Матрицы и СЛУ - Кожевников, страница 4

Íåòðóäíî ïîâåðèòü,i=0f , g , h òàêèõ, ÷òî h(x) = f (x)g(x), âåðíî h(A) == f (A)g(A) = g(A)f (A).  ÷àñòíîñòè, ìàòðèöà A ïåðåñòàíîâî÷íà ñ÷òî äëÿ ìíîãî÷ëåíîâëþáûì ìíîãî÷ëåíîì îò íåå.Èíîãäà ìàòðèöû åñòåñòâåííî ðàçáèâàþòñÿ íà áëîêè. Íàïðèìåð,ðàññìîòðèìáëî÷íóþ ìàòðèöó A =(A11A21)A12,A22ãäåAij ∈ Mki ×lj(k1 , k2 , l1 , l2 íåêîòîðûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà). Îêàçûâàåòñÿ, ìîæíîîñóùåñòâëÿòü "áëî÷íîå"ïåðåìíîæåíèå ìàòðèö ñ ñîãëàñîâàííîé áëî÷-AB , ãäå( )B1B áëî÷íàÿ ìàòðèöà B =(B1 ∈ Ml1 ×p , B2 ∈ Ml2 ×p ), ìîæíîB2()A11 B1 + A12 B225âû÷èñëÿòüêàê AB =.A21 B1 + A22 B2íîé ñòðóêòóðîé. Íàïðèìåð, ïðîèçâåäåíèå áëî÷íûõ ìàòðèö25  îáùåì ñëó÷àå, ïóñòü A = (A ), i = 1, 2, . .

. , m, j = 1, 2, . . . n, ãäå Aijij ìàòðèöà ðàçìåðà ri × sj , B = (Bjk ), j = 1, 2, . . . , n, k = 1, 2, . . . p, ãäå Bjk ìàòðèöà ðàçìåðà sj ×tk . Òîãäà AB = (Cik ), ãäå Cik =ïðîâîäèòñÿ íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé.n∑j=1Aij Bjk . Äîêàçàòåëüñòâî25Îáðàòèìûå ìàòðèöû. Îáðàòíàÿ ìàòðèöàÄëÿ íåêîòîðûõ êâàäðàòíûõ ìàòðèö óäàåòñÿ îïðåäåëèòü îïåðàöèþ26îáðàùåíèÿ.B ∈ Mn×n íàçûâàåòñÿBA = AB = E .Îïðåäåëåíèå. ÌàòðèöàðèöûA ∈ Mn×n ,åñëèÎïðåäåëåíèå. ÌàòðèöàA ∈ Mn×nîáðàòíîéíàçûâàåòñÿäëÿ íåå ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ìàòðèöà.äëÿ ìàò-îáðàòèìîé, åñëèÌîæíî ïîïðîáîâàòü îñëàáèòü óñëîâèå îáðàòèìîñòè: ñêàæåì, ÷òîëåâîé îáðàòíîéîáðàòèìûìè ñëåâàB ∈ Mn×n ÿâëÿåòñÿäëÿ ìàòðèöû A ∈∈ Mn×n , åñëè BA = E ; êâàäðàòíûå ìàòðèöû, èìåþùèå ëåâóþ îáðàòìàòðèöàíóþ, íàçîâåìñïðàâà.

Àíàëîãè÷íî îïðåäåëèìîáðàòèìûåìàòðèöû. Îäíàêî íèæå áóäåò äîêàçàíî (ñì. òåîðåìó 4.3), ÷òîäëÿ îáðàòèìîñòè êâàäðàòíîé ìàòðèöû äîñòàòî÷íî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû îíà áûëà îáðàòèìà ñëåâà èëè ñïðàâà.27Äëÿ îáðàòèìîé ìàòðèöû A ∈ Mn×n ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ëåâàÿ îáðàòíàÿ ìàòðèöà è åäèíñòâåííàÿïðàâàÿ îáðàòíàÿ ìàòðèöà, ïðè÷åì îíè ðàâíû.Ïðåäëîæåíèå 3.1.◃ÏóñòüBA, C B = BE = íåêîòîðàÿ ëåâàÿ îáðàòíàÿ ìàòðèöà äëÿíåêîòîðàÿ ïðàâàÿ îáðàòíàÿ ìàòðèöà äëÿA.Òîãäà= B(AC) = (BA)C = EC = C .

