Матрицы и СЛУ - Кожевников, страница 2

, Ak ,èëèB ∈ Mm×nëèíåéíî âûðàæàåòñÿìàòðèö èçÏóñòüMm×n ,A÷åðåçðàñêëàäûâàåòñÿA.A1 , A2 , . . . , Ak . ñèñòåìà ìàòðèö èçA,íàçûâàåòñÿ9 ñèñòåìûËèíåéíàÿ îáîëî÷êà⟨A1 , A2 , . . . , Ak ⟩A2 , . . . , Ak .ïîMm×n .Ìíîæåñòâîêîòîðûå ëèíåéíî âûðàæàþòñÿ ÷åðåç íåñêîëüêî(êîíå÷íîå ÷èñëî) ìàòðèö èçñòåìûB8A 1 , A2 ,A1 , A2 , .

. . , Ak ,ðàâíà ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ìàòðèöãîâîðÿò, ÷òî ìàòðèöàÎïðåäåëåíèå.. ßñíî,ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ðàâíà íóëåâîé ìàòðèöå. Åñ-Aëèíåéíîé îáîëî÷êîéîáîçíà÷àåòñÿ⟨A⟩.ñè- ÷àñòíîñòè, ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà êîíå÷íîé ñèñòåìû ìàòðèöA1 ,k8 Ñâîéñòâà èç ïðåäëîæåíèÿ 1.1 ïîçâîëÿþò óòâåðæäàòü, ÷òî â ñóììå ∑ λ Ai ii=1ïîëó÷èòñÿ ìàòðèöà, íå çàâèñÿùàÿ îò ïîðÿäêà âûïîëíåíèÿ îïåðàöèé ñëîæåíèÿ èóìíîæåíèÿ íà ÷èñëî.9  òåðìèíàõ ëèíåéíîé àëãåáðû ⟨A⟩ ýòî íàèìåíüøåå ïîäïðîñòðàíñòâî âåêòîðíîãî} ìîæíî çàïèñàòü{ ïðîñòðàíñòâà, ñîäåðæàùåå âñå âåêòîðû èç A. Ôîðìàëüíî⟨A⟩ =k∑i=1λi Ai k ∈ N, A1 , A2 , . .

. , Ak ∈ A, λ1 , λ2 , . . . , λk ∈ R.13Èòàê, ïî îïðåäåëåíèþíåñêîëüêî ìàòðèö èçA.äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâàB ∈ ⟨A⟩ ⇔ Bëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç⟨∅⟩ = O. ßñíî, ÷òîA ⊂ ⟨A⟩. Òàêæå ïîA âûïîëíåíî O ∈ ⟨A⟩.Óñëîâèìñÿ ñ÷èòàòü, ÷òîA ⊂ Mm×nâûïîëíåíîíÿòíî, ÷òî äëÿ ëþáîé ñèñòåìû ìàòðèöÒðàíñïîíèðîâàíèåA ∈ Mm×n , A = (aij ). Ìàòðè(bij ) ∈ Mn×m íàçûâàåòñÿê ìàòðèöå A, åñëèbij = aji äëÿ âñåõ i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , m.Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü äàíà ìàòðèöàòðàíñïîíèðîâàííîéöàÌàòðèöó, òðàíñïîíèðîâàííóþ êA,áóäåì îáîçíà÷àòüÎïåðàöèþ, ñîïîñòàâëÿþùóþ êàæäîé ìàòðèöåäåì íàçûâàòüòðàíñïîíèðîâàíèåì10.AAT .ìàòðèöóAT ,áó-Íåòðóäíî ïðåäñòàâèòü òðàíñïîíèðîâàíèå íàãëÿäíî: ýòî ñèììåòAT ýòîðèÿ îòíîñèòåëüíî ãëàâíîé äèàãîíàëè. Ñòîëáöû ìàòðèöûa1 • a2 • òðàíñïîíèðîâàííûå ñòðîêè ìàòðèöû A, òî åñòü åñëè A =  .

