Матрицы и СЛУ - Кожевников, страница 10

Ïîëüçóÿñür∑ïîëó÷èòü ðàçëîæåíèå A =Ai ,ôèêñèðîâàííûõ ñòîëáöîâðàñêëàäûâàþòñÿ âñå ñòîëáöû äàííîé ìàòðèöûýòèìè ðàçëîæåíèÿìè, ìîæíîi=1ãäå âñå ñòîëáöû ìàòðèöû4. Îòâåò:rg M+n×n =Aiïðîïîðöèîíàëüíûn(n + 1)n(n − 1)−, rg Mn×n =.22Äîñòàòî÷íî óêàçàòü áàçèñíûå ïîäñèñòåìû âÏóñòük -éE(k, l)ai .M+n×nèM−n×n . ìàòðèöà, â êîòîðîé ýëåìåíò íà ïåðåñå÷åíèèñòðîêè è l-ãî ñòîëáöà ðàâåí 1, à îñòàëüíûå ðàâíû 0.

ÒîãäàE(i, j) + E( j, i), 1 6 i 6 j 6 n, îáðàçóþò áàçèñíóþ+ïîäñèñòåìó â Mn×n , à ìàòðèöû E(i, j) − E( j, i), 1 6 i < j 6 n,−îáðàçóþò áàçèñíóþ ïîäñèñòåìó â Mn×n . Ìîæíî ðåøèòü çàäà+−÷ó è â äóõå § 5, çàäàâàÿ Mn×n è Mn×n ñèñòåìàìè ëèíåéíûõìàòðèöûóðàâíåíèé.A1 , . . . , Ak íå ÿâëÿåòAk+1 ∈ A \ ⟨A1 , . . . , Ak ⟩. Òî-5. Åñëè ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ïîäñèñòåìàñÿ áàçèñíîé äëÿA,òî íàéäåòñÿãäà ìîæíî "íàðàñòèòü" ëèíåéíî íåçàâèñèìóþ ïîäñèñòåìó äîA1 , . . . , Ak , Ak+1 .Äàëåå ìîæíî ïðîäîëæàòü ïðîöåäóðó.§3(1. Îòâåò:)−134.4−102. Âîñïîëüçóéòåñü ðàâåíñòâîì(SAS −1 )n = SAn S −1 .65A = (aij ) è B = (bji ) êàæäîå èç âûðàæåíèé tr(AB)m ∑n∑tr(BA) ðàâíî äâîéíîé ñóììåaij bji .3.

Äëÿ ìàòðèöi=1 j=14. Âîñïîëüçóéòåñü ðàâåíñòâîì5. à)  êà÷åñòâå ìàòðèöûïåðåñå÷åíèèi-éXñòðîêè è(AB)T = B T AT .âîçüìèòå ìàòðèöû âèäàj -ãîE(i, j)(íàñòîëáöà åäèíèöà, à îñòàëüíûåýëåìåíòû ðàâíû 0).á) Èñïîëüçóéòå òî, ÷òî ïðè óìíîæåíèè íài-ÿñòðîêà óìíîæàåòñÿ íàñòîëáåö óìíîæàåòñÿ íàλi ,diag(λ1 , . . . , λn ) ñëåâàj -éà ïðè óìíîæåíèè ñïðàâà λj .6. Èñïîëüçóéòå ñóùåñòâîâàíèå ìíîãî÷ëåíà, êîòîðûé ïðèíèìàåònçàäàííûå çíà÷åíèÿ â äàííûõòî÷êàõ.7. à) è á) ñëåäóþò èç ïðàâèëà óìíîæåíèÿ ìàòðèö.â) Îòâåò:1 100 10 00 045 12010 45 .1 10 01Ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé áèíîìà Íüþòîíà (îíà ïðèìåíèìà, ïîñêîëüêó ìàòðèöûA4 = O.AèEïåðåñòàíîâî÷íû) è ðàâåí-ñòâîì8. Ïðîâåðüòå, ÷òî îáðàòíîé ìàòðèöåé ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöàm−1∑Ak .54k=09.

