Матрицы и СЛУ - Кожевников, страница 5

Âûïîëíÿÿ ïîñëåäîâàe21 (−a2j ), Te31 (−a3j ), . . . , Tem1 (−amj ), ïîëóòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ T÷àåì, ÷òî ïåðâûå j − 1 ñòîëáöîâ îñòàëèñü íóëåâûìè, à â j -ì ñòîëáöåòåïåðü ðîâíî îäèí íåíóëåâîé ýëåìåíò a1j = 1. Øàã çàâåðøåí.áüåìñÿ, ÷òîáû ýëåìåíò, ñòîÿùèé â ïåðâîé ñòðîêå èðàâíûì 1. Èòàê, ïðåäïîëàãàåì, ÷òîÏîñëåâûïîëíåíèÿøàãàóìàòðèöûìûñëåííîîòáðàñûâàåìïåðâóþ ñòðîêó. Åñëè îñòàâøàÿñÿ ìàòðèöà íåíóëåâàÿ, âûïîëíÿåì øàãäëÿ íåå.Ïðîäîëæàåì òàê äàëåå, ïîêà íå çàêîí÷àòñÿ ñòðîêè ìàòðèöû èëèïîêà íå ïîëó÷èì ïîñëå î÷åðåäíîãî øàãà íóëåâóþ ìàòðèöó. ðåçóëüòàòå âûïîëíåíèÿ âñåé ïðîöåäóðû äåéñòâèòåëüíî ïîëó÷èì ñòóïåí÷àòûé âèä, òàê êàê íà êàæäîì íîâîì øàãå ðàáîòàåì ñ32ìàòðèöåé, ó êîòîðîé íîìåð ïåðâîãî íåíóëåâîãî ñòîëáöà áîëüøå, ÷åìó ìàòðèöû íà ïðåäûäóùåì øàãå.ÀËÃÎÐÈÒÌ ïðèâåäåíèÿ ìàòðèöû ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ñòðîê ê óïðîùåííîìó âèäó (îáðàòíûé õîä ìåòîäà Ãàóññà).Ïóñòü ìû óæå ïîëó÷èëè (ñì.

ïðåäûäóùèé àëãîðèòì) ñòóïåí÷à-A = (aij ) ∈ Mm×n , â êîòîðîé íåíóëåâûìè ÿâëÿþòñÿr ñòðîê, a1j1 , a2j2 , . . . , arjr âåäóùèå ýëåìåíòû ýòèõ ñòðîê(j1 < j2 < . . . < jr ), ïðè÷åì a1j1 = a2j2 = . . . = arjr = 1.ÂûïîëíÿÿïîñëåäîâàòåëüíîTe1r (−a1jr ), Te2r (−a2jr ), . . . ,Ter−1 r (−ar−1 jr ) (ýòî øàã îáðàòíîãî õîäà ìåòîäà Ãàóññà), ïðåâðàùàåì â 0 âñå ýëåìåíòû jr -ãî ñòîëáöà, çà èñêëþ÷åíèåì arjr = 1.òóþ ìàòðèöóïåðâûåÏðè ýòîì ìàòðèöà îñòàåòñÿ ñòóïåí÷àòîé.Äàëåå ïîñëåäîâàòåëüíî ïðîèçâîäèì àíàëîãè÷íûå äåéñòâèÿ äëÿjr−1 -ãî,...,j2 -ãîñòîëáöîâ.Èòàê, ìû êîíñòðóêòèâíî äîêàçàëè ñëåäóþùóþ òåîðåìó.Ìàòðèöà A ∈ Mm×n ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ñòðîê 1) ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó;2) ê óïðîùåííîìó âèäó.Òåîðåìà 4.1.Ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ è ðàíãÏóñòü ìàòðèöàA = (a•1 .

