Матрицы и СЛУ - Кожевников, страница 9

. . , an }.N, Z, Q, R ñîîòâåòñòâåííîÏðèíÿòû îáîçíà÷åíèÿäëÿ ìíîæåñòâíàòóðàëüíûõ, öåëûõ, ðàöèîíàëüíûõ è âåùåñòâåííûõ (äåéñòâèòåëüíûõ) ÷èñåë.ïîäìíîæåñòâîìÃîâîðÿò, ÷òî ìíîæåñòâî B ÿâëÿåòñÿìíîæåñòâàA (èíîãäà ãîâîðÿò, ÷òî Bâ A), åñëè x ∈ B ⇒ x ∈ A. Îáîçíà÷åíèå: B ⊂ A èëè B ⊆ A. Çàìåòèì, ÷òî ∅ ⊆ A äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâàA. Ìíîæåñòâà A è B íàçûâàþòñÿ, åñëè îäíîâðåìåííî B ⊆⊆ A è A ⊆ B . Ïîäìíîæåñòâî ìîæíî âûäåëèòü íåêîòîðûì óñëîâèåì.Äëÿ ïîäìíîæåñòâà ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà A, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ X , ïðèìåì îáîçíà÷åíèå {a ∈ A | X }.

Íàïðèìåð, ïîäìíîæåñòâî÷åòíûõ (öåëûõ) ÷èñåë ìîæíî çàäàòü çàïèñüþ {n ∈ Z | ∃k ∈ Z n = 2k}èëè áîëåå êîðîòêî {2k | k ∈ Z}.âëîæåíîðàâíûìèÍàä ìíîæåñòâàìè îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèå îïåðàöèè.ÎáúåäèíåíèåìíîæåñòâAèBx, äëÿx ∈∪A, x ∈Ai (iîáúåäèíåíèå ýòî ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâêîòîðûõ èìååò ìåñòî õîòÿ áû îäíî èç äâóõ âêëþ÷åíèé:∈ B.Îáîçíà÷åíèå:A∪B.Ìîæíî îïðåäåëèòüi∈II ) êàê ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ, ïðèíàäëåæàùèõ õîòÿ áû îäíîìó èç ìíîæåñòâ Ai , i ∈ I .ìíîæåñòâ A è B ýòî ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ x, äëÿêîòîðûõ èìåþò ìåñòî îáà âêëþ÷åíèÿ: x ∈ A, x ∈ B . Îáîçíà÷åíèå:∩∩∩A B .

Èíà÷å ãîâîðÿ, A ∩B = {x ∈ A | x ∈ B} (èëè A B = {x ∈∈ B | x ∈ A}.  ñëó÷àå A B = ∅ ãîâîðÿò, ÷òî ìíîæåñòâàA è B∩Ai êàê ìíî. Ìîæíî îïðåäåëèòü ïåðåñå÷åíèåïðîáåãàåò ìíîæåñòâî èíäåêñîâÏåðåñå÷åíèåíåïåðåñåêàþùèåñÿi∈Iæåñòâî ýëåìåíòîâ, ïðèíàäëåæàùèõ êàæäîìó èç ìíîæåñòâÐàçíîñòüþA B∈/ B}A\BÄåêàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåììíîæåñòâ. Îáîçíà÷åíèå:íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîAi , i ∈ I .{x ∈ A | x ∈/.ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæå{(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}. Îáîçíà÷åíèå: A × B .îïðåäåëÿåòñÿ äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå A1 × A2 × . . .

×ñòâî óïîðÿäî÷åííûõ ïàðÀíàëîãè÷íîè59× Anêàê ìíîæåñòâî n-îê {(a1 , a2 , . . . , an ) | a1 ∈ A1 , . . . , an ∈ An }.A1 = A2 = . . . = An = A, òî äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå A1 × A2 ×× . . . × An îáîçíà÷àåòñÿ òàêæå An .ÅñëèÇíàê ñóììèðîâàíèÿn∑ai . Ñóììó ÷èñåëi=1∑ai , ãäå i ïðîáåãàåò êîíå÷íîå ìíîæåñòâî èíäåêñîâ I , îáîçíà÷àþòai .i∈IÎòìåòèì ñëåäóþùèå ñâîéñòâà çíàêà ñóììèðîâàíèÿ.Ñóììóa1 + a2 + .

