Лекции Линал Ершов, страница 7

. < jr — номера всех ее главныхстолбцов (тогда строки с номерами, бо́льшими r, равны нулю). Тогда arjr 6= 0, и вычитая нужную кратность r-й строки из предыдущих, можно обнулить все элементы jr -го столбца кромеarjr . Это не испортит ступенчатого вида матрицы, поскольку aijr = 0 при i < r. Далее повторяемуказанную процедуру с главным столбцом с номером jr−1 и т.д. В конце концов мы получим матрицу, у которой (после отбрасывания нулевых строк) главные столбцы образуют диагональнуюподматрицу с ненулевыми элементами на главной диагонали.

Деление строк на эти элементы (т.е. применение элементарных преобразований типа III) завершает доказательство.Замечание 2.25. Можно доказать, что каждый класс строчной эквивалентности матриц содержитединственную упрощенную матрицу.25Пример 2.26. Приведем, например,1 2 314 5 6 → 07 8 901к упрощенному виду матрицу 47231 2 31−3 −6  → 0 1 2 → 0−6 −120 0 002 35 6. Имеем8 90 −11 20 0(первая стрелка отвечает композиции двух элементарных преобразований типа I: вычитанию извторой строки первой, умноженной на 4 и вычитанию из третьей строки первой, умноженной на7; вторая стрелка отвечает умножению второй строки на −1/3, третьей на −1/6 и последующемувычитанию из третьей строки второй; третья стрелка — вычитанию из первой строки второй,умноженной на 2).Пример 2.27. Рассмотрим еще один примердана матрица11A=22приведения матрицы к упрощенному виду.

Пусть2 103 2 −1,1 −1 3 0 −2 3приведем ее сначала к ступенчатому виду по нашему алгоритму. Для этого из 2-й, 3-й и 4-й строквычитаем 1-ю строку, умноженную на 1, 2 и 2 соответственно. В результате получаем матрицу1 2100 11 −10 −3 −3 3  .0 −4 −4 3Далее, прибавляя к 3-й и 4-й строкам 2-ю строку, умноженную на 3 и 4 соответственно, получаемматрицу1 2 1 00 1 1 −10 0 0 0  .0 0 0 −1Наконец, переставляя 3-ю и 4-ю строки, получаем1 2 10 1 10 0 00 0 0ступенчатую матрицу0−1.−10Приведем ее теперь к упрощенному виду, используя обратный ход метода Гаусса. Отбросивнулевую строку и вычтя из 2-й строки 3-ю, получим матрицу1 2 1 00 1 1 0  .0 0 0 −126Вычтя из 1-й строки удвоенную 2-ю и умножив 3-ю1 0 −10 1 10 0 0строку на −1, получим матрицу00 .1У нее главные столбцы имеют номера 1, 2 и 4.Выше уже было замечено, что ступенчатая матрица невырождена тогда и только тогда, когда она является строго верхнетреугольной.

У строго верхнетреугольной матрицы все столбцыявляются главными. Поэтому применение к ней обратного хода метода Гаусса дает единичнуюматрицу. Тогда с учетом предыдущего Предложения получаем половину следующего важногоутверждения.Предложение 2.28. Матрица невырождена ⇔ она строчно эквивалентна единичной.Доказательство. Как уже говорилось, импликация “⇒” следует из Предложения 2.24.Обратная импликация вытекает из того, что единичная матрица, очевидно, невырождена.2.4Системы линейных уравнений IВ данном параграфе мы начнем знакомство с системами линейных уравнений; более серьезнаяих теория будет изложена в следующих параграфах.Линейным уравнением от n неизвестных x1 , .

. . , xn называется уравнение видаa1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = b,где a1 , . . . , an , b — заданные элементы поля K. Линейное уравнение называется однородным, еслиb = 0.Системой m линейных уравнений от n неизвестных x1 , . . . , xn (коротко СЛУ) называетсясистема видаa11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 a x + a x + ... + a x= b221 122 22n n(6)...................................... a x + a x + ...

+ a x = bm1 1m2 2mn nmСистема линейных уравнений (6) называется однородной (коротко СЛОУ), если b1 = b2 = . . . =bm = 0.Решением СЛУ (6) называется любой упорядоченный набор (α1 , α2 , . . . , αn ) ∈ Kn , такой чтопри подстановке αi вместо xi , i = 1, . . . , n каждое уравнение системы превращается в верноеравенство.Решить систему — значит найти множество всех ее решений. Это — некоторое подмножествоnK .Системы делятся на совместные (множества решений которых непусты) и несовместные.Однородная система всегда совместна, поскольку всегда имеет тривиальное решение (0, 0, .