. . a•n )ïîñëå íåêîòîðîãî ýëåìåíòàðA′ = (a′•1 . . . a′•n ).Ïóñòü íåêîòîðàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ñòîëáöîâ a•j1 , . . . , a•jl ðàâll∑∑íà O :λs a•js = O, òî åñòüλs aijs = 0 äëÿ âñåõ i. Òîãäà, êàês=1s=1l∑íåòðóäíî âèäåòü,λs a′ijs = 0 äëÿ âñåõ i, òî åñòü ëèíåéíàÿ êîìáès=1′′íàöèÿ ñòîëáöîâ a•j , . . .

, a•j ñ òåìè æå êîýôôèöèåíòàìè λ1 , . . . , λlíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ñòðîê ïåðåøëà â ìàòðèöó1ðàâíàO.lÈç ýòîãî ñîîáðàæåíèÿ âûòåêàåòÏóñòü 1 6 j1 < j2 < . . . < jl 6 n. Ïðè ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ ñòðîê ìàòðèöû A ∈ Mm×n ñîõðàíÿåòñÿëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü èëè íåçàâèñèìîñòü ñèñòåìû ñòîëáöîâ ñ íîìåðàìè j1, j2, . . .

, jl .Ïðåäëîæåíèå 4.4.33◃Ïóñòü ìàòðèöàA = (a•1 . . . a•n )ïîñëå íåêîòîðîãî ýëåìåíòàðA′ = (a′•1 . . . a′•n ).Åñëè ïîäñèñòåìà ñòîëáöîâ a•j1 , . . . , a•jl ìàòðèöû A ∈ Mm×n ëè′íåéíî çàâèñèìà, òî, êàê ïîêàçàíî âûøå, ïîäñèñòåìà ñòîëáöîâ a•j ,1′. . . , a•j òàêæå ëèíåéíî çàâèñèìà.íîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ñòðîê ïåðåøëà â ìàòðèöólÏðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ñèñòåìà ñòîëáöîâ a•j1 , . . . , a•jl ëèíåéíî′′íåçàâèñèìà.

Åñëè ñèñòåìà a•j , . . . , a•j ëèíåéíî çàâèñèìà, òî, ðàñ1lñìàòðèâàÿ îáðàòíîå ýëåìåíòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå (ñì. ïðåäëîæåíèå4.3), ïîëó÷àåì ïî äîêàçàííîìó, ÷òî è ñèñòåìà ñòîëáöîâa•j1 , . . . , a•jlëèíåéíî çàâèñèìà ïðîòèâîðå÷èå íàøåìó ïðåäïîëîæåíèþ.Ñòîëáöîâûé ðàíã ìàòðèöû íå èçìåíÿåòñÿ ïðèýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ ñòðîê ìàòðèöû.Ïðåäëîæåíèå 4.5.◃Ñðàçó ñëåäóåò èç ïðåäûäóùåãî ïðåäëîæåíèÿ.Ïóñòü A ñòóïåí÷àòàÿ ìàòðèöà, â êîòîðîé ðîâíîíåíóëåâûõ ñòðîê.

Òîãäà rgv A = r.Ñëåäñòâèå.r◃Ïóñòü ïîñëå óäàëåíèÿ íóëåâûõ ñòðîê èç ìàòðèöû A ïîëó÷àåòñÿA′ . Òîãäà rgv A = rgv A′ è r > rgv A′ , ïîñêîëüêó â ìàòðèöå A′ìàòðèöàñòîëáöû âûñîòûr(ñì. ïðåäëîæåíèå 2.4). Ñ ïîìîùüþ îáðàòíîãî õîA′ ìîæíî ïîëó÷èòü ìàòðèöó óïðîùåííîãî âèäàäà ìåòîäà Ãàóññà èçB,èìåþùóþ ïîäìàòðèöó Er (ñì. àëãîðèòì). Èñïîëüçóÿ ïðåäëîæårgv A′ = rgv B > rgv Er = r. Èòàê, ìû ïîëó÷èëè,′÷òî r > rgv A = rgv A > r , çíà÷èò rgv A = r . íèÿ 4.5, 2.8, èìååìÑòðî÷íûé ðàíã ìàòðèöû íå èçìåíÿåòñÿ ïðèýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ ñòðîê.Ïðåäëîæåíèå 4.6.◃Ñëåäóåò èç ïðåäëîæåíèé 3.4 è 4.2.Òåîðåìà 4.2 (î ðàíãå ìàòðèöû).âûïîëíåíî rgv A = rgh A.◃Äëÿ ëþáîé ìàòðèöû A ∈ Mm×nÄîêàæåì âíà÷àëå, ÷òî äëÿ ëþáîé ìàòðèöû rgv A > rgh A.Ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ñòðîê ïðèâåäåì A ê ñòóïåí′′′÷àòîìó âèäó A , è ïóñòü â A ðîâíî r íåíóëåâûõ ñòðîê.