, òî .. am •)(AT = aT1 • aT2 • . . . aTm • .11Ïðåäëîæåíèå 1.2.,∀ A, B ∈ Mm×n ∀ λ ∈ R1) (A ) = A;2) (A + B)T = AT + BT3) (λA)T = λAT .T T◃13Íåïîñðåäñòâåííàÿ ïðîâåðêà.âûïîëíåíî: 1210 Ãîâîðÿ áîëåå òî÷íî, òðàíñïîíèðîâàíèå ýòî îòîáðàæåíèå (î÷åâèäíî, áèåêòèâíîå) φ : Mm×n → Mn×m , ïðè êîòîðîì φ(A) = AT .11 Ïî ýòîìó ïðàâèëó óäîáíî âûïèñûâàòü ìàòðèöó, òðàíñïîíèðîâàííóþ ê äàííîé.12 Ñâîéñòâà 2) è 3) îçíà÷àþò, ÷òî îïåðàöèÿ òðàíñïîíèðîâàíèÿ ëèíåéíà.13 Ñâîéñòâî 1) î÷åâèäíî. Äëÿ 2) è 3) ïðèâåäåì ñîîòâåòñòâóþùóþ ïðîâåðêó:2) Ïóñòü A = (aij ), B = (bij ), AT = (cij ), B T = (dij ), A + B = S = (sij ),S T = (rij ). Òîãäà rij = sji = aji + bji = cij + dij , ÷òî è òðåáóåòñÿ.3) Ïóñòü A = (aij ), λA = B = (bij ), B T = (cij ), AT = (dij ).

Òîãäà cij = bji == λaji = λdij .14Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ1. Âû÷èñëèòåA + 3B T ,ãäå(4 −2A=2 −50−1),−3B= 212. Óêàæèòå íåêîòîðóþ ñèñòåìó èç ÷åòûðåõ ìàòðèöA4 ∈ M2×2òàêóþ, ÷òî⟨A1 , A2 , A3 , A4 ⟩ = M2×2 .3. Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî ñòðîê+ x4 = 0} ñîâïàäàåò ñ ëèíåéíîé(−1, 0, 1, 0), (−1, 0, 0, 1).4. ÏóñòüA ïðîèçâîëüíàÿ⟨⟨A⟩⟩ = ⟨A⟩.3−6.7A1 , A2 , A3 ,{(x1 , x2 , x3 , x4 ) | x1 + x2 + x3 +îáîëî÷êîé ñòðîê (−1, 1, 0, 0),ñèñòåìà ñòîëáöîâ èçMn×1 .Äîêàæè-òå, ÷òî5.

ÊâàäðàòíàÿAT = A, èìàòðèöàAíàçûâàåòñÿêîñîñèììåòðè÷åñêîéñèììåòðè÷åñêîéT, åñëè,A= −A.åñëèÄîêàæèòå,÷òî ëþáàÿ êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïðåäñòàâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûìîáðàçîì â âèäå ñóììûB + C,ãäåB ñèììåòðè÷åñêàÿ, àCêîñîñèììåòðè÷åñêàÿ ìàòðèöû.§ 2. Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü è ðàíãËèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü ýòîì è ñëåäóþùåì ïóíêòàõ ðå÷ü ïîéäåò î ëèíåéíîé çàâèñèìîñòèè ðàíãå äëÿ ñèñòåì âåêòîðîâ-ñòîëáöîâ. Âñå îïðåäåëåíèÿ è óòâåðæäå-14íèÿ áåç èçìåíåíèé ïåðåíîñÿòñÿ íà ñèñòåìû âåêòîðîâ-ñòðîê.Îïðåäåëåíèå.åòñÿÑèñòåìà ñòîëáöîâA1 , A2 , .