. . , 0).Две СЛУ называются эквивалентными, если их множества решений совпадают, то есть каждое решение первой системы является решением второй, и наоборот.27Матрицей коэффициентов системы (6) называется матрицаa11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n A :=  ..... ..,....  .am1 am2 . . . amnа расширенной матрицей системы (6) — матрицаa11 a12 . . . a21 a22 . . .Ã := .... .... .a1na2n...b1b2 ..

.. am1 am2 . . . amn bmСтолбец b := (b1 , . . . , bm )T называется столбцом правых частей системы (6). С использованиемматричного умножения систему (6) можно записать в виде Ax = b, где x := (x1 , . . . , xn )T —столбец неизвестных (ср. (4)).Заметим, что и наоборот, по расширенной матрице однозначно восстанавливается СЛУ.Элементарные преобразования строк расширенной матрицы отвечают соответствующим преобразованиям СЛУ: прибавлению к некоторому уравнению системы некоторого другого ее уравнения, умноженного на число, перестановке двух уравнений местами или умножению некоторогоуравнения системы (его правой и левой частей) на ненулевое число.Предложение 2.29.

Элементарные преобразования строк расширенной матрицы не меняюткласса эквивалентности СЛУ.Доказательство. Ясно, что каждое решение исходной системы будет решением и системы, полученной после элементарного преобразования. Так как элементарные преобразования обратимы,то верно и обратное.Замечание 2.30. Внимательный читатель мог заметить, что на множестве систем из m уравненийот n неизвестных фактически определены два отношения эквивалентности: во-первых, системыэквивалентны, если имеют одинаковые множества решений, и во-вторых, системы эквивалентны,если могут быть получены одна из другой последовательностью элементарных преобразований.Можно показать, что на множестве совместных систем эти два отношения эквивалентности совпадают, то есть для двух совместных систем с одним и тем же множеством решений существуетпоследовательность элементарных преобразований, преобразующая первую систему во вторую.Теперь заметим, что произвольное решение (α1 , .

. . , αn ) системы (6) — то же самое, что представление столбца правых частей b в виде линейной комбинации столбцов матрицы A с коэффициентами α1 , . . . , αn . В частности, решение однородной системы с матрицей коэффициентов A —то же, что некоторая конкретная линейная зависимость между столбцами матрицы A. Поэтомупредыдущее Предложение может быть переформулировано в виде такого важного Следствия.Следствие 2.31. Строчно эквивалентные матрицы имеют одинаковые линейные зависимостимежду столбцами.28Доказательство. Интерпретируем нашу матрицу A как матрицу коэффициентов СЛОУ. Линейная зависимость (α1 , . . .

, αn ) между столбцами A — то же, что решение этой СЛОУ. Приэлементарном преобразовании СЛОУ перейдет в систему с тем же множеством решений, то естьданное решение (α1 , . . . , αn ) будет также решением преобразованной СЛОУ и определит линейную зависимость между столбцами преобразованной матрицы, которая является ее матрицейкоэффициентов. То, что при этом не возникает новых линейных зависимостей, следует из обратимости элементарных преобразований.Например, столбцы исходной и полученной упрощенной матриц из примера 2.26 связаны линейной зависимостью a1 − 2a2 + a3 = 0.Следствие 2.32. Квадратная матрица невырождена тогда и только тогда, когда ее столбцылинейно независимы.Доказательство.

⇒: невырожденная матрица эквивалентна единичной, а у последней столбцы,очевидно, линейно независимы.⇐: пусть столбцы A л.н.з., то есть строки AT л.н.з., это означает, что AT невырождена; поуже доказанному тогда столбцы AT л.н.з., то есть строки A л.н.з., то есть A невырождена.Следствие 2.33. Матрица A невырождена ⇔ AT невырождена.2.5Элементарные матрицыЭлементарные преобразования строк из Определения 2.15 естественно рассматривать одновременно для всех матриц с m строками (и произвольным конечным числом столбцов). Размер такихматриц мы будем обозначать m × ∗.Следующее Предложение показывает, что действие элементарного преобразования строк сводится к умножению слева на некоторую квадратную матрицу.Предложение 2.34. Для произвольного элементарного преобразования ς матриц с m строками существует единственная m × m-матрица S такая, что ς(A) = SA ∀ A ∈ Matm×∗ (K) (вчастности, S не зависит от A, а зависит только от ς).Доказательство.

Докажем вначале единственность. Так как в качестве A можно взять произвольную матрицу с m строками, то возьмем в качестве A единичную матрицу E порядка m. Тогдаς(E) = SE = S. То есть условию доказываемого Предложения может удовлетворять только матрица, полученная применением данного элементарного преобразования ς к строкам единичнойматрицы E. Для элементарных преобразований из Определения 2.15 это дает матрицы.....