Òîãäà rgh A 6′6 r, rgv A = r (ñì. ïðåäûäóùåå ñëåäñòâèå). Èç ñîõðàíåíèÿ ðàíãîâ34ïðè ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ (ïðåäëîæåíèÿ 4.5 è 4.6) ñëåäóåò,′′÷òî rgv A = rgv A è rgh A = rgh A , îòêóäà rgv A = r > rgh A.TÂîñïîëüçîâàâøèñü äîêàçàííûì íåðàâåíñòâîì äëÿ A , èìååìTTrgh A = rgv (A ) > rgh (A ) = rgv A.

rgv A è rgh A ìû èñïîëüçóåì îäíî îáîçíà÷åíèå rg A.Òåïåðü âìåñòîÑëåäñòâèå.Äëÿ ëþáîé ìàòðèöû A âûïîëíåíî rg A = rg AT .Èç äîêàçàííîãî âûòåêàåòÀËÃÎÐÈÒÌ íàõîæäåíèÿ ðàíãà ìàòðèöû è íåêîòîðîé áàçèñíîéïîäñèñòåìû ñòîëáöîâ.32Äàííóþ ìàòðèöó A ïðèâåäåì ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè′ñòðîê ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó A (ìåòîäîì Ãàóññà).′Ïóñòü â A ðîâíî r íåíóëåâûõ ñòðîê (r "ñòóïåíåê"), è j1 < j2 << . . . < jrÒîãäà íîìåðà ñòîëáöîâ, ñîäåðæàùèõ âåäóùèå ýëåìåíòû ñòðîê.rg A = r(ñì. ñëåäñòâèå èç ïðåäëîæåíèÿ 4.5).Êðîìå òîãî, ñòîëáöû ìàòðèöûAj1 , j2 ,A.ñ íîìåðàìèþòñÿ áàçèñíîé ïîäñèñòåìîé ñòîëáöîâ ìàòðèöû...,jrÿâëÿ-Äåéñòâèòåëüíî, â ñòóïåí÷àòîì (è â óïðîùåííîì) âèäå ñòîëáöû ñíîìåðàìèj1 , j2 ,...,jrîáðàçóþò áàçèñíóþ ïîäñèñòåìó, òîãäà (ñì.ïðåäëîæåíèå 4.4) è â èñõîäíîé ìàòðèöåðàìèj 1 , j 2 , .

