Матрицы и СЛУ - Кожевников, страница 8

Ðàññìîòðèì ëèíåéíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ φ : Rn → Rn è ψ : Rn → Rn , çàäàííûå (â íåêîòîðîì áàçèñå) ìàòðèöàìè Aè B . Òîãäà |A| êîýôôèöèåíò èçìåíåíèÿ îðèåíòèðîâàííîãî îáúåìà ïðè âûïîëíåíèè φ, |B| ñîîòâåòñòâóþùèé êîýôôèöèåíò äëÿ ψ , |AB| ñîîòâåòñòâóþùèéêîýôôèöèåíò äëÿ φψ .52ñòðîê. Ñîãëàñíî òåîðåìå 6.2 è ïðåäëîæåíèÿì 6.1, 6.2, èìååì: åñëèS = Pij , òî |S| = −1, |SA| = |Peij (A)| = −|A|; åñëè S = Di (λ), òîe i (λ)(A)| = λ|A|; åñëè S = Tij (λ), òî |S| = 1,|S| = λ, |SA| = |De|SA| = |Tij (λ)(A)| = |A|.

Êàê âèäèì, âî âñåõ òðåõ ñëó÷àÿõ ðàâåíñòâî|SA| = |S| · |A| âûïîëíåíî. Òåîðåìà 6.4 (ïðîèçâåäåíèå îïðåäåëèòåëåé).íåíî |AB| = |A| · |B|.∀ A, B ∈ Mn×nâûïîë-◃ 1) Åñëè |A| = 0, òî ïî òåîðåìå 6.3 rg A < n ⇒ (ïî ïðåäëîæåíèþrg(AB) < n ⇒ (ïî òåîðåìå 6.3) |AB| = 0.2) Åñëè |A| ̸= 0, òî A ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿíåñêîëüêèõ ýëåìåíòàðíûõ ìàòðèö (òåîðåìà 4.3): A = S1 S2 . . . Sk . Òîãäà èç ëåììû ñëåäóåò, ÷òî |A| = |S1 | · |S2 . . .

Sk | = |S1 | · |S2 | · |S3 . . .. . . Sk | = . . . = |S1 | · |S2 | · |S3 | · . . . · |Sk |. Òàêæå |AB| = |S1 S2 . . . Sk B| == |S1 | · |S2 . . . Sk B| = |S1 | · |S2 | · |S3 . . . Sk B| = . . . = |S1 | · |S2 | · |S3 | · . . .. . . · |Sk | · |B| = |A| · |B|. 3.3)Ñëåäñòâèå.|A−1 | = |A|−1Åñëè.A íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n, òî◃ AA−1 = E ⇒ |A||A−1 | = 1. Òåîðåìà 6.5 (òðàíñïîíèðîâàíèå îïðåäåëèòåëÿ).ïîëíåíî |AT | = |A|.◃1) Åñëè|A| = 0,òî∀ A ∈ Mn×nrg A < n ⇒ rg(AT ) < n ⇒ |AT | = 0.2) Íåòðóäíî âèäåòü (ñì. ïðåäëîæåíèå 4.1), ÷òî ðàâåíñòâî= |S|âåðíî äëÿ ýëåìåíòàðíîé ìàòðèöûS.Åñëè|A| ̸= 0,òîAâû-|S T | =ìîæíîïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ íåñêîëüêèõ ýëåìåíòàðíûõ ìàòðèö:A = S1 S2 . .

. Sk . Òîãäà |A| = |S1 S2 . . . Sk | = |S1 | · |S2 | . . . |Sk |; |AT | =TT| . . . |S1T | = |Sk | · |Sk−1 | · . . . · |S1 |. = |SkT Sk−1. . . S1T | = |SkT | · |Sk−1Îïðåäåëèòåëü íèæíåòðåóãîëüíîé ìàòðèöû ðàâåíïðîèçâåäåíèþ äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ.Ñëåäñòâèå.◃Ñëåäóåò èç òåîðåìû 6.1.Ïðåäûäóùàÿ òåîðåìà óñòàíàâëèâàåò "ðàâíîïðàâèå"ìåæäó ñòðîêàìè è ñòîëáöàìè, ÷òî ïîçâîëÿåò âî ìíîãèõ äîêàçàííûõ óòâåðæäåíèÿõ ñòðîêè çàìåíèòü íà ñòîëáöû. Îáúåäèíèì ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòûâ ñëåäóþùóþ òåîðåìó.53Ïðè âûïîëíåíèè ýëåìåíòàðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿñòðîê è ñòîëáöîâI òèïà îïðåäåëèòåëü ìåíÿåò çíàê;II òèïà (óìíîæåíèå ñòðîêè èëè ñòîëáöà íà λ) îïðåäåëèòåëüóìíîæàåòñÿ íà λ;III òèïà îïðåäåëèòåëü íå èçìåíÿåòñÿ.Òåîðåìà◃6.6.Ñëåäóåò èç òåîðåì 6.5, 6.2 è ïðåäëîæåíèé 6.1, 6.2.Ôîðìóëà, àíàëîãè÷íàÿ (4), ìîæåò áûòü çàïèñàíà è äëÿ ëþáîãîñòîëáöà èëè ñòðîêè.Òåîðåìà 6.7 (ðàçëîæåíèå ïî ëþáîìó ñòîëáöó èëè ñòðîêå).ìàòðèöû nA = (aij ) ∈ Mn×n âûïîëíåíû ðàâåíñòâà:∑1) |A| =(−1)i+j aij |Aij | äëÿ êàæäîãî j = 1, 2, .

