Матрицы и СЛУ - Кожевников, страница 6

 , X =  3 , b =  .  ..  ..  .. . . amnbmxnðàñøèðåííîé ìàòðèöåé (A | b) ∈ Mm×(n+1)AX = b(A | b)ñòîëáöîâîéÈòàê, ñèñòåìó (2) êîðîòêî çàïèñûâàþò â âèäån∑Òàêæå ñèñòåìà (2) ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíà âèëè..çàïèñè:xj a•j = b. Ïîëó÷àåòñÿ ñëåäóþùàÿ èíòåðïðåòàöèÿ (2): ñòîëáåö bj=1ðàâåí ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ñòîëáöîâ ìàòðèöû A ñ êîýôôèöèåíòàìèx1 , x2 , . . . , xn . Òàêèì îáðàçîì, ðåøèòü ñèñòåìó (2) çíà÷èò íàéòèb ïî ñòîëáöàì ìàòðèöû A.

Èçâñå ðàçëîæåíèÿ ñòîëáöà ïðàâûõ ÷àñòåéñòîëáöîâîé çàïèñè âèäíî, ÷òî ñèñòåìà (2) íå èçìåíèòñÿ, åñëè ïîìåíÿòü ìåñòàìè i-é èìåñòàìèxièxjj -é ñòîëáöû ìàòðèöû A è îäíîâðåìåííî ïîìåíÿòüX.â ñòîëáöå íåèçâåñòíûõ39Îïðåäåëåíèå. Ñòîëáåö(èíîãäà ïðîñòî÷àñòíûì ðåøåíèåìX0 ∈ Mn×1 íàçûâàåòñÿ) ñèñòåìû AX = b, åñëè AX0 = b.ðåøåíèåìÎïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî âñåõ ÷àñòíûõ ðåøåíèé ñèñòåìûíàçûâàåòñÿîáùèì ðåøåíèåìÒàêèì îáðàçîì, îáùåå ðåøåíèå ýòî ïîäìíîæåñòâîMn×1 .

Îáùåå ðåøåíèå35îáîçíà÷àòü Sol(A | b).â ìíîæåñòâå ñòîëáöîâêðàòêîñòè áóäåìÎïðåäåëåíèå.Sol(A | b) ̸= ∅øåíèå.ñèñòåìûíàçûâàåòñÿñîâìåñòíîé, åñëèÄâå ñîâìåñòíûå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé íà-ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè îíè èìåþò îäíî è òî æå îáùåå ðå-Ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèéìåñòíà ⇔ b ∈ ⟨a•1, a•2, . . . , a•n⟩.Ïðåäëîæåíèå 5.1.◃AX = bñîâ-ßñíî èç ñòîëáöîâîé çàïèñè ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.Òåîðåìà 5.1 (êðèòåðèé ÊðîíåêåðàÊàïåëëè).ñîâìåñòíà ⇔ rg A = rg(A | b).◃{X|AX = b}AX = b äëÿ(òî åñòü èìååòñÿ õîòÿ áû îäíî ÷àñòíîå ðåøåíèå).Îïðåäåëåíèå.çûâàþòñÿAX = bÑèñòåìàAX = bñèñòåìû.Ñèñòåìà AX= bÑëåäóåò èç îñíîâíîé òåîðåìû î ðàíãàõ 2.1 è ïðåäûäóùåãîïðåäëîæåíèÿ.Äàëåå ìû îïèøåì ñòðóêòóðó è àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ îáùåãî ðåøåíèÿ.3635 Ñèñòåìà óðàâíåíèé è åå îáùåå ðåøåíèå èìååò è äðóãèå èíòåðïðåòàöèè â ëèíåéíîé àëãåáðå.

Íàïðèìåð, Sol(A | b) ýòî ïîëíûé ïðîîáðàç ñòîëáöà b ïðè ëèíåéíîì îòîáðàæåíèè φ : Rn → Rm , çàäàííîì ìàòðèöåé A.  ÷àñòíîñòè, Sol(A | O) ýòî ÿäðî îòîáðàæåíèÿ φ.36 Ïðîÿñíèì ñâÿçü ñ ïðåäûäóùèì, ðàññìîòðåâ ÷àñòíûé ñëó÷àé. Ïóñòü ìàòðèöàA êâàäðàòíàÿ (òî åñòü m = n) è íåâûðîæäåííàÿ (= îáðàòèìàÿ). Òîãäà óðàâíåíèåAX = b ëåãêî ðàçðåøèòü â ìàòðè÷íîì âèäå, äîìíîæèâ ñëåâà íà A−1 : A−1 AX == X = A−1 b. Ðåøåíèå X = A−1 b (ïîäñòàíîâêîé A(A−1 b) = b óáåæäàåìñÿ, ÷òîíàéäåííûé ñòîëáåö â ñàìîì äåëå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì) ìîæíî íàéòè ìåòîäîì Ãàóññà ñì. ïðåäëîæåíèå 4.7.