. . + anêîðîòêî îáîçíà÷àþòÄëÿ ëþáûõ ÷èñåëâûïîëíåíû ðàâåíñòâà:nn; 2) ∑ λai = λ ∑ ai.(Ëèíåéíîñòü çíàêà ñóììèðîâàíèÿ)a 1 , a2 , . . .. . . , an , b1 , b2 , . . . , bnnnn∑∑∑(ai + bi ) =ai +bi1)i=1i=1i=1i=1i=1Äëÿ mnäåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåëma11n, a12, . . . ,na1nm, a21, . . .

, a2n , . . . , am1, . . . , amnâûïîëíåíî ðàâåíñòâî ∑ ∑ aij = ∑ ∑ aij .(Èçìåíåíèåïîðÿäêàïðèäâîéíîìi=1 j=1◃ñóììèðîâàíèè)j=1 i=1Çàïèøåì ÷èñëà â òàáëèöó (ìàòðèöó). Âû÷èñëèì ñóììó âñåõýëåìåíòîâ ìàòðèöû, ïðîñóììèðîâàâ ýëåìåíòû ïî ñòîëáöàì, à çàòåìïî ñòðîêàì. Ïðè ýòîì ïîëó÷èì ëåâóþ ÷àñòü ðàâåíñòâà. Ïðîñóììèðîâàâ âíà÷àëå ïî ñòðîêàì, à çàòåì ïî ñòîëáöàì, ïîëó÷èì ïðàâóþ ÷àñòüðàâåíñòâà.Ïîíÿòèÿ îòîáðàæåíèÿ è ïðåîáðàçîâàíèÿÏóñòüXèYîòîáðàæåíèå fXâY ), ïðîèçâîëüíûå ìíîæåñòâà.

Ãîâîðÿò, ÷òî çàäàíîìíîæåñòâàXâ ìíîæåñòâîåñëè êàæäîìó ýëåìåíòóåäèíñòâåííûé ýëåìåíòfX → Y èëè X → Y .y ∈ Y.x ∈ X(èëè îòîáðàæåíèå èçÎáîçíà÷åíèÿ äëÿ îòîáðàæåíèÿ:Îáðàçîì ïîäìíîæåñòâà X ′ ⊂′Xf :ïðè îòîáðàæåíèè f : X → Y íà{f (x) | x ∈ X }. Îáîçíà÷åíèå: f (X ′ ). Îáðàç f (X)X ïðè îòîáðàæåíèè f : X → Y íàçûâàåòñÿ òàêæåçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîâñåãî ìíîæåñòâàYïîñòàâëåí â ñîîòâåòñòâèå60îáðàçîì îòîáðàæåíèÿ f. Ïîìèìî f (X) äëÿ îáðàçà îòîáðàæåíèÿ èñIm f .f : X → X ìíîæåñòâà X â ñåáÿ íàçûâàåòñÿ òàêæåìíîæåñòâà X .

Ïðåîáðàçîâàíèå f : X → X íàçûïðåîáðàçîâàíèåì, åñëè ∀x ∈ X f (x) = x.ïîëüçóåòñÿ îáîçíà÷åíèåÎòîáðàæåíèåïðåîáðàçîâàíèåìòîæäåñòâåííûìâàåòñÿÎáîçíà÷åíèå:IX .Ïóñòü äàíû íåêîòîðûå ìíîæåñòâà X , Y , Z è îòîáðàæåíèÿ f :X → Y , g : Y → Z . Îòîáðàæåíèå h : X → Z , çàäàííîå ∀x ∈ Xðàâåíñòâîì h(x) = g(f (x)), íàçûâàåòñÿgè f èëèg íà f .