. . , Akëèíåéíî çàâèñèìîéO ëèíåéíî íåçàâèñèìîéêîìáèíàöèÿ ðàâíàèçMm×1íàçûâà-, åñëè íåêîòîðàÿ èõ íåòðèâèàëüíàÿ ëèíåéíàÿ, èâ ïðîòèâíîì ñëó÷àå.14 Âñå îñòàåòñÿ â ñèëå è äëÿ ìàòðèö ôèêñèðîâàííîãî ðàçìåðà, è âîîáùå äëÿ ñè-ñòåì ýëåìåíòîâ ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà. Äëÿ âåêòîðîâ ãåîìåòðè÷åñêîãî âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà ïîíÿòèå ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè èìååò ñëåäóþùèé ñìûñë: ñèñòåìà èç äâóõ âåêòîðîâ a1 , a2 ëèíåéíî çàâèñèìà ⇔ a1 è a2êîëëèíåàðíû; ñèñòåìà èç òðåõ âåêòîðîâ a1 , a2 , a3 ëèíåéíî çàâèñèìà ⇔ a1 , a2 , a3êîìïëàíàðíû.15Ïîëàãàþò, ÷òî ïóñòàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ-ñòîëáöîâ ëèíåéíî íåçàâèñèìà ôîðìàëüíî ýòî ñîãëàñóåòñÿ ñ îïðåäåëåíèåì.Ñèñòåìà ñòîëáöîâ A1, A2, . .

. , Ak ∈ Mm×1(k > 2) ëèíåéíî çàâèñèìà ⇔ ñðåäè ñòîëáöîâ A1, A2, . . . , Ak íàéäåòñÿ ñòîëáåö, êîòîðûé ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç îñòàëüíûå.Ïðåäëîæåíèå 2.1.◃ ⇒k∑λi Ai = O, è íå âñå êîýôôèöèåíòû ðàâíû 0, ñêài=1æåì, λk ̸= 0. Òîãäà ïîäåëèì ðàâåíñòâî íà −λk è ïåðåíåñåì Ak âk−1∑λiµi Ai , ãäå µi = − , i = 1, 2, .

. .äðóãóþ ÷àñòü; ïîëó÷èì Ak =λki=1. . . , k − 1.⇐Ïóñòüðàñêëàäûâàåòñÿ ïî ñòîëáöàì A1 , A2 , . . . ,k−1∑Ak−1 : Ak =µi Ai . Òîãäàµi Ai − Ak íåòðèâèàëüíàÿ ëèíåéíàÿi=1i=1êîìáèíàöèÿ, ðàâíàÿ O . Ïóñòü, ñêàæåì,k−1∑Ak1) Åñëè â ñèñòåìå A1, A2, . . . , Ak ∈ Mm×1íåêîòîðàÿ ïîäñèñòåìà ëèíåéíî çàâèñèìà, òî è âñÿ ñèñòåìà ëèíåéíî çàâèñèìà.2) Ïîäñèñòåìà ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåìû ëèíåéíî íåçàâèñèìà.Ïðåäëîæåíèå 2.2.◃1) Ïóñòü, ñêàæåì, äëÿ ñèñòåìû ñòîëáöîâïîäñèñòåìàA1 , A2 , . . . , As (s 6 k )A1 , A2 , .

. . , Akååëèíåéíî çàâèñèìà, è íåêîòîs∑ðàÿ íåòðèâèàëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿµi Ai ðàâíà O. Òîãäài=1s∑µi Ai + 0 · As+1 + . . . + 0 · Ak íåòðèâèàëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíài=1öèÿ, ðàâíàÿ O .2) Ýòî ïåðåôîðìóëèðîâêà óòâåðæäåíèÿ 1).1) Ñèñòåìà ñòîëáöîâ èç Mm×1, ñîäåðæàùàÿ O, ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíî çàâèñèìîé.2) Ñèñòåìà ñòîëáöîâ èç Mm×1, ñîäåðæàùàÿ äâà îäèíàêîâûõñòîëáöà, ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíî çàâèñèìîé.Ñëåäñòâèå.16Ïóñòü äàíû ñòîëáåö B ∈ Mm×1 è ëèíåéíîkíåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà A1, A2, . . .