Íèæå ìåòîä Ãàóññà èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöåé êîýôôèöèåíòîâ.40Îäíîðîäíûåñèñòåìûëèíåéíûõóðàâíåíèé,ñòðóêòóðà ðåøåíèÿÎïðåäåëåíèå. Ñèñòåìà(òî åñòü ñòîëáåöbAX = bÂìåñòå ñ êàæäîé ñèñòåìîéâåòñòâóþùóþîäíîðîäíîéíàçûâàåòñÿ, åñëèíóëåâîé).b=Oñîîò-AX = b áóäåì ðàññìàòðèâàòüAX = O.

ßñíî, ÷òî îäíîðîäíàÿîäíîðîäíóþ ñèñòåìóñèñòåìà âñåãäà ñîâìåñòíà, òàê êàê íóëåâîé ñòîëáåö ÿâëÿåòñÿ åå ðåøåíèåì.Åñëè X1, X2, . . . , Xk ÷àñòíûå ðåøåíèÿ îäíîkðîäíîé ñèñòåìû AX = O, òî ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ∑ λiXi òàêæåi=1ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì.37Ïðåäëîæåíèå 5.2.◃k∑Ñðàçó ñëåäóåò èç ìàòðè÷íîãî ðàâåíñòâà (ñì. òåîðåìó 3.1)k∑A( λi Xi ) =λi AXi = O. i=1i=1Îïðåäåëåíèå. Óïîðÿäî÷åííóþ áàçèñíóþ ïîäñèñòåìó ñòîëáöîâ âìíîæåñòâåíèéSol(A | O)íàçûâàåìîäíîðîäíîé ñèñòåìûÎïðåäåëåíèå.ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìîé ðåøå-AX = OÌàòðèöà(äàëåå ÔÑÐ ñèñòåìûΦ ∈ Mn×s íàçûâàåòñÿAX = O, åñëè ååìàòðèöåé îäíîðîäíîé ñèñòåìûAX = O).ôóíäàìåíòàëüíîéñòîëáöû îáðàçóþòÔÑÐ.Åñëè îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé èìååò òîëüêî íó-38ëåâîå ðåøåíèå, òî ïîëàãàåì, ÷òî ÔÑÐ ïóñòà.Ïðåäëîæåíèå 5.3.ñóùåñòâóåò ÔÑÐ.1) Äëÿ ëþáîé îäíîðîäíîé ñèñòåìû AX= O37 Äëÿ çíàêîìûõ ñ ïîíÿòèåì âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà è ïîäïðîñòðàíñòâà: ýòîïðåäëîæåíèå îçíà÷àåò, ÷òî Sol(A | O) ïîäïðîñòðàíñòâî â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå Mn×1 .38 Äëÿ çíàêîìûõ ñ íà÷àëàìè ëèíåéíîé àëãåáðû: ÔÑÐ ñèñòåìû AX = O ýòîáàçèñ â ïðîñòðàíñòâå Sol(A | O).

Åñëè ïîäïðîñòðàíñòâî íóëåâîå, òî áàçèñ ñ÷èòàåìïóñòûì â ñîãëàñèè ñ ðàâåíñòâîì ⟨∅⟩ = O.412) Êîëè÷åñòâî ñòîëáöîâ â ÔÑÐ ñèñòåìû AX = O íå çàâèñèòîò âûáîðà ÔÑÐ è ðàâíî ðàâíî rg(Sol(A | O)).◃Âûòåêàåò èç ñëåäñòâèÿ èç òåîðåìû 2.1.Èç ïðåäûäóùåãî âûòåêàþò ñëåäóþùèå òåîðåìû î ñòðóêòóðå îáùåãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.Îáùåå ðåøåíèåñèñòåìû ëèíåé{ sSol(A | O) îäíîðîäíîé}∑íûõ óðàâíåíèé èìååò âèäλi Xi | λi ∈ R , ãäå X1 , X2 , .