ÐàâåíñòâîBA = Enïðîòèâîðå÷èò ïðåäëîæåíèþ 3.3 îá îöåíêåðàíãà ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö.§4∞54 Âîîáùå, åñëè êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà A òàêîâà, ÷òî ðÿä èç ìàòðèö ∑ Ak , ñõîk=0äèòñÿ, ñóììà ýòîãî ðÿäà ÿâëÿåòñÿ îáðàòíîé ìàòðèöåé äëÿ ìàòðèöû E − A. Çäåñüìîæíî ïðîâåñòè ïàðàëëåëü ñ ðàçëîæåíèåì ïî Òåéëîðó ôóíêöèè (1 − x)−1 .661.   :::::a a + b a + b b b  III  III   II   :  →  :  III    →  :  →  :  →  : .b b  −a −aa:::::2. Âûïîëíèì öåïî÷êó ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñòðîê, ïðèâîäÿùóþ ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó, íàïðèìåð:( 0 0 2 1 −1 2 )( 0 0 2 1 −1 2 )e 1 (−1)e12 Pe14 DTe21 (2) Te34 (3)P0 0 −4 −2 2 −40 0 0 0 0 0→→→→→0 0 20 10 −19 113 −6 5 1 2 52 5 3 −7 )2( 1 −2−1( 1−1−22−55−33 7−7 −22 )−5 −3 7 −2Te32 (−10)0 0 2 1 −1 20 0 2 1 −1 2→0 0 0 0 −9 −9 .0 0 20 10 −19 110 0 0 0 0 00 0 0 000Òåïåðü ÿñíî, ÷òî rg A = 3, è â ñèñòåìå ñòîëáöîâ ìàòðèöû Aîäíà èç áàçèñíûõ ïîäñèñòåì ñòîëáöû ñ íîìåðàìè 1, 3, 5.

Ïîòåîðåìå î áàçèñíîì ìèíîðå, ìîæíî îòûñêàòü íåâûðîæäåííóþ( 0 2 −1 )0 −4 2ïîäìàòðèöó ïîðÿäêà 3 äàæå â ìàòðèöå B =, îáðà3 5 2−1 5 −7çîâàííîé 1-ì, 3-ì è 5-ì ñòîëáöàìè ìàòðèöû A. Îñòàåòñÿ íàéòèíåêîòîðóþ áàçèñíóþ ïîäñèñòåìó ñòðîê ìàòðèöûB.Äëÿ óäîáB T ýëå-ñòâà, ìîæíî ïðèâåñòè ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó ìàòðèöóìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ñòðîê:( −1 2 2 −7 )( 0 0 3 −1 ) Te (2) e ( −1 2 2 −7 ) D(1/9)eTe32 (−3)P13230 0 9 −92 −4 5 50 0 1 −1 .→ →→→0 0 3 −1−1 2 2 −70 00 2T ñèñòåìå ñòîëáöîâ ìàòðèöû Bîäíà èç áàçèñíûõ ïîäñèñòåì ñòîëáöû ñ íîìåðàìè 1, 3, 4. Çíà÷èò, â ìàòðèöåâàòåëüíî è â ìàòðèöåA,B,à ñëåäî-îäíà èç áàçèñíûõ ïîäñèñòåì ñòðîê ñòðîêè ñ íîìåðàìè 1, 3, 4.Òàêèìîáðàçîì,íåâûðîæäåííûõ002 00−4 3 −6 5−1 25ìîæåìâûäåëèòüïîäìàòðèöïîðÿäêà1 −1 2−2 2 −4.1253 −7 2îäíó3èçââîçìîæíûõìàòðèöå3.

Èñïîëüçóéòå àëãîðèòì îòûñêàíèÿ îáðàòíîé ìàòðèöû.4. à) Îòâåò:rg A + rg B .A:67Èñïîëüçóÿ "áëî÷íûå"ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñòðîê (îäíî áëî÷íîå ýëåìåíòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå ñòðîê ðàâíîñèëüíî(îáû÷íûì), ïðèâåäèòå ìàòðèöó ê âèäóAOCB)m.á) Ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 3.2, ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíè-(ÿìè ñòðîê äàííàÿ ìàòðèöà ïðèâîäèòñÿ ê âèäó5. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ðàâåíñòâàçàòü íåðàâåíñòâîrg AB > rg Brg(AB) = rg Brg B ,m,ABrg AB > rg B .òîãäà â ìàòðèöåñëåäîâàòåëüíî6.

 êà÷åñòâå ñòîëáöîâ ìàòðèöûñèñòåìó ñòîëáöîâ ìàòðèöûìàòðèöóA,EO).äîñòàòî÷íî äîêà-(îáðàòíîå íåðàâåíñòâî âûïîëíå-íî âñåãäà). Ìîæíî âûäåëèòü â ìàòðèöåïîðÿäêàAOBA"áàçèñíûé ìèíîð"KKBåñòü ïîäìàòðèöàðàíãàìîæíî âçÿòü áàçèñíóþ ïîä-è ïîäîáðàòü ñîîòâåòñòâóþùóþC.7. à) Ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñîîáðàæåíèå èç íà÷àëà ïóíêòà "Ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ è ðàíã": ðàâåíñòâî íóëþ ëèíåéíîéêîìáèíàöèè ñòîëáöîâ ñ ôèêñèðîâàííûìè êîýôôèöèåíòàìè ñîõðàíÿåòñÿ â ïðîöåññå ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñòðîê.á) Èñïîëüçóéòå ïóíêò à), ïðåäëîæåíèå 4.2 è òîò ôàêò, ÷òî îáðàòèìàÿ ìàòðèöà ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ íåñêîëüêèõ ýëåìåíòàðíûõ ìàòðèö.8.