Êîìïîçèöèÿ îáîçíà÷àåòñÿ g ◦ f èëègf .êîìïîçèöèåé îòîáðàæåíèéïðîèçâåäåíèåìÄëÿ ïðîèçâåäåíèÿ îòîáðàæåíèé âûïîëíåíî ñëåäóþùåå ñâîéñòâîàññîöèàòèâíîñòè.Ïóñòü äàíû íåêîòîðûå ìíîæåñòâà X , Y , Z , T è îòîáðàæåíèÿ,,. Òîãäà h(gf ) = (hg)f .f :X→Y g:Y →Z h:Z→T◃Ïîëüçóÿñü ìíîãîêðàòíî îïðåäåëåíèåì êîìïîçèöèè îòîáðàæå-∀x ∈ X èìååì: (h(gf ))(x) = h((gf )(x)) = h(g(f (x))).ñòîðîíû, ((hg)f )(x) = (hg)(f (x)) = h(g(f (x))). íèé,Ñ äðóãîéÎòñþäà ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùåå îáîáùåíèå:Ïóñòü äàíû ìíîæåñòâà X1, X2, ..., Xn+1 è îòîáðàæåíèÿ fi :,. Òîãäà ïðîèçâåäåíèå fnfn−1 . . . f1 îïðåäåëåíî è íå çàâèñèò îò ïîðÿäêà âûïîëíåíèÿ êîìïîçèöèé (íå çàâèñèòîò ðàññòàíîâêè ñêîáîê).Xi → Xi+1 i = 1, 2, .

. . , n◃Èñïîëüçóåì èíäóêöèþ ïîn.Áàçà:n = 3(ñì. ïðåäûäóùåå3, 4, . . . , n−fn fn−1 . . . f1 Ñêîáêè ðàññòàâëåíû äâóì ñïîñîáàìè: g = (fn fn−1 . . . fk+1 )(fk fk−1 . . . f1 ) è h =(fn fn−1 . . . fl+1 )(fl fl−1 . . . f1 ) (â êàæäîì èç ñïîñîáîâ ìû îòìåòèëè ïîóòâåðæäåíèå).

Ïóñòü óòâåðæäåíèå âåðíî äëÿ êîìïîçèöèè1îòîáðàæåíèé. Ïóñòü â ïðîèçâåäåíèèñëåäíþþ îïåðàöèþ êîìïîçèöèè, â îñòàëüíîì îïåðàöèè âûïîëíÿþòñÿâ ïðîèçâîëüíîì ïîðÿäêå).k < n, òî â ñèëó ïðåäïîëîæåíèÿ èíäóêöèè îòîáðàæå(fk fk−1 . . . f1 ) : X1 → Xk+1 íå çàâèñèò îò ïîðÿäêà âûïîëíå-Òàê êàêíèåíèÿ êîìïîçèöèè (òî åñòü ñêîáêè â ýòîì âûðàæåíèè ìîæíî ðàññòàâëÿòü êàê óãîäíî, îíî îò ýòîãî íå èçìåíèòñÿ). Òàêîå æå çàìå÷àíèå61ñïðàâåäëèâî è äëÿ îòîáðàæåíèé (fn fn−1 . . . fk+1 ) : Xk+1 → Xn+1 ,(fl fl−1 .

. . f1 ) : X1 → Xl+1 , (fn fn−1 . . . fl+1 ) : Xl+1 → Xn+1 .Òàêèì îáðàçîì, åñëè k = l, òî ñðàçó ïîëó÷àåì g = h.Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè k < l .Òîãäà g = ((fn fn−1 . . . fl+1 )(fl fl−1 . . . fk+1 ))(fk fk−1 . . . f1 ),h = (fn fn−1 . . . fl+1 )((fl fl−1 . . . fk+1 )(fk fk−1 . . . f1 )). Èç ïðåäûäóùåãî óòâåðæäåíèÿ, ïðèìåíåííîãî ê òðåì îòîáðàæåíèÿì (fk fl−1 . . .. . . f1 ) : X1 → Xk+1 , (fl fl−1 .