. . , Xs i=1íåêîòîðàÿ ôèêñèðîâàííàÿ ÔÑÐ.Òåîðåìà 5.2.◃Ñðàçó ñëåäóåò èç ïðåäëîæåíèÿ 5.2 è îïðåäåëåíèÿ ÔÑÐ.Òàêèìîáðàçîì,îáùååðåøåíèåîäíîðîäíîéñèñòåìûëèíåé-íûõ óðàâíåíèé ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ñëåäóþùåì ìàòðè÷íîì âèäå:Sol(AO) = ΦΛ, ãäå Φ ∈ Mn×s ôóíäàìåíòàëüíàÿ |λ1λ2  =  .  ñòîëáåö ïðîèçâîëüíûõ ÷èñåë. .. λsìàòðèöà, àΛ=Îáùåå ðåøåíèå Sol(A | b) ñîâìåñòíîé ñèñòåìû AX =èìååò âèä X0 + X , ãäå X0 íåêîòîðîå÷àñòíîå ðåøåíèå ñèñòåìû Sol(A | b), à X ïðîáåãàåò Sol(A | O).39Òåîðåìà 5.3.= b◃ Ïóñòü X ïðîèçâîëüíûé ñòîëáåö âûñîòû n.

Ïîëîæèì X == X − X0 , ãäå X0 ÷àñòíîå ðåøåíèå ñèñòåìû (A | b). Èìååì AX = b⇔ A(X0 + X) = b ⇔ AX0 + AX = b ⇔ b + AX = b ⇔ AX = O. Ðåøåíèå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ìåòîäîìÃàóññàÂâåäåìýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíå-íèé òðåõ òèïîâ, ñîîòâåòñòâóþùèå ýëåìåíòàðíûì ïðåîáðàçîâàíèÿì39  ãåîìåòðè÷åñêèõ òåðìèíàõ: åñëè AX = b ñîâìåñòíà, è Sol(A | O) sìåðíîå ïîäïðîñòðàíñòâî, òî Sol(A | b) ìîæíî ïîëó÷èòü ñäâèãîì ïîäïðîñòðàíñòâàSol(A | O) íà âåêòîð, òî åñòü Sol(A | b) s-ìåðíàÿ ïëîñêîñòü.42(A | b): ïåðåñòàíîâêà äâóõλ ̸= 0; ïðèáàâëåíèå ê îäíîìóλ.ñòðîê ðàñøèðåííîé ìàòðèöûóðàâíåíèé;óìíîæåíèå óðàâíåíèÿ íàóðàâíåíèþäðóãîãî, óìíîæåííîãî íàÏðè ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ ñòðîê ðàñøèðåííîé ìàòðèöû (A | b) îáùåå ðåøåíèå Sol(A | b) íå ìåíÿåòñÿ.Ïðåäëîæåíèå 5.4.◃Äëÿ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé I è II òèïà ýòî î÷åâèäíî.III′ ′Ïðè ýëåìåíòàðíîì ïðåîáðàçîâàíèè III òèïà (A | b) → (A |b ) ïîÿâëÿ-åòñÿ íîâîå óðàâíåíèå, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ñèñòåìû (A | b),Sol(A | b) ⊂ Sol(A′ | b′ ).

Ðàññìàòðèâàÿ îáðàòíîå ýëåìåíòàð′′íîå ïðåîáðàçîâàíèå, äîêàçûâàåì îáðàòíîå âêëþ÷åíèå Sol(A | b ) ⊂ïîýòîìó⊂ Sol(A | b). Ïîëüçóÿñü ïîñëåäíèì ïðåäëîæåíèåì, îïèøåìÀËÃÎÐÈÒÌ ðåøåíèÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.Ïóñòü ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé çàäàíà ðàñøèðåííîé ìàòðèöåé(A | b).1) Ïðèâîäèì ìàòðèöó(A | b)ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìèñòðîê ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó (âûïîëíÿåì ïðÿìîé õîä ìåòîäà Ãàóññà).Óæå ïîñëå ýòîé ïðîöåäóðû ìîæíî äàòü îòâåò íà âîïðîñ î ñîâìåñòíîñòè ñèñòåìû. Åñëè ïîñëåäíÿÿ íåíóëåâàÿ ñòðîêà â ñòóïåí÷àòîì âèäåèìååò âèä(0, .