Èòàê, êàæäàÿ ëåâàÿ îáðàòíàÿ ìàòC , è, çíà÷èò, îíà åäèíñòâåííà. Àíàëîãè÷íî, ïðàâàÿîáðàòíàÿ ìàòðèöà åäèíñòâåííà. ðèöà ñîâïàäàåò ñÒàêèì îáðàçîì, äëÿ îáðàòèìîé ìàòðèöûA ñóùåñòâóåò åäèíñòâåí-íàÿ îáðàòíàÿ ìàòðèöà (îíà æå åäèíñòâåííàÿ ëåâàÿ îáðàòíàÿ è åäèí−1ñòâåííàÿ ïðàâàÿ îáðàòíàÿ) áóäåì îáîçíà÷àòü åå A.Ïóñòü A, B ∈ Mn×n îáðàòèìûå ìàòðèöû.

Òîãäà1) A−1 îáðàòèìà, ïðè÷åì (A−1)−1 = A;Òåîðåìà 3.2.26 Íèæå ìû óâèäèì, ÷òî íåâîçìîæíîñòü îáðàòèòü ìàòðèöó ýêâèâàëåíòíà ååâûðîæäåííîñòè (§ 4) èëè ðàâåíñòâó íóëþ îïðåäåëèòåëÿ (§ 6).27 Àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå âåðíî äëÿ îáðàòèìîñòè ëèíåéíûõ îòîáðàæåíèéêîíå÷íîìåðíûõ âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ (ââèäó ñîîòâåòñòâèÿ óìíîæåíèÿ ìàòðèöè ëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé), íî íåâåðíîå äëÿ ïðîèçâîëüíûõ îòîáðàæåíèé ñì.ïðèëîæåíèå.26−12) ABT îáðàòèìà, ïðè÷åì (AB)= B −1 A−1 ;T −13) A îáðàòèìà, ïðè÷åì (A ) = (A−1)T .◃ Íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî ìàòðèöû A, B −1 A−1 ,−1 T(A ) ÿâëÿþòñÿ îáðàòíûìè äëÿ ìàòðèö A−1 , AB , AT ñîîòâåòñòâåí28íî.Ñëåäñòâèå.òîÅñëè A1, A2, .

. . , Ak ∈ Mn×n îáðàòèìûåìàòðèöû,−1îáðàòèìà, ïðè÷åì (A1A2 . . . Ak )−1 = A−1k Ak−1 . . .A1 A2 . . . Ak. . . A−11.A ∈ Mn×ns îáðàòèìàÿ ìàòðèöà, òî ìîæíî îïðåäåëèòü A0s−1 −sè äëÿ íåïîëîæèòåëüíûõ öåëûõ s: ïîëîæèì A = En , A = (A) ,Åñëèåñëès öåëîå îòðèöàòåëüíîå. Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òîAs+t = As At è Ast = (As )t .∀ s, t ∈ Zâåðíû ðàâåíñòâàÓìíîæåíèå ìàòðèö è ðàíãÏóñòü A ∈ Mm×n, B ∈ Mn×p.

Òîãäà1) êàæäûé ñòîëáåö ìàòðèöû AB ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåçñòîëáöû ìàòðèöû A;2) êàæäàÿ ñòðîêà ìàòðèöû AB ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåçñòðîêè ìàòðèöû B.Ïðåäëîæåíèå 3.2.◃1) ÏóñòüB = (bjk ),è(a•1 . . . a•n ), (c•1 . . . c•p ) ñòîëáöîâûåçàïèñè ìàòðèö A è C = AB . Òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ óìíîæåíèÿ ìàòn∑ðèö c•k =a•j bjk , òî åñòü k -é ñòîëáåö ìàòðèöû C ðàâåí ëèíåéíîéj=1êîìáèíàöèè ñòîëáöîâA ñ êîýôôèöèåíòàìè èç k -ãî ñòîëáöà ìàòðèöûB.2) Äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî 1), ëèáî ñâîäèòñÿ ê 1) òðàíñïîíèðîTT Tâàíèåì ìàòðèö ((AB) = B A ).

Ïóñòü A ∈ Mm×n, B ∈ Mn×p. Òîãäà rgv (AB) 6è rgh(AB) 6 rgh B.Ïðåäëîæåíèå 3.3.6 rgv A28 Ïðîâåðèì, íàïðèìåð, 2) è 3).2) (B −1 A−1 )(AB) = B −1 (A−1 A)B = B −1 EB = B −1 B = E. Àíàëîãè÷íî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî (AB)(B −1 A−1 ) = E .3) (A−1 )T AT = (AA−1 )T = E T = E. Àíàëîãè÷íî AT (A−1 )T = E .27◃Äîêàæåì íåðàâåíñòâî ïðîrgh(ðàññóæäåíèÿ ïðîrgvàíàëîãè÷-íû).AB . Ñîãëàñíî ïðåäëîc1 • , c2 • , . .