. . fk+1 ) : Xk+1 → Xl+1 , (fn fn−1 . . .. . . fl+1 ) : Xl+1 → Xn+1 , ïîëó÷àåì, ÷òî g = h. Äîêàçàííîå ñâîéñòâî ïðîèçâåäåíèÿ îòîáðàæåíèé ïîçâîëÿåò äëÿn ∈ N êîððåêòíî îïðåäåëèòü n-þ ñòåïåíü ïðåîáðàçîâàíèÿf : X → X êàê f n = f f . . . f . Èç ïðåäûäóùåãî ÿñíî, ÷òî ∀ m, n ∈ N| {z }ëþáîãîn áóêâ fâåðíû ðàâåíñòâàf m+n = f m f nèf mn = (f m )n .Äëÿ ïðîèçâåäåíèÿîòîáðàæåíèé ðîëü "åäèíèöû"èãðàåò òîæäåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå.ëåâûì (ïðàâûì) îáðàòíûìg : Y → X íàçûâàåòñÿf : X → Y , åñëè gf = IX (f g = IY ). Íå äëÿ âñÿêîãîîòîáðàæåíèÿ f : X → Y íàéäåòñÿ ëåâîå îáðàòíîå îòîáðàæåíèå. Åñëèîíî íàéäåòñÿ, òî áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî f îáðàòèìî ñëåâà.

Àíàëîãè÷íîÎòîáðàæåíèåäëÿ îòîáðàæåíèÿîïðåäåëÿþòñÿ îòîáðàæåíèÿ, îáðàòèìûå ñïðàâà. Îòîáðàæåíèÿ, ÿâëÿþùèåñÿ îäíîâðåìåííî îáðàòèìûìè ñïðàâà è ñëåâà, áóäåì íàçûâàòüîáðàòèìûìèÄëÿ îáðàòèìîãî îòîáðàæåíèÿ f : X → Y ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ëåâîå îáðàòíîå îòîáðàæåíèå è åäèíñòâåííîå ïðàâîå îáðàòíîå îòîáðàæåíèå, ïðè÷åì îíè ðàâíû..◃ Ïóñòü g : Y → X íåêîòîðîå ëåâîå îáðàòíîå îòîáðàæåíèå äëÿf , h : Y → X íåêîòîðîå ïðàâîå îáðàòíîå îòîáðàæåíèå äëÿ f .

Òîãäàg = gIY = g(f h), ÷òî ðàâíî (gf )h = IX h = h. Èòàê, êàæäîå ëåâîåîáðàòíîå îòîáðàæåíèå g ñîâïàäàåò ñ h, è çíà÷èò îíî åäèíñòâåííî.Àíàëîãè÷íî, êàæäîå ïðàâîå îáðàòíîå îòîáðàæåíèå h ñîâïàäàåò ñ g ,è, çíà÷èò, îíî åäèíñòâåííî. Äëÿ îáðàòèìîãî îòîáðàæåíèÿf :X→Yåãî åäèíñòâåííîå ëåâîå(îíî æå è åäèíñòâåííîå ïðàâîå) îáðàòíîå îòîáðàæåíèå áóäåì íàçû−1âàòüè îáîçíà÷àòü f.îáðàòíûì îòîáðàæåíèåì62Ïóñòü äàíû íåêîòîðûå ìíîæåñòâà X , Y , Z è îáðàòèìûå îòîáðàæåíèÿ−1 f : X → Y è g : Y → Z−1.

Òîãäà1) f îáðàòèìî, ïðè÷åì (f −1)−1 =−1f ; −12) gf îáðàòèìî, ïðè÷åì (gf ) = f g .◃f f −1 = IY , f −1 f = IX−1äëÿ f.1) Ðàâåíñòâàíîå îòîáðàæåíèåîçíà÷àþò, ÷òîf îáðàò-2) Íóæíîå óòâåðæäåíèå âûòåêàåò èç ðàâåíñòâ(f −1 g −1 )(gf ) = f −1 (g −1 g)f = f −1 IY f = f −1 f = IX ,(gf )(f −1 g −1 ) = g(f f −1 )g −1 = gIY g −1 = gg −1 = IZ . Ñëåäñòâèå:Ïóñòü äàíû ìíîæåñòâà X1, X2, ..., Xn+1 è îáðàòèìûå îòîáðàæåíèÿ fi : Xi → Xi+1, i = 1, 2, . .