, Ak ∈ Mm×1. Åñëè B = ∑ λiAi,i=1òî êîýôôèöèåíòû λ1, λ2, . . . , λk îïðåäåëÿþòñÿ îäíîçíà÷íî.Ïðåäëîæåíèå 2.3.◃B ðàçëîæåí ïî ñòîëáöàì A1 , A2 , . . . , Ak åùåk∑B =µi Ai . Âû÷èòàÿ èç îäíîãî ðàçëîæåíèÿÏðåäïîëîæèì, ÷òîêàêèì-òî ñïîñîáîì:k∑i=1(λi − µi )Ai = O. Òàê êàê A1 , A2 , . . . , Ak ëèi=1íåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà, òî ëåâàÿ ÷àñòü ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà äðóãîå, ïîëó÷àåìòðèâèàëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ, îòêóäàλi = µi , i = 1, 2, . .

. , k . A ñèñòåìà âåêòîðîâ-ñòîëáöîâ èç Mm×1 . ÊîA1 , A2 , . . . , Ar ñèñòåìû A áóäåì íàçûâàòüäëÿ A, åñëè îíà ëèíåéíî íåçàâèñèìà, è ëþáîé ñòîëáåö èç Aïðèíàäëåæèò ⟨A1 , A2 , . . . , Ar ⟩.Îïðåäåëåíèå. Ïóñòüáà-íå÷íóþ ïîäñèñòåìóçèñíîéÍèæå äàäèì îïèñàíèå áàçèñíûõ15 ïîäñèñòåì äëÿ ïðîèçâîëüíûõñèñòåì âåêòîðîâ-ñòîëáöîâ, à ïîêà óêàæåì ïðèìåð áàçèñíîé ïîäñè-Mm×1 . ÂìíîæåñòâåMm×1ñèñòåìó ñòîëáöîâ  ðàññìîòðèì100010   e1 =  . , e2 =  .

, . . . , em =  .  (ó ñòîëáöà ei íà i-ì ìåñòå.... .. 001ñòåìû âåäèíèöà, à îñòàëüíûå ýëåìåíòû ðàâíû íóëþ).Ñèñòåìà ñòîëáöîâ e1, . . . , em ÿâëÿåòñÿ áàçèñíîé ïîäñèñòåìîé16 â Mm×1.Ïðåäëîæåíèå 2.4.15 Ïðåäëàãàåìûé òåðìèí "áàçèñíàÿ ïîäñèñòåìà"íàõîäèòñÿ â ñîãëàñèè ñ îáùåïðèíÿòûì îïðåäåëåíèåì áàçèñà â ëèíåéíîé àëãåáðå: äåéñòâèòåëüíî, óïîðÿäî÷åííàÿ áàçèñíàÿ ïîäñèñòåìà â ñèñòåìå A ýòî áàçèñ ïîäïðîñòðàíñòâà ⟨A⟩.

Äëÿëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ φ : Rn → Rm , çàäàííîì ìàòðèöåé A, áàçèñíàÿ ñèñòåìàñòîëáöîâ ìàòðèöû A ýòî áàçèñ â Im φ.16 Óïîðÿäî÷åííóþ ñèñòåìó ñòîëáöîâ e , . . . , e íàçûâàþò ñòàíäàðòíûì áàçèm1ñîì â Rm = Mm×1 .17λ1 λ2 m∑ λi ei =  .  âèäíî, ÷òî åñëèλi ei = O, òî◃ Èç ðàâåíñòâà .. i=1i=1λmλ1 = λ2 = . . .

= λm = 0, ïîýòîìó e1 , . . . , em ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿñèñòåìà. Èç òîãî æå ðàâåíñòâà âèäíî, ÷òî ëþáîé ñòîëáåö èç Mm×1ìîæíî ðàçëîæèòü ïî ñòîëáöàì e1 , . . . , em . m∑ÐàíãÎïðåäåëåíèå.Öåëîå íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëîíåïóñòîé (âîçìîæíî, áåñêîíå÷íîé) ñèñòåìûMm×1 ,åñëè âAìîæíî âûáðàòürAríàçûâàåòñÿðàíãîìâåêòîðîâ-ñòîëáöîâ èçñòîëáöîâ, ÿâëÿþùèõñÿ ëèíåéíîíåçàâèñèìîé ñèñòåìîé, íî íåëüçÿ âûáðàòür+1ñòîëáöîâ, ÿâëÿþ-ùèõñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåìîé.17rg A.  ÷àñòíîñòè, rg(A1 , A2 , . .