. , cm • ðàâíà ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ñòðîê b1 • , b2 • , . . . , bn• , ïîýòîìó rgh (AB) = rg(c1 • , c2 • , . . .. . . , cm • ) 6 rg⟨b1 • , b2 • , . . . , bn• ⟩. Íî èç òåîðåìû 2.1 âûòåêàåò, ÷òîrg⟨b1 • , b2 • , . . . , bn• ⟩ = rg(b1 • , b2 • , . . . , bn• ) = rgh B .

Ïóñòüc1 • , c2 • , . . . , cm • ñòðîêè ìàòðèöûæåíèþ 3.2, êàæäàÿ èç ñòðîêÑëåäóþùåå ïðåäëîæåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî ðàíã íå ìåíÿåòñÿ ïðèäîìíîæåíèè íà îáðàòèìóþ ìàòðèöó.Ïðåäëîæåíèå 3.4.èÏóñòü B ∈ Mm×n ïðîèçâîëüíàÿ ìàòðèöà, à îáðàòèìûå ìàòðèöû. Òîãäà rgh (AB) =.A ∈ Mm×m C ∈ Mn×n= rgh B rgv (BC) = rgv Bè◃ Ïî ïðåäëîæåíèþ 3.3 rgh B > rgh (AB) > rgh (A−1 AB) == rgh (EB) = rgh B . Àíàëîãè÷íî, rgv B > rgv (BC) > rgv (BCC −1 ) == rgh (BE) = rgv B .

Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ1. Ïîëîæèìòå(1A=2)−2 03 −1,−1C=22ACAT .2. Âû÷èñëèòå(SAS −1 )100 ,åñëèA=(200−122−1 2 .2 −1),(S=3. Ñóììà âñåõ äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ ìàòðèöûååñëåäîìtr A.B ∈ Mn×mè îáîçíà÷àåòñÿðèö A ∈ Mm×n= tr(BA).èÂû÷èñëè-)1 1.1 −1AíàçûâàåòñÿÄîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ ìàòâûïîëíåíî ðàâåíñòâîtr(AB) =4. Äîêàæèòå, ÷òî ïðîèçâåäåíèå äâóõ ñèììåòðè÷åñêèõ ìàòðèö ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷åñêîé ìàòðèöåé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàýòè ìàòðèöû ïåðåñòàíîâî÷íû.5.

ÄëÿA ∈ Mn×nïîëîæèìà) Äîêàæèòå, ÷òîCA = {X ∈ Mn×n | AX = XA}.CA = Mn×n ⇔ A ñêàëÿðíàÿ ìàòðèöà.28á) Äîêàæèòå, ÷òî åñëèA = diag(λ1 , . . . , λn ), ãäå λ1 , . . . , λn CA ìíîæåñòâî âñåõ äèàãîíàëü-ïîïàðíî ðàçëè÷íûå ÷èñëà, òîíûõ ìàòðèö6. Ïóñòün × n.A = diag(λ1 , . . . , λn ), ãäå λi ïîïàðíî ðàçëè÷íûå ÷èñëà.Äîêàæèòå, ÷òî ëþáàÿ äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêàåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì îòA.29nÿâëÿ-7. à) Äîêàæèòå, ÷òî ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåðõíåòðåóãîëüíûõ ìàòðèö âåðõíåòðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà.á) Äîêàæèòå, ÷òî åñëèA ∈ Mn×n âåðõíåòðåóãîëüíàÿ ìàò-ðèöà, ó êîòîðîé âñå ýëåìåíòû ãëàâíîé äèàãîíàëè ðàâíû 0, òîAn = O .â) Âû÷èñëèòå8. ÏóñòüE−A(E + A)10 ,A ∈ Mn×nåñëèòàêîâà, ÷òî00A=00Am = O.1000010000.10Äîêàæèòå, ÷òî ìàòðèöàîáðàòèìà.9.

Äîêàæèòå, ÷òî ïðèm<nìàòðèöàA ∈ Mm×níå ìîæåò èìåòü"ëåâîé îáðàòíîé"ìàòðèöû (òî åñòü íå ñóùåñòâóåò ìàòðèöû∈ Mn×mòàêîé, ÷òîB∈BA = En ).§ 4. Ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ è èõïðèìåíåíèåÝëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ è ýëåìåíòàðíûåìàòðèöûÎïðåäåëèì òðè òèïàðèöûA ∈ Mm×n .ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé30 ñòðîêìàò-(Àíàëîãè÷íî ââîäÿòñÿ ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâà-íèÿ ñòîëáöîâ.)29 Èíòåðåñåí âîïðîñ îá îïèñàíèè âñåõ ìàòðèö A, äëÿ êîòîðûõ C (ñì. çàäà÷óA5) ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì ìíîãî÷ëåíîâ îò A.30 Ôîðìàëüíî ãîâîðÿ, êàæäîå ýëåìåíòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå ýòî îòîáðàæåíèåMm×n → Mm×n .29I òèï: ñòðîêèai •èaj• (i ̸= j ) ìåíÿþòñÿ ìåñòàìè (îñòàëüíûå ñòðîPeij .óìíîæàåòñÿ íà ÷èñëî λ ̸= 0.

