðåäåëèòü çíà÷åíèå ìíîãî÷ëåíà f (x) =ai xi îò êâàäÃîâîðÿò, ÷òî ìàòðèöûf (A) =n∑i=0ai Ai.