. . , n;i=1n∑2) |A| =(−1)i+j aij |Aij | äëÿ êàæäîãî i = 1, 2, . . . , n.Äëÿj=1◃1) Ïðèìåíèìj−1ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñòîëáöîâj è j −1, j −1 èj −2, è ò. ä., 2 è 1. Òàêèì îáðàçîì, j -é ñòîëáåö ïåðåìåñòèëñÿ íà ìåñòîj−11-ãî; ïðè ýòîì îïðåäåëèòåëü óìíîæèëñÿ íà (−1). Òåïåðü íóæíîåI òèïà, ïîñëåäîâàòåëüíî ïîìåíÿâ ñòîëáöû ñ íîìåðàìèðàâåíñòâî ñëåäóåò èç ôîðìóëû (4).2) Âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé 6.5. Òðàíñïîíèðóåì ìàòðèöó (ïðèýòîì ñîîòâåòñòâóþùèå äîïîëíèòåëüíûå ïîäìàòðèöû òîæå òðàíñïîíèðóþòñÿ) è ïðèìåíèì ðàâåíñòâî, äîêàçàííîå â ïåðâîì ïóíêòå.ßâíîå ðàçëîæåíèå îïðåäåëèòåëÿïåðåñòàíîâêà(i1 , i2 , .

. . , in ) ÷èñåë a1 < a2 < . . . < ana1 , a2 , . . . , an , çàïèñàííûå â íåêîòîðîì ïîðÿäêå). ×åðåç S(a1 , a2 , . . . , an ) îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî âñåõ ïåðåñòàíîâîê ÷èñåëa1 , a2 , . . . , an .Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ïàðà ik , il , ãäå 1 6 k < l 6 n, ÿâëÿåòñÿ, åñëè ik > il . Òàêèì îáðàçîì, êàæäîé ïåðåñòàíîâêå(i1 , i2 , .

. . , in ) ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîå ÷èñëî èíâåðñèé; îáîçíà÷èì åãîN (i1 , i2 , . . . , in ). Åñëè N (i1 , i2 , . . . , in ) ÷åòíîå ÷èñëî, òî ïåðåñòàíîâÏóñòü(ò. å. ÷èñëàèíâåðñèåé54êà(i1 , i2 , . . . , in )íîé.Òåîðåìà 6.8.ñòâîíàçûâàåòñÿ÷åòíîé, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå íå÷åò-Äëÿ ìàòðèöû A = (aij ) ∈ Mn×n âûïîëíåíî ðàâåí∑|A| =(−1)N (i1 ,i2 ,...,in ) ai1 1 ai2 2 . . . ain n .(5)(i1 ,i2 ,...,in )∈S(1,2,...,n)◃n. Áàçà èíäóêöèè òðèâèàëüíà.(i1 , i2 , . . . , in ) èç S(1, 2, .

. . , n), äëÿ êîòîðûõ i1 ðàâíîôèêñèðîâàííîìó i ∈ {1, 2, . . . , n}, èìåþò âèä (i, i2 , . . . , in ), ãäå (i2 , . . .. . . , in ) ïåðåñòàíîâêà èç S(1, 2, . . . , i − 1, i + 1, . . . , n). Çàìåòèì, ÷òîN (i, i2 , . . . , in ) = N (i2 , . . . , in ) + i − 1, òàê êàê i1 = i âõîäèò ðîâíî âi − 1 èíâåðñèé. Îòñþäà ñóììà â ïðàâîé ÷àñòè (5) ðàâíàÏðèìåíèì èíäóêöèþ ïîÏåðåñòàíîâêèn∑∑(−1)N (i,i2 ,...,in )ai1 ai2 2 . . . ain n =i=1 (i,i2 ,...,in )∈S(1,2,...,n)ai1 Si1 ,ãäåi=1∑Si1 =n∑(−1)N (i2 ,...,in )+i−1 ai2 2 . . .

ain n =(i2 ,...,in )∈S(1,...,i−1,i+1,...,n)= (−1)i+1∑(−1)N (i2 ,...,in ) ai2 2 . . . ain n .(i2 ,...,in )∈S(1,2,...,i−1,i+1,...,n)âèäèì, ñóììà Si1 ðàâíà (ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè)(−1)i+1 |Ai1 | (â ïîäìàòðèöå Ai1 ñòðîêè íóìåðóþòñÿ ÷èñëàìè 1, 2, . . .. . . , i − 1, i + 1, . .