Ìàòðè÷íîå óðàâíåíèåAT X T = B T .XA = Býêâèâàëåíòíîóðàâíåíèþ§51. Çàïèøåì( 0 0 20 0 −43 −6 5−1 2 51−213−122−7||||ðàñøèðåííóþ)2−4. Âûïîëíèâ52ìàòðèöóïðÿìîéñà, ïîëó÷èì (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 1 èç§ 4)õîäñèñòåìûìåòîäà( 1 −2 −5 −30 00 010Ãàóñ-7 | −2− 12 | 10 1 | 112).68Äàëåå, âûïîëíÿåì îáðàòíûé õîä ìåòîäà Ãàóññà:( 1 −2 −5 −3 7 | −2 )( 1 −2 −5 −3 0 | −9 )Te23 (− 12 ) Te13 (−7)0 0 1 12 − 12 | 10 0 1 12 0 | 32→→0 0 0 0 1 | 10 0 0 0 1| 1( 1 −2 0 − 1 0 | − 3 )2210 0 1 2 0 | 3/2 .0 0 0 0 1| 1Ââåäåì íîâûé ïîðÿäîê íåèçâåñòíûõ:ñèñòåìà èìååò ðåøåíèå:x3x5x2x4=− 2332100→x1 , (x3 , x5 , x2 , x4 .

Â)íî1 0 0 −2 − 1 | − 3âîì ïîðÿäêå ìàòðèöà ñèñòåìû èìååò âèä:( x1 )Te12 (5)+010 0001 02 121 0 −20 01 00 12122| 320 | 1, è( λ1 )λ2 .Âîçâðàùàÿñü ê èçíà÷àëüíîìó ïîðÿäêó íåèçâåñòíûõ, ïîëó÷àåì   3 12x1−22îòâåò:x2   0   3x3  =    2x4   0x51 1 0  ( )  + 0 − 1  λ1 .2  0 1  λ20 02. Çàïèøåì äàííûå ñòîëáöû â ìàòðèöóΦè íàéäåì ôóíäàìåí( 0 −3 2 1 ) eP12TTòàëüíóþ ìàòðèöó Ψ ñèñòåìó (Φ | O): Φ= 2 1 0 −1 →4−12−1()( 2 1 0 −1 ) Te (−1) De 2 (− 1 ) Te12 (−1) De1( 1 )1 0 31 − 13Te31 (2)32210 −3 2 1→→→3→→20 1 − 3 − 3 . Îò0 −3 2 100 00( 1 1)−3 3( 1 2)−3 3 1 0 | 021T, è ñèñòåìà (Ψ | O) =ñþäà Ψ =èëè33111 033 0 1 | 001()−1 2 3 0 | 01 1 0 3 | 0èìååò çàäàííîå ðåøåíèå.−1−13.

Äîìíîæàÿ ðàâåíñòâî AXB = C íà Añëåâà è íà Bñïðà−1−1âà, íàõîäèì X = ACB . Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî íàéäåííàÿìàòðèöà óäîâëåòâîðÿåò äàííîìó óðàâíåíèþ.4. Óêàçàíèå: ñòîëáöû ëþáîé ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöû55íåéíûå êîìáèíàöèè ñòîëáöîâ Φ.Φ′ ëè-55 Ìàòðèöó S ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ìàòðèöó ïåðåõîäà îò áàçèñà ê áàçèñó â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå Sol(A | O).69(A′ | b′ ) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîéêîìáèíàöèåé óðàâíåíèé ñèñòåìû (A | b), òî èç AX = b ñëåäó′′′′åò A X = b .

Àíàëîãè÷íî, èç A X = b ñëåäóåò AX = b. Òàêèì5. Åñëè êàæäîå óðàâíåíèå ñèñòåìûîáðàçîì, ñèñòåìû ðàâíîñèëüíû. Íàîáîðîò, ïóñòü äâå ñèñòåìû(A | b) è (A′ | b′ ) èìåþò îäíî è òî æå íåïóñòîå ìíîæåñòâî ðåøå-X0 + Sol(A | O). Òîãäà ïðè äîáàâëåíèè ê ñòðîêàì ìàòðè(A | b) ñòðîê ìàòðèöû (A′ | b′ ) ðàíã íå èçìåíèòñÿ (îí ðàâåín − rg(Sol(A | O)). Äàëåå ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ îñíîâíîé òåîíèéöûðåìîé î ðàíãàõ.6. Îäíî èç âîçìîæíûõ ðåøåíèé îñíîâàíî íà ñëåäóþùåì ñîîáðàæåíèè: óñëîâèå ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè ñèñòåìû ñòðîê ìàòðèöû...,Φ ñxjsíîìåðàìèj1 , j2 , . . .