. . , 0|t),ãäåt ̸= 0,òî ñîîòâåòñòâóþùåå óðàâíåíèå0=tïðîòèâîðå÷èâî, è ñèñòåìà íåñîâìåñòíà. Èíà÷å ïðîäîëæèì äåéñòâèÿè óâèäèì, ÷òî îíè ïðèâåäóò íàñ ê íåïóñòîìó ìíîæåñòâó ðåøåíèé.40r íåíóëåâûõ ñòðîêj 1 < j2 < . . . < j r 6 nÏóñòü â ïîëó÷åííîì ñòóïåí÷àòîì âèäå ðîâíî(íóëåâûå ñòðîêè ìîæíî ïðîñòî îòáðîñèòü), è íîìåðà ñòîëáöîâ, ñîäåðæàùèõ âåäóùèå ýëåìåíòû ñòðîê. Íàçîâåìãëàâíûìè íåèçâåñòíûìèñâîáîäíûìèâåñòíûå 2) Ïðèâîäèìíåèçâåñòíûåxj1 , . . .

, xjr , à îñòàëüíûå íåèç-.(A | b)ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ñòðîê êóïðîùåííîìó âèäó (âûïîëíÿåì îáðàòíûé õîä ìåòîäà Ãàóññà).40 Ýòè íàáëþäåíèÿ î ñîâìåñòíîñòè íàõîäÿòñÿ â ñîãëàñèè ñ êðèòåðèåìÊðîíåêåðàÊàïåëëè: åñëè ïîñëå ïðèâåäåíèÿ ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó îäèí èç âåäóùèõ ýëåìåíòîâ ñòðîê ðàñïîëîæåí â ïîñëåäíåì ñòîëáöå, òî rg(A | b) = rg A + 1,è ñèñòåìà íåñîâìåñòíà; èíà÷å rg(A | b) = rg A, è ñèñòåìà ñîâìåñòíà. Ôàêòè÷åñêèïðèâîäèìûé çäåñü àëãîðèòì äàåò äðóãîå äîêàçàòåëüñòâî êðèòåðèÿ ÊðîíåêåðàÊàïåëëè.433) (Èçìåíåíèå ïîðÿäêà íåèçâåñòíûõ.) Ïåðåîáîçíà÷èì íåèçâåñò′′′íûå òàê, ÷òîáû x1 = xj1 , x2 = xj2 , .

. . , xr = xjr ñòàëè ãëàâíû′′′ìè, à xr+1 , xr+2 , . . . , xn ñâîáîäíûìè, îäíîâðåìåííî ìåíÿÿ ìåñòàìèñòîëáöû ìàòðèöû. Ïîñëå ýòîãî åäèíè÷íàÿ ïîäìàòðèöà ïîðÿäêà r ïåðåìåñòèòñÿ â ïåðâûårñòîëáöîâ, è ðàñøèðåííàÿ ìàòðèöà ñèñòåìû(áóäåò èìåòü (áëî÷íûé) âèä)Er R | eb ,ãäåR ∈ Mr×(n−r) íåêîòî-′ðàÿ ìàòðèöà. Òåïåðü ñèñòåìó ìîæíî çàïèñàòü â âèäå (E R)X = eb, ′x1 . ′ãäå X =  .. .x′n4) (ðåçóëüòàò) Îêàçûâàåòñÿ, òåïåðü îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå41X′ =ãäåΛ=λ1...( ) ()eb−R+Λ,En−rO(3) ñòîëáåö ïðîèçâîëüíûõ ÷èñåë.

Äîêàæåì, ÷òî ýòîλn−r′′äåéñòâèòåëüíî òàê. Ïåðåïèøåì ñèñòåìó â âèäå EXãë. + RXñâ. = eb ′ ′ x1xr+1 ′′′′=  ...  è Xñâ.=  ...  ñòîëáöû= eb, ãäå Xãë.+ RXñâ.⇔ Xãë.x′rx′nãëàâíûõ è ñâîáîäíûõ íåèçâåñòíûõ.′′Ïîëîæèì Xñâ. = O , Xãë. = eb, ïîëó÷àåì âåðíîå ðàâåíñòâî, çíà÷èò,( )â êà÷åñòâå ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ ìîæíî âçÿòü (áëî÷íûé) ñòîëáåöebO.′Îñòàåòñÿ íàéòè îáùåå ðåøåíèå îäíîðîäíîé ñèñòåìû Xãë. +′+ RXñâ.