. . , jrAñèñòåìà ñòîëáöîâ ñ íîìå-ÿâëÿåòñÿ áàçèñíîé.Íåâûðîæäåííûå ìàòðèöûÊâàäðàòíàÿ ìàòðèöàÎïðåäåëåíèå.ðîæäåííîé, åñëèrg A = n,èA ∈ Mn×nâûðîæäåííîéíàçûâàåòñÿíåâû-â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.Èíà÷å ãîâîðÿ, â íåâûðîæäåííîé ìàòðèöå ñèñòåìà âñåõ ñòîëáöîâ(èëè ñòðîê) ëèíåéíî íåçàâèñèìà.Äëÿ êâàäðàòíîéìàòðèöû A ∈ Mn×n ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû:1) A íåâûðîæäåííàÿ;Òåîðåìà4.3(êðèòåðèéíåâûðîæäåííîñòè-1).32 Êîíå÷íî, â ñèñòåìå ñòîëáöîâ ìîæåò áûòü íå åäèíñòâåííàÿ áàçèñíàÿ ïîäñèñòåìà.352) A ïðèâîäèòñÿ ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ñòðîê ê åäèíè÷íîé ìàòðèöå En;3) A ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ íåñêîëüêèõ ýëåìåíòàðíûõ ìàòðèö;4) A îáðàòèìàÿ;5) A îáðàòèìàÿ ñëåâà; 5') A îáðàòèìàÿ ñïðàâà.◃5) (èëè 5'))⇒AC = E ), òî èç ïðåäëîrg A > rg E = n.′′óïðîùåííîìó âèäó A . Òàê êàê rg A =1) ÅñëèBA = E(èëèæåíèÿ 3.3 î ðàíãå ïðîèçâåäåíèÿ èìååì:1) ⇒ 2) Ïðèâåäåì A ê= rg A = n, òî A′ äîëæíà ñîäåðæàòü åäèíè÷íóþ ïîäìàòðèöó ïîðÿäêàn, çíà÷èò, A′ = E .2) ⇒ 3) Èç 2) è ïðåäëîæåíèÿ 4.2 ñëåäóåò ðàâåíñòâî Sk Sk−1 .

. .. . . S1 A = E , ãäå Si ýëåìåíòàðíûå ìàòðèöû. Òîãäà äîìíîæàÿ ýòî−1ðàâåíñòâî ñëåâà ïîñëåäîâàòåëüíî íà ýëåìåíòàðíûå ìàòðèöû Sk , . . . ,−1−1 −1−1S1 (ñì. ïðåäëîæåíèå 4.3), ïîëó÷èì A = S1 S2 . . . Sk .3) ⇒ 4) Âûòåêàåò èç òåîðåìû 3.2 (ïðîèçâåäåíèå îáðàòèìûõ ìàòðèö îáðàòèìàÿ ìàòðèöà).4)⇒5) (èëè 5')) Î÷åâèäíî.Ïóñòü A ∈ Mn×n îáðàòèìàÿ ìàòðèöà, B ∈. Ïóñòü (áëî÷íàÿ) ìàòðèöà (A B) ∈ Mn×(n+p) ïðèâåäåíàýëåìåíòàðíûìèïðåîáðàçîâàíèÿìè ñòðîê ê âèäó (En C). Òîãäà C == A−1 B .33Ïðåäëîæåíèå 4.7.∈ Mn×p◃Âûïîëíåíèå ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ýêâèâàëåíòíî äî-R ∈ Mn×n (ñì.RA = E , RB = C ⇒ R =ìíîæåíèþ ñëåâà íà íåêîòîðóþ (îáðàòèìóþ) ìàòðèöóïðåäëîæåíèå 4.2): (E C)= A−1 è C = A−1 B .

= R(A B).ÒîãäàÏîñëåäíåå ïðåäëîæåíèå äàåò, â ÷àñòíîñòè,−1ÀËÃÎÐÈÒÌ îòûñêàíèÿ A.Ê äàííîé ìàòðèöåðèöóE = En ,A ∈ Mn×nïðèïèøåì ñïðàâà åäèíè÷íóþ ìàò-ïîëó÷èì ìàòðèöó(A E).Ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðà-çîâàíèÿìè ñòðîê (ìåòîä Ãàóññà) ïðèâîäèì ìàòðèöó(A E)ê âèäó33 Ýòî ïðåäëîæåíèå äàåò, â ÷àñòíîñòè, ðåöåïò ðåøåíèÿ ìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿAX = B ñ íåâûðîæäåííîé ìàòðèöåé A.36(A′ B),A′ ñòóïåí÷àòàÿ ìàòðèöà.