. , n, à ñòîëáöû ÷èñëàìè 2, 3, . . . , n), ïîýòîìó (5)ñëåäóåò èç (4). ÊàêÔîðìóëû ñ èñïîëüçîâàíèåì îïðåäåëèòåëÿ t1 t2  Äëÿ ìàòðèöû A ∈ Mn×n è ñòîëáöà t =  .  ÷åðåç Ak (t) îáîçíà .. tn÷èì ìàòðèöó, ïîëó÷åííóþ èç A çàìåíîé k -ãî ñòîëáöà íà ñòîëáåö t.55Çàìåòèì, ÷òî ïî òåîðåìå 6.7 ñóììàëèòåëþn∑(−1)i+k ti |Aik |ðàâíà îïðåäå-i=1|Ak (t)|.Ïðåäëîæåíèå 6.3 (ïðàâèëî Êðàìåðà).ðîæäåííàÿ ìàòðèöà, è ñòîëáåöÏóñòü A ∈ Mn×n íåâû-x1 x2  X =  xn... ÿâëÿåòñÿ (åäèíñòâåííûì) ðåøåíèåì ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé AX = b. Òîãäà xk =|Ak (b)|=(äëÿ k = 1, 2, . .

. , n).49|A|◃Äîìíîæèìi-åâñå ïîëó÷èâøèåñÿ óðàâíåíèÿ. Ïîëó÷èìcj =n∑i+k(−1)i=1(−1)i+k |Aik |, è ñëîæèìn∑óðàâíåíèåcj xj = d, ãäåóðàâíåíèå ñèñòåìû íà|Aik |aij = |Ak (a•j )|, d =n∑j=1(−1) |Aik |bi = |Ak (b)|.i=1èìååò äâà ðàâíûõ ñòîëáöà (j -é è k -é),i+kj ̸= k ìàòðèöà Ak (a•j )cj = |Ak (a•j )| = 0. Ïîñêîëüêó Ak (a•k ) = A,= |Ak (b)|. ÏðèïîýòîìóÏðåäëîæåíèå◃Èç ðàâåíñòâà(ôîðìóëà îáðàòíîé ìàòðèöû).AA−1 = Eýëåìåíòû, çà èñêëþ÷åíèåì åäèíèöûïîëó÷àåì, ÷òîx•j îáðàòíîéAx•j = ej , ãäå â ñòîëáöå ej âñåíà j -ì ìåñòå íóëè.

Ïî ïðà-ñëåäóåò, ÷òî ñòîëáåöìàòðèöû ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìûâèëó Êðàìåðà|A|xk =Ïóñòü A = íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà, A−1 = (xij ). Òîãäà(äëÿ i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , n).6.4= (aij ) ∈ Mn×n(−1)i+j |Aji |xij =|A|èìååì|Ai (ej )|. Ðàñêëàäûâàÿ |Ai (ej )||A||Ai (ej )| = (−1)i+j |Aji |. xij =ïîi-ìóñòîëáöó,49 Ïðàâèëî Êðàìåðà ïîêàçûâàåò, ÷åìó ðàâíû êîýôôèöèåíòû â ðàçëîæåíèè ïîâåêòîðà ïî áàçèñó â òåðìèíàõ îðèåíòèðîâàííûõ îáúåìîâ.56Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ1.

Âû÷èñëèòå îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ïîðÿäêàà)122 ...2212221.................22....2. Äàíû ìàòðèöû222;...1á)2 1 01 2 10 1 2. . . . . .0 0 . . .0 0 . . .n:.......... .21000.. . 12A ∈ Mm×m , B ∈ Mn×n , C ∈ Mm×n .Äîêàæèòå,÷òî îïðåäåëèòåëü áëî÷íîé ìàòðèöû ñ "óãëîì íóëåé"ðàâåí(AOCB)|A| · |B|.3. Êàê èçìåíèòñÿ îïðåäåëèòåëü ìàòðèöûA ∈ Mn×n , åñëè à) ïåðå-ñòàâèòü åå ñòðîêè â îáðàòíîì ïîðÿäêå; á) "îòðàçèòü"ìàòðèöóñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî åå öåíòðà; â) "ïîâåðíóòü"ìàòðèöó◦íà 90 îòíîñèòåëüíî öåíòðà; ã) îòðàçèòü ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî ïîáî÷íîé äèàãîíàëè?4. à) ÂûðàçèòåöûA).|−A| ÷åðåç |A| (â çàâèñèìîñòè îò ïîðÿäêà n ìàòðè-á) Äîêàæèòå, ÷òî êîñîñèììåòðè÷åñêàÿ ìàòðèöà íå÷åò-íîãî ïîðÿäêà âñåãäà âûðîæäåííàÿ.5.