= O. Ïðèäàâàÿ ñâîáîäíûì íåèçâåñòíûì ïðîèçâîëüíûå çíà-÷åíèÿ, òî åñòü ïîëàãàÿ′= Λ = Xñâ.λ1...,îäíîçíà÷íî íàõîäèìλn−r41 Îòìåòèì, ÷òî ðåçóëüòàò íàõîäèòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ íàéäåííîé â òåîðåìå 5.3ñòðóêòóðîé îáùåãî ðåøåíèÿ.44( ′ ) () ()Xãë.−RΛ−R= −RΛ. Îòñþäà X ===Λ. Íåòðóä′ΛEn−r()Xñâ.−Ríî âèäåòü, ÷òî Φ =ÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöåéEn−r′′ñèñòåìû Xãë. + RXñâ. = O (ñòîëáöû ìàòðèöû Φ îáðàçóþò ëèíåéíîíåçàâèñèìóþ ñèñòåìó, òàê êàê Φ ñîäåðæèò ïîäìàòðèöó En−r ).′Xãë.′5) (Âîçâðàò ê èñõîäíîìó ïîðÿäêó íåèçâåñòíûõ.)  ìàòðè÷íîì ðàâåíñòâå (3) íàäî ïåðåñòàâèòü ñòðîêè òàê, ÷òîáû ïåðâûé ñòîëáåö ñòàëñòîëáöîìX=x1....xnÏóñòü A ∈ Mm×n, rg A = r. Òîãäà1) ÷èñëî ñòîëáöîâ â (ëþáîé) ÔÑÐ ñèñòåìû AX = O ðàâíî n − r.2) rg(Sol(A | O)) = n − r.42Ïðåäëîæåíèå 5.5.ìû◃ 1) Èç îïèñàííîãî àëãîðèòìà âûòåêàåò, ÷òî îäíà èç ÔÑÐ ñèñòåAX = O ñîäåðæèò ðîâíî n − r ñòîëáöîâ.432) Ñëåäóåò èç 1) è ïðåäëîæåíèÿ 5.3.

Åñëè n > m (÷èñëî íåèçâåñòíûõ áîëüøå ÷èñëà óðàâíåíèé), òî îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà AX = O èìååò íåíóëåâîå ðåøåíèå.Ñëåäñòâèå.ÄâîéñòâåííîñòüA ∈ Mm×n îäΦ, äëÿ êîòîðîé Sol(A | O) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé îáîëî÷êîé ñòîëáöîâ Φ. ÎêàçûâàåòTTñÿ ìàòðèöà Aèãðàåò àíàëîãè÷íóþ ðîëü äëÿ Φ , èíûìè ñëîâàìè, ïðåäûäóùåì ïóíêòå ìû íàó÷èëèñü ïî ìàòðèöåíîðîäíîé ñèñòåìûAX = Oíàõîäèòü òàêóþ ìàòðèöóâåðíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà äâîéñòâåííîñòè.42 Ýòî óòâåðæäåíèå ìîæíî ïåðåôîðìóëèðîâàòü òàê: ñóììà ðàçìåðíîñòåé ÿäðàè îáðàçà ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ φ : Rn → Rm , çàäàííîãî ìàòðèöåé A, ðàâíà n.43 Ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 5.3, îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî è ëþáàÿ äðóãàÿ ÔÑÐ ñèñòåìû AX = 0 ñîäåðæèò ðîâíî n − r ñòîëáöîâ.45Ïðåäëîæåíèå 5.6.èB= b1 •...Ïóñòü äàíû ìàòðèöû ∈ Mp×n.

Òîãäàbp •Sol(B | O) = ⟨aT1 • , . . . , aTm • ⟩◃a1 •A =  ∈ Mm×nam •...Sol(A | O) = ⟨bT1 • , . . . , bTp • ⟩ ⇔⇔.44⇒ (îáðàòíîå ñëåäñòâèå äîêàçûâàåòñÿ òàê æå).TTTÏóñòü Sol(A | O) = ⟨b1 • , . . . , bp • ⟩. Òàê êàê bj• ðåøåíèÿ ñèñòåìûTAX = O, òî ai • bj• = 0 äëÿ âñåõ i = 1, . . .