Åñëè â A′ êîëè÷åñòâî "ñòóïåíåê"ìåíüøå n, òî rg A < n (ñì. àëãîðèòì îòûñêàíèÿ ðàíãà), è, çíà÷èò, ìàòðèöà A íå èìååò îáðàòíîé. Èíà÷å, ïðîäîëæèâ ìåòîä Ãàóññà,−1ïðèâåäåì ìàòðèöó (A E) ê óïðîùåííîìó âèäó (E C). Òîãäà C = A.ãäåk × k ìàòðèöû A, ðàñïîëîæåííàÿ íàk ñòîëáöîâ è k ñòðîê, îêàçàëàñüíåâûðîæäåííîé. Òîãäà ÿñíî, ÷òî ýòà ñèñòåìà èç k ñòîëáöîâ (ñòðîê)ìàòðèöû A ëèíåéíî íåçàâèñèìà, â ÷àñòíîñòè, k 6 rg A. Îêàçûâàåòñÿ,äëÿ ïîäìàòðèö ðàçìåðà r ×r , ãäå r = rg A, âåðíî è îáðàòíîå: â ëþáîé34ìàòðèöå ðàíãà r íàéäåòñÿ íåâûðîæäåííàÿ ïîäìàòðèöà ïîðÿäêà r .Ïóñòü ïîäìàòðèöà ðàçìåðàïåðåñå÷åíèè íåêîòîðîé ñèñòåìûÏóñòü A ∈ Mm×n è rg A = r. Òîãäà êâàäðàòíàÿ ïîäìàòðèöà ïîðÿäêà r, ïîëó÷åííàÿ íà ïåðåñå÷åíèèíåêîòîðîé ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåìû èç r ñòîëáöîâ è íåêîòîðîé ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåìû èç r ñòðîê, ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííîé.Òåîðåìà 4.4 (î áàçèñíîì ìèíîðå).◃ Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè ñèñòåìà ïåðâûõ r ñòðîê a1 • , a2 • ,.

. . , ar • ëèíåéíî íåçàâèñèìà (òî åñòü áàçèñíàÿ ïîäñèñòåìà ñèñòåìûñòðîê ìàòðèöû A), è ñèñòåìà ïåðâûõ r ñòîëáöîâ a•1 , a•2 , . . . , a•r ëè′íåéíî íåçàâèñèìà. Äîêàæåì, ÷òî ïîäìàòðèöà A ∈ Mr×r , ïîëó÷åííàÿâ ïåðåñå÷åíèè ïåðâûõ r ñòðîê è ïåðâûõ r ñòîëáöîâ, íåâûðîæäåííàÿ.Èç òåîðåìû 2.1 âûòåêàåò, ÷òî êàæäàÿ èç ñòðîê ar+1 • , . . . , am •ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ñòðîê a1 • , a2 • , . .

. , ar • . Ïîýòîìóýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè III òèïà ìîæíî ñòðîêè ar+1 • , . . .. . . , am • ïîñëåäîâàòåëüíî ñäåëàòü íóëåâûìè (âû÷åñòü ñîîòâåòñòâóþùóþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ ïåðâûõ r ñòðîê). Ïîñëå âûïîëíåíèÿ ýòèõ( ′)A Bïðåîáðàçîâàíèé ìàòðèöà èìååò âèä. Íî ñîãëàñíî ïðåäëîO Oæåíèþ 4.4, ñèñòåìà ïåðâûõ r ñòîëáöîâ îñòàëàñü ëèíåéíî íåçàâèñè( ′)Aìîé, òî åñòü rg= r. Ïðè îòáðàñûâàíèè íóëåâûõ ñòðîê ðàíã íåO′èçìåíèòñÿ, ïîýòîìó rg A = r . 34 Èíîãäà òàêóþ ïîäìàòðèöó íàçûâàþò áàçèñíûì ìèíîðîì.37Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ1. Äîêàæèòå, ÷òî ýëåìåíòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå ñòðîê I òèïà ìîæíî ïîëó÷èòü ïîñëåäîâàòåëüíûì âûïîëíåíèåì íåñêîëüêèõ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñòðîê II è III òèïà.2. Íàéäèòå ðàíã ìàòðèöû0000A =  3 −6−1 22−4551 −1 2−2 2 −4.1253 −7 2Óêàæèòå â íåé íåêîòîðóþ áàçèñíóþ ïîäñèñòåìó ñòîëáöîâ,ñòðîê.