Îáîçíà÷èì ýòîêè îñòàþòñÿ áåç èçìåíåíèÿ). Îáîçíà÷èì ýòî ïðåîáðàçîâàíèåai •e i (λ).DIII òèï: ê ñòðîêå ai • ïðèáàâëÿåòñÿ ñòðîêà λaj• (i ̸= j , λ ∈ R) (âñåñòðîêè, êðîìå i-é, îñòàþòñÿ áåç èçìåíåíèÿ). Îáîçíà÷èì ýòî ïðåîáðàeij (λ).çîâàíèå TII òèï: ñòðîêàïðåîáðàçîâàíèåÎïðåäåëèì êâàäðàòíûåýëåìåíòàðíûå ìàòðèöûm òðåõE = Em ñî-ïîðÿäêàòèïîâ êàê ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ ê åäèíè÷íîé ìàòðèöåîòâåòñòâóþùåãî ýëåìåíòàðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ.Pij = Peij (E).I òèï:Çàìåòèì, ÷òîPijîòëè÷àåòñÿ îò åäèíè÷íîéìàòðèöû ëèøü â ÷åòûðåõ ýëåìåíòàõ, ðàñïîëîæåííûõ íà ïåðåñå÷åíèèi-éèj -éñòðîê ñi-ìèj -ìñòîëáöàìè; ñêàæåì, äëÿP14II òèï:ìåñòå).00=010010000010010000m=5èìååì000.01e i (λ)(E) = diag(1, 1, .

. . , 1, λ, 1, . . . , 1) (λDi (λ) = Díài-ìTij (λ) = Teij (λ)(E). Ìàòðèöà Tij (λ) îòëè÷àåòñÿ îò åäèíè÷λ, ðàñïîëîæåííûì íà ïåðåi-é ñòðîêè è j -ãî ñòîëáöà, ñêàæåì, äëÿ m = 5 èìååì1 0 0 0 00 1 0 0 λ T25 (λ) = 0 0 1 0 0  .0 0 0 1 0 0 0 0 0 1III òèï:íîé ìàòðèöû ëèøü ýëåìåíòîì, ðàâíûìñå÷åíèèÅñëè S ýëåìåíòàðíàÿ ìàòðèöà, òî S T ýëåìåíòàðíàÿ ìàòðèöà òîãî æå òèïà, ÷òî è S .Ïðåäëîæåíèå 4.1.◃ PijT = Pij ; Di (λ)T = Di (λ); Tij (λ)T = Tji (λ). 30Ýëåìåíòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå ñòðîê ðàâíîñèëüíî óìíîæåíèþ ñëåâà íà ñîîòâåòñòâóþùóþ ýëåìåíòàðíóþìàòðèöó.Ïðåäëîæåíèå◃4.2.Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöûA ∈ Mm×níåïîñðåäñòâåííî ïðî-âåðÿþòñÿ (êàê â äîêàçàòåëüñòâå ïðåäëîæåíèÿ 3.2) ðàâåíñòâàe i (λ)(A) = Di (λ)A, Teij (λ)(A) = Tij (λ)A. = Pij A, DPeij (A) =1) Ýëåìåíòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå ñòðîê îáðàòèìî, ïðè÷åì îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíûìïðåîáðàçîâàíèåì ñòðîê.2) Ýëåìåíòàðíàÿ ìàòðèöà îáðàòèìà, ïðè÷åì îáðàòíàÿ ìàòðèöà ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíîé.Ïðåäëîæåíèå 4.3.◃ 1) Ëåãêî ïðîâåðèòü,eTij (λ)−1 = Teij (−λ).=÷òîe i (λ)−1 = De i (λ−1 ),Peij−1 = Peij , D31 ÷òî2) Èç 1) è ïðåäëîæåíèÿ 4.2 ñëåäóåò,−1Di (λ−1 ), Tij (λ) = Tij (−λ).