. , n−1. Òîãäà−1 ïðîèçâåäåíèåfn fn−1 . . . f1 îáðàòèìî, ïðè÷åì (fn fn−1 . . . f1 ) = f1 f2−1 . . . fn−1 .Åñëèf : X → X îáðàòèìîå ïðåîáðàçîâàíèå, òî ìîæíî îïðå-äåëèòü n-þ ñòåïåíü è äëÿ íåïîëîæèòåëüíûõ öåëûõ n: ïîëîæèìf 0 = IX , f −m = (f −1 )m , åñëè m ∈ N. Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿm+nâñåõ m, n ∈ Z âåðíû ðàâåíñòâà f= f m f n è f mn = (f m )n .Îòîáðàæåíèå1)(èëèâûòåêàåò, ÷òî2)3)f :X→Yèíúåêòèâíûì′x=xñþðúåêòèâíûìáèåêòèâíûì;íàçûâàåòñÿèíúåêöèåéñþðúåêöèåéáèåêöèåé), åñëè èç ðàâåíñòâà(èëè(èëè), åñëèf (x) = f (x′ )f (X) = Y ;, èëè âçàèìíî-îäíîçíà÷íûì ñîîò-âåòñòâèåì), åñëè îíî îäíîâðåìåííî ÿâëÿåòñÿ è ñþðúåêöèåé, è èíúåêöèåé.Íåòðóäíî óñòàíîâèòü, ÷òî1)2)3)f :X→Yf :X→Yf :X→Y⇔ f îáðàòèìî ñëåâà;⇔ f îáðàòèìî ñïðàâà;⇔ f îáðàòèìî.èíúåêòèâíîñþðúåêòèâíîáèåêòèâíî63Îòâåòû, óêàçàíèÿ è ðåøåíèÿ(1. Îòâåò:−54311 −23 20§1).()()()1 00 10 0A1 =,A2 =,A3 =,0 00 01) 0()(0 0 50λ1 λ2A4 =.Òîãäà ïðîèçâîëüíàÿ ìàòðèöàðàâ0 1λ3 λ44∑íàλi Ai .2.

Íàïðèìåð,i=151 ÷òî ñòðîêà3. Íåòðóäíî âèäåòü,+ x2 + x3 + x4 = 0+ x4 (−1, 0, 0, 1).ðàâíà(x1 , x2 , x3 , x4 ) ñ óñëîâèåì x1 +x2 (−1, 1, 0, 0) + x3 (−1, 0, 1, 0) +4. Ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé ñòîëáöîâ èçðàâíà ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ñòîëáöîâ èç5. Ìîæíî èñïîëüçîâàòü ðàçëîæåíèåA=A.52AA + ATA − AT 53+.22§250 Ýòî ñòàíäàðòíûé áàçèñ â M2×2 .51 Âîîáùå, ýòà çàäà÷à ÷àñòíûé ñëó÷àé çàäà÷è ðåøåíèÿ îäíîðîäíîé ñèñòåìûëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñì. § 5.52 Ïåðåôîðìóëèðîâêà ýòîé çàäà÷è: ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà âñåãäà ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì.53 Ïåðåôîðìóëèðîâêà ýòîé çàäà÷è: âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî Mn×n ðàñêëàäû−âàåòñÿ â ïðÿìóþ ñóììó ïîäïðîñòðàíñòâ M+n×n è Mn×n ñèììåòðè÷åñêèõ è êîñîñèììåòðè÷åñêèõ ìàòðèö.641. ÏóñòüA1 , A2 , . .

. , Akáàâèâ ê ðàçëîæåíèþ ëèíåéíî çàâèñèìàÿ ñèñòåìà. Òîãäà ïðè-Bïî âåêòîðàìA1 , A2 , . . . , Ak íåòðèâèàëüO, ïîëó÷èì äðóãîå ðàçëî-íóþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ, ðàâíóþæåíèåB.2. Îòâåò: íåò. Äîñòàòî÷íî ïðèìåíèòü òåîðåìó îá îöåíêå ðàíãàñóììû äëÿ ìàòðèö3. ÍàéäóòñÿrC =A+BèD = −B .a1 , . . . , ar , ïî êîòîðûìA.