Íàéäèòå íåâûðîæäåííóþ ïîäìàòðèöó ïîðÿäêà3. Äàíà âåðõíåòðåóãîëüíàÿ ìàòðèöàrg A.A, ó êîòîðîé íà ãëàâíîé äèà-ãîíàëè íåíóëåâûå ýëåìåíòû. Äîêàæèòå, ÷òî A íåâûðîæäåííàÿ−1(= îáðàòèìàÿ), ïðè÷åì Aòàêæå âåðõíåòðåóãîëüíàÿ.(4. à) Âûðàçèòå ðàíã áëî÷íîé ìàòðèöûìàòðèöA ∈ Mm×n)÷åðåç ðàíãèB ∈ Mm×p .èá) Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ ìàòðèö(íîé ìàòðèöûA −3B2ABA EnBA B)ðàâåíA, B ∈ Mn×nðàíã áëî÷-n.B ∈ Mm×n ïðîA ∈ Mm′ ×m è C ∈ Mn×n′ òàêèå ìàòrg C = n. Òîãäà rg(AB) = rg B = rg(BC).5. Äîêàæèòå óñèëåíèå ïðåäëîæåíèÿ 3.4: Ïóñòüèçâîëüíàÿ ìàòðèöà, àðèöû, ÷òîrg A = mèA ∈ Mm×n ðàíãà r ìîæíî ïðåäñòàâèòüBC , ãäå B ∈ Mm×r , C ∈ Mr×n .6. Äîêàæèòå, ÷òî ìàòðèöóâ âèäå ïðîèçâåäåíèÿ7. à) Äîêàæèòå, ÷òî ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ñòðîê äàííóþ ìàòðèöó ìîæíî ïðèâåñòè ê åäèíñòâåííîìó óïðîùåííîìóâèäó.á) ÌàòðèöûA, B ∈ Mm×nìîãóò áûòü ïîëó÷åíû äðóã èç äðó-ãà óìíîæåíèåì ñëåâà íà íåêîòîðûå ìàòðèöû ðàçìåðàòîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàAèBm×mïðîâîäÿòñÿ ýëåìåíòàðíû-ìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ñòðîê ê îäíîìó è òîìó æå óïðîùåííîìóâèäó.388.

Ïðåäëîæèòå àëãîðèòì ðåøåíèÿ ìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿBñ íåâûðîæäåííîé ìàòðèöåéXA =A.§ 5. Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèéÔîðìû çàïèñè è êðèòåðèé ñîâìåñòíîñòèm ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ n íåèçâåñòíûìèa11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 ,a x + a x + ... + a x = b ,21 122 22n n2(2)......am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm ,Ðàññìîòðèì ñèñòåìóãäåaijèbi íåêîòîðûå ÷èñëà.Ñèñòåìà (2) çàïèñûâàåòñÿ â âèäå îäíîãî ìàòðè÷íîãî ëèíåéíîãîóðàâíåíèÿX ∈ Mn×1÷àñòåéAX = b,:A ∈ Mm×nãäåñòîëáåö íåèçâåñòíûõa11 a21A= . ..am1,a12a22a13a23..............am2am3...Ñèñòåìà (2) çàäàåòñÿ.ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâñòîëáåö ïðàâûõ,b ∈ Mm×1 x1a1nb1 x2   b2 a2n x  .