Pij −1 = Pij , Di (λ)−1=Ìåòîä Ãàóññà êàæäîé íåíóëåâîé ñòðîêå ìàòðèöû ìîæíî âûäåëèòü ïåðâûéíåíóëåâîé ýëåìåíò, êîòîðûé áóäåì íàçûâàòüçîì, ýëåìåíòñòðîêèai • ,aijåñëèâåäóùèì. Òàêèì îáðà-A ÿâëÿåòñÿ âåäóùèì ýëåìåíòîì íåíóëåâîéaij ≠ 0 è ai1 = ai2 = . . . = ai j−1 = 0.ìàòðèöûñòóïåí÷àòàÿA ∈ Mm×n(èëèr ∈ {0, 1, 2, . . . , m} ååïåðâûå r ñòðîê íåíóëåâûå, à ïîñëåäíèå m−r ñòðîê íóëåâûå, è, êðîìåòîãî, âåäóùèå ýëåìåíòû a1j1 , a2j2 , . . . , arjr ïåðâûõ r ñòðîê òàêîâû,÷òî j1 < j2 < . . .

< jr .0 ∗ x y z t0 0 0 ∗ u v Íàïðèìåð, ìàòðèöà âèäà 0 0 0 0 ∗ w , ãäå çâåçäî÷êàìè0 0 0 0 0 0Îïðåäåëåíèå. Ñêàæåì, ÷òî ìàòðèöàèìååò ñòóïåí÷àòûé âèä), åñëè äëÿ íåêîòîðîãîîáîçíà÷åíû íåíóëåâûå ÷èñëà âåäóùèå ýëåìåíòû ñòðîê, ÿâëÿåòñÿ31 Íåòðóäíî ïðîâåðèòü è íåïîñðåäñòâåííî.31ñòóïåí÷àòîé. Çâåçäî÷êè è ýëåìåíòû ïðàâåå íèõ îáðàçóþò "ñòóïåíüêè"; ïîä "ñòóïåíüêàìè"âñå ýëåìåíòû ðàâíû íóëþ.Èç îïðåäåëåíèÿ âèäíî, ÷òî â ñòóïåí÷àòîé ìàòðèöå êâàäðàòíàÿïîäìàòðèöà ïîðÿäêàñòðîêr,a1• , a2• , . .

. , ar•ðàñïîëîæåííàÿ íà ïåðåñå÷åíèè ïåðâûõa•j1 , a•j2 , . . . , a•jr ,è ñòîëáöîârÿâëÿåòñÿ âåðõ-íåòðåóãîëüíîé ñ íåíóëåâûìè ýëåìåíòàìè íà äèàãîíàëè.A ∈ Mm×n èìååòa1j1 , a2j2 , . . . , arjr âñåõk = 1, 2, . . . r â ñòîëáöå a•jk âñåÎïðåäåëåíèå. Ñêàæåì, ÷òî ñòóïåí÷àòàÿ ìàòðèöàóïðîùåííûé âèä, åñëè â íåé âåäóùèå ýëåìåíòûíåíóëåâûõ ñòðîê ðàâíû 1, è äëÿýëåìåíòû, çà èñêëþ÷åíèåìakjk ,ðàâíû 0.Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî â ìàòðèöå óïðîùåííîãî âèäà êâàä-r,ðàòíàÿ ïîäìàòðèöà ïîðÿäêàâûõra1• , a2• , . . . , ar•ìàòðèöåé Er .ñòðîêåäèíè÷íîéðàñïîëîæåííàÿ íà ïåðåñå÷åíèè ïåð-è ñòîëáöîâa•j1 , a•j2 , . . .

, a•jr ,ÿâëÿåòñÿÎïèøåì ìåòîä Ãàóññà ïðèâåäåíèÿ ìàòðèöû ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ñòðîê ê ñòóïåí÷àòîìó è óïðîùåííîìó âèäó. Íèæå ìûóâèäèì ìíîãî÷èñëåííûå ïðèìåíåíèÿ ýòîãî ìåòîäà.ÀËÃÎÐÈÒÌ ïðèâåäåíèÿ ìàòðèöû ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ñòðîê ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó (ïðÿìîé õîä ìåòîäà Ãàóññà).ÅñëèA íóëåâàÿ ìàòðèöà, òî ïðîöåññ îêîí÷åí.Èíà÷å âûïîëíèì ñëåäóþùèéÍàéäåì íåíóëåâîé ñòîëáåöa•jøàãïðÿìîãî õîäà ìåòîäà Ãàóññà.ñ íàèìåíüøèì íîìåðîìj.Ïåðåñòà-íîâêîé ñòðîê è óìíîæåíèåì ïåðâîé ñòðîêè íà ïîäõîäÿùåå ÷èñëî äî-j -ì ñòîëáöå, ñòàëa1j = 1.