. , Ak ) A1 , A2 , . . . , Ak .Èòàê, ðàíã ñèñòåìû âåêòîðîâ-ñòîëáöîâ A ýòî ìàêñèìàëüíîå êî-Îáîçíà÷åíèå äëÿ ðàíãà:ðàíã êîíå÷íîé ñèñòåìû ñòîëáöîâëè÷åñòâî âåêòîðîâ-ñòîëáöîâ, êîòîðîå ìîæåò áûòü â ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ïîäñèñòåìåA.  ÷àñòíîñòè, ñèñòåìà èç îäíîãî èëè íåñêîëüêèõíóëåâûõ ñòîëáöîâ èìååò ðàíã 0. ßñíî, ÷òî ðàíã îïðåäåëåí äëÿ ëþáîéêîíå÷íîé ñèñòåìû âåêòîðîâ-ñòîëáöîâ è íå ïðåâîñõîäèò êîëè÷åñòâàñòîëáöîâ â ñèñòåìå.18  ñëó÷àå, åñëè â ñèñòåìå èìåþòñÿ íåñêîëüêîðàâíûõ ñòîëáöîâ, ìîæíî îñòàâèòü îäèí èç íèõ, óäàëèâ "êîïèè ðàíãïðè ýòîì íå èçìåíèòñÿ.Êîíå÷íàÿ ñèñòåìà A, ñîñòîÿùàÿ èç k ñòîëáöîâ, ëèíåéíî íåçàâèñèìà ⇔ rg A = k.Ïðåäëîæåíèå 2.5.◃Ñðàçó ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ.17 Åñëè A ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà, òî ðàíã ïðèíÿòî íàçûâàòü ðàçìåðíîñòüþ ïîäïðîñòðàíñòâà A è îáîçíà÷àòü dim A.18 Íèæå ìû óâèäèì, ÷òî è äëÿ ëþáîé áåñêîíå÷íîé ñèñòåìû âåêòîðîâ-ñòîëáöîâèç Mm×1 îïðåäåëåí ðàíã, ïðè÷åì ýòîò ðàíã íå ïðåâîñõîäèò m.

 îòëè÷èå îòïðîñòðàíñòâà ñòîëáöîâ âûñîòû m, ñóùåñòâóþò âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà, ñîäåðæàùèå ñèñòåìû âåêòîðîâ áåñêîíå÷íîãî ðàíãà (ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî rìîæíî âûáðàòü ëèíåéíî íåçàâèñèìóþ ïîäñèñòåìó èç r âåêòîðîâ).18Ïóñòü A1, A2 äâå ñèñòåìû ñòîëáöîâ èç, ïðè÷åì rg A1 = r1, rg A2 = r2. Òîãäà rg(A1 ∪ A2) 6 r1 + r2.Ïðåäëîæåíèå 2.6.Mm×1◃Ïóñòü ýòî íå òàê, è â îáúåäèíåíèè íàáîðîâëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ïîäñèñòåìà èçr1 + r2 + 1A1èA2íàøëàñüñòîëáöîâ. Íî (ïîîïðåäåëåíèþ ðàíãà è ïðåäëîæåíèþ 2.2) ñðåäè ýòèõ ñòîëáöîâ íå áîëåår1ñòîëáöîâ èçA1è íå áîëåår2ñòîëáöîâ èçA2 .Ïðîòèâîðå÷èå.Ïóñòü A, B äâå ñèñòåìû ñòîëáöîâ èç Mm×1,ïðè÷åì A ⊂ B è rg B = r. Òîãäà rg A 6 r.Ïðåäëîæåíèå 2.7.◃Ñðàçó ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ.Ïðåäûäóùåå ïðåäëîæåíèå ïî÷òè î÷åâèäíî: åñëè ê ñèñòåìå ñòîëáöîâAäîáàâèòü íåêîòîðûå ñòîëáöû (ðàñøèðèòüAäî ñèñòåìûB ),Aòî ðàíã íå óìåíüøèòñÿ.