Äîêàæèòå, ÷òî (ïðèn > 2)â ÿâíîì ðàçëîæåíèè îïðåäåëèòåëÿêîëè÷åñòâà ñëàãàåìûõ ñî çíàêîì "+"è ñî çíàêîì "−"ðàâíû.6. Ïóñòü âñå ýëåìåíòû êâàäðàòíîé ìàòðèöàA öåëûå ÷èñëà, ïðè-÷åì âñå ýëåìåíòû íà ãëàâíîé äèàãîíàëè íå÷åòíûå, à âíå ãëàâíîé äèàãîíàëè ÷åòíûå. Äîêàæèòå, ÷òî ìàòðèöàA íåâûðîæäåí-íàÿ.7. Äàíà îáðàòèìàÿ ìàòðèöàA, âñå ýëåìåíòû êîòîðîé öåëûå ÷èñA−1 öåëûå ÷èñëàëà. Äîêàæèòå, ÷òî âñå ýëåìåíòû ìàòðèöû⇔ |A| = ±1.57ÏðèëîæåíèåËîãèêà ëîãè÷åñêèõ ðàññóæäåíèÿõ èíîãäà äëÿ êðàòêîñòè èñïîëüçóþòñÿñëåäóþùèå çíàêè.⇒ çíàê ñëåäñòâèÿ (èìïëèêàöèè); íàïðèìåð, çàïèñüîçíà÷àåò, ÷òî èç óòâåðæäåíèÿAñëåäóåò óòâåðæäåíèåA ⇒ BB.⇔ çíàê ýêâèâàëåíòíîñòè (ðàâíîñèëüíîñòè), íàïðèìåð, çàïèñüA ⇔ B îçíà÷àåò, ÷òî óòâåðæäåíèå A âåðíî òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà âåðíî óòâåðæäåíèå B .∀ êâàíòîð âñåîáùíîñòè; îí çàìåíÿåò ñëîâà "äëÿ ëþáîãî "ïðèëþáûõ"è ò.ä.∃ êâàíòîð ñóùåñòâîâàíèÿ; îí çàìåíÿåò ñëîâî "ñóùåñòâóåò".Èíîãäà ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿäóêöèèïðèíöèïîì ìàòåìàòè÷åñêîé èí-, êîòîðûé çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì.Ïóñòü èìååòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü óòâåðæäåíèéT1 , T2 , T3 ,...,ïðî êîòîðóþ èçâåñòíî, ÷òî1)T1âåðíî (áàçà èíäóêöèè);2) èç òîãî, ÷òî= 1, 2, 3, .

. .)Tnâåðíî, âûòåêàåò, ÷òîTn+1âåðíî (äëÿn =(ïåðåõîä èëè øàã èíäóêöèè).Òîãäà âñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîñòîèò èç âåðíûõ óòâåðæäåíèé.Âîçìîæíà âàðèàöèÿ óñëîâèÿ 2): èç ïðåäïîëîæåíèÿ, ÷òî óòâåð-T1 , T2 ,= 1, 2, 3, . . .).æäåíèÿ...,Tnâåðíû, âûòåêàåò, ÷òîTn+1âåðíî (äëÿn =ÌíîæåñòâàÌíîæåñòâîýëåìåíòàìè ýòî ñîâîêóïíîñòü íåêîòîðûõ îáúåêòîâ, ýòè îáúåêòûíàçûâàþòñÿäàííîãî ìíîæåñòâà.Ïðèíÿòû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:Âêëþ÷åíèå a ∈ AñòâóA; a ∈/Aîçíà÷àåò, ÷òî ýëåìåíò ýëåìåíòaaïðèíàäëåæèò ìíîæå-íå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâóA.58Ìíîæåñòâà, ñîäåðæàùèå õîòÿ áû îäèí ýëåìåíò, íàçûâàþòñÿñòûìè ïóñòîå;íåïó-ìíîæåñòâî (òî åñòü ìíîæåñòâî, íå ñîäåðæàùåå ýëå-ìåíòîâ) îáîçíà÷àåòñÿ∅.Åñëè â ìíîæåñòâå áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ, òî ìíîæåñòâîíàçûâàåòñÿíûìáåñêîíå÷íûì, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå îíî íàçûâàåòñÿêîíå÷-. Êîíå÷íîå ìíîæåñòâî ìîæåò çàäàâàòüñÿ ïåðå÷èñëåíèåì ñâîèõýëåìåíòîâ, ñêàæåì,A = {a1 , a2 , .