, jsîçíà÷àåò, ÷òî íåèçâåñòíûåx j1 ,ìîãóò (íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà) ïðèíèìàòü ëþáûåçíà÷åíèÿ, òî åñòü èõ ìîæíî âçÿòü çà ñâîáîäíûå íåèçâåñòíûå.§61. à) Îòâåò:(−1)n−1 (2n − 1).Ïðèáàâèì12(2n − 1) 2ê ïåðâîé ñòðîêå âñå îñòàëüíûå, ïîëó÷èì1 1 ... 1 1 2 ... 2 2 1 ... 2 ... ... ... .  ïîñëåäíåì îïðåäåëèòåëå òåïåðü èç êàæ 2 2 ... 1 2 2 2 ... 2 1äîé ñòðîêè (êðîìå ïåðâîé) âû÷òåì óäâîåííóþ ïåðâóþ.

Ïîëó÷èì âåðõíåòðåóãîëüíóþ ìàòðèöó ñ ÷èñëàìè1, −1, −1, . . . , −1 ïîäèàãîíàëè.á) Îòâåò:n + 1.Îáîçíà÷àÿ äàííûé îïðåäåëèòåëü ÷åðåçKn ,èç ðàçëîæåíèÿïî ïåðâîìó ñòîëáöó ìîæíî ïîëó÷èòü ðåêêóðåíòíóþ ôîðìóëóKn+1 = 2Kn − Kn−1 , èç êîòîðîé ñëåäóåò, ÷òîíîñòü {Kn } àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ.ïîñëåäîâàòåëü-2. Ìîæíî ïðèâåñòè äàííóþ ìàòðèöó ê âåðõíåòðåóãîëüíîìó âèäó,èñïîëüçóÿ òîëüêî ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîñëåäíèõñòðîê è ïåðâûõmñòîëáöîâ.n703.

à) Ïåðåñòàâèòü ñòðîêè ìàòðèöû â îáðàòíîì ïîðÿäêå ìîæíî ïîñëåäîâàòåëüíî ìåíÿÿ ìåñòàìè ïåðâóþ ñòðîêó ñ n-é, âòîðóþ ñ[ ](n−1)-é, è ò.ä. âñåãî n2 ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñòðîêI òèïà. Òàêèì îáðàçîì, îïðåäåëèòåëü óìíîæèòñÿ íà(−1)[ 2 ] .ná) ×òîáû îòðàçèòü ìàòðèöó ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî åå öåíòðà, ìîæíî ñíà÷àëà ïåðåñòàâèòü ñòðîêè â îáðàòíîì ïîðÿäêå (èçà) ñëåäóåò, ÷òî ïðè ýòîì îïðåäåëèòåëü óìíîæèòñÿ íà(−1)[ 2 ] ),nà ïîòîì ïåðåñòàâèòü ñòîëáöû â îáðàòíîì ïîðÿäêå (ïðè ýòîìîïðåäåëèòåëü åùå ðàç óìíîæèòñÿ íà(−1)[ 2 ] ).nÒàêèì îáðàçîì,îïðåäåëèòåëü íå èçìåíèòñÿ.â) "Ïîâîðîò"ìàòðèöû íà90◦ ìîæíî ïîëó÷èòü, âûïîëíèâ ïîñëå-äîâàòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèå èç ïóíêòà à) è òðàíñïîíèðîâàíèå.ã) Îòðàæåíèå îòíîñèòåëüíî ãëàâíîé äèàãîíàëè ìîæíî ïîëó÷èòü, ïîñëåäîâàòåëüíî âûïîëíèâ ïðåîáðàçîâàíèÿ èç ïóíêòîââ) è à).4. à) Îòâåò:| − A| = (−1)n |A|.á) Ñëåäóåò èç à) è òåîðåìû 6.5.n,ïîëüçóÿñü ðàçëîæåíèåì ïî6.

 ÿâíîì ðàçëîæåíèè îïðåäåëèòåëÿ|A| áóäåò îäíî íå÷åòíîå ñëà-5. Ìîæíî äîêàçàòü èíäóêöèåé ïîïåðâîìó ñòîëáöó.ãàåìîå, à âñå îñòàëüíûå ÷åòíûå.7. Çàìåòèì, ÷òî îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ñ öåëûìè ÷èñëàìè ðàâåí öåëîìó ÷èñëó.  îäíó ñòîðîíó íóæíîå óòâåðæäåíèå äàåòñëåäñòâèå èç òåîðåìû 6.4. ×òîáû äîêàçàòü îáðàòíîå óòâåðæäåíèå, ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé îáðàòíîé ìàòðèöû (ñì.ïðåäëîæåíèå 6.4).71ËèòåðàòóðàÓ÷åáíèêè1.