Лекции Линал Ершов, страница 10

Заметим, что из полилинейности и кососимметричностиf сразу следует, что f (u, v, w) = 0, если векторы u, v и w компланарны (верно и обратное).Теорема 3.4. Существует единственная функция f , удовлетворяющая Определению 3.3.Доказательство. Если функция f линейна по каждому аргументу и {e1 , e2 , e3 } — некоторыйбазис в пространстве V , то для произвольной тройки векторов {u, v, w} из V имеемf (u, v, w) = f (u1 e1 + u2 e2 + u3 e3 , v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 , w1 e1 + w2 e2 + w3 e3 ) ==3Xui vj wk f (ei , ej , ek )i,j,k=133(правая часть содержит = 27 слагаемых). Если f к тому же кососимметрична, то f (ei , ej , ek ) =0 всякий раз, когда среди индексов i, j, k есть совпадающие.

Если же индексы i, j, k образуютперестановку чисел 1, 2, 3, тоf (ei , ej , ek ) = ±f (e1 , e2 , e3 ),37причем знак “+” нужно взять в том случае, когда (i, j, k) получается из (1, 2, 3) четным числомтранспозиций (перестановок двух каких-то аргументов), а “−” — если нечетным. Соответствующий множитель ±1 называется знаком перестановки (i, j, k) и обозначается sgn(i, j, k). Читателюпредлагается выписать 6 перестановок (i, j, k) и указать их знаки (должно получиться по 3 положительных и отрицательных перестановки).Таким образом,Xf (u, v, w) =ui vj wk sgn(i, j, k) f (e1 , e2 , e3 ),(10)причем суммирование справа происходит по перестановкам множества 1, 2, 3 (то есть праваячасть содержит 6 слагаемых).

Окончательная формула выглядит так (читателю предлагается вэтом убедиться):f (u, v, w) = (u1 v2 w3 + u2 v3 w1 + u3 v1 w2 − u1 v3 w2 − u2 v1 w3 − u3 v2 w1 )f (e1 , e2 , e3 ).(11)В частности, f однозначно в данном базисе определяется одним числом f (e1 , e2 , e3 ).Обратно, легко проверить, что функция f , заданная формулой (10), полилинейна и кососимметрична. В самом деле, линейность следует из того, что в каждое слагаемое в правой частикоординаты каждого из векторов u, v и w входят в первой степени.

Точнее, выражениеu1 (v2 w3 − v3 w2 ) + u2 (v3 w1 − v1 w3 ) + u3 (v1 w2 − v2 w1 ),являющееся коэффициентом перед f (e1 , e2 , e3 ) в (10), линейно по строке (u1 , u2 , u3 ), то же вернодля двух других строк.Проверим кососимметричность. Переставим, например, векторы u и v в выражении f (u, v, w)(чтобы упростить формулы, мы полагаем в (10) c := f (e1 , e2 , e3 )):Xf (v, u, w) =sgn(i, j, k) vi uj wk c ==Xsgn(i, j, k) uj vi wk c = −Xsgn(j, i, k) uj vi wk c = −f (u, v, w),поскольку, очевидно, sgn(i, j, k) = −sgn(j, i, k).Коэффициентu1 v2 w3 + u2 v3 w1 + u3 v1 w2 − u1 v3 w2 − u2 v1 w3 − u3 v2 w1 u1 u2 u3 перед f (e1 , e2 , e3 ) в формуле (11) называется определителем матрицы v1 v2 v3 .

Свойстваw1 w2 w3 1) и 2) Определения 3.3 означают, что он линеен и кососимметричен по строкам, а свойство 3)означает, что ориентированный объем параллелепипеда, построенного на упорядоченной тройкевекторов u, v, w равен определителю матрицы, составленной из координатных строк этих векторов в правом ортонормированном базисе.11Рассмотренные случаи n = 2 и n = 3 подсказывают, как n-мерный ориентированный объемопределяется для произвольного конечного n. Во-первых, в вещественном n-мерном пространстве11Конечно, этот результат известен читателю из курса аналитической геометрии.38нужно задать ориентацию — то есть выбрать один из двух классов базисов, объявив базисыиз него “положительными”.

Мы будем пользоваться существованием двух классов базисов бездоказательства.12Определение 3.5. Ориентированным объемом в ориентированном n-мерном пространстве Vназывается функция f : V × V × . . . × V → R (слева произведение n экземпляров пространстваV ), обладающая следующими свойствами:1) функция f линейна по каждому из своих n аргументов (то есть полилинейна);2) функция f меняет знак при перестановке любых двух аргументов (то есть кососимметрична);3) если {e1 , e2 , . . . , en } — правый ортонормированный базис, то f (e1 , e2 , . . . , en ) = 1.(В предыдущем определении мы предполагаем, что ортонормированные базисы в n-мерномпространстве существуют.

Это действительно так и будет доказано в этом курсе).Значение f (v1 , v2 , . . . , vn ) на упорядоченном наборе (системе) v1 , v2 , . . . , vn векторов пространства V — ориентированный n-мерный объем параллелепипеда, построенного на данном наборе векторов. Заметим, что из полилинейности и кососимметричности f сразу следует, чтоf (v1 , v2 , . . . , vn ) = 0 если система v1 , v2 , .

. . , vn линейно зависима (верно и обратное).Для того, чтобы получить формулу для n-мерного ориентированного объема, нам понадобятсяпонятие и свойства перестановок.Определение 3.6. Перестановкой из n элементов называется последовательность (k1 , . . . , kn )чисел 1, 2, . . . , n, расположенных в некотором фиксированном порядке.Так как k1 может принимать n различных значений, k2 при фиксированном k1 — (n − 1)значение, k3 при фиксированных k1 и k2 — (n − 2) значений и т.д., то всего имеетсяn · (n − 1) · (n − 2) · . . . · 2 · 1 = n!перестановок из n элементов.

Перестановка (1, 2, . . . , n) называется тривиальной.Множество всех n! перестановок из n элементов обозначается Sn . (В действительности, этомножество очевидным образом отождествляется с множеством всех биекций множества 1, 2, . . . , nна себя; при этом, в частности, тождественная биекция соответствует тривиальной перестановке.Последнее множество, очевидно, является группой относительно операции композиции.

Мы небудем останавливаться на этом более подробно).Перемена местами двух (не обязательно соседних) элементов в перестановке называетсятранспозицией этих элементов.Определение 3.7. Знак перестановки — это такая функцияsgn : Sn → {±1},12Заметим, что и в общем n-мерном случае матрицы перехода между базисами из одного класса имеют положительный, а между разными классами — отрицательный определитель.39что sgn (1, 2, .

. . , n) = 1 и которая меняет знак при любой транспозиции (то есть если перестановки(k1 , . . . , kn ) и (j1 , . . . , jn ) отличаются друг от друга одной транспозицией (не обязательно соседнихэлементов), то sgn(k1 , . . . , kn ) = −sgn(j1 , . . . , jn )).Задача 3.8. Покажите, что если f : V × . . . × V → K — кососимметрическая функция, тоf (vk1 , . . .

, vkn ) = sgn(k1 , . . . , kn )f (v1 , . . . , vn ).Теорема 3.9. Для любого n функция sgn : Sn → {±1} существует и единственна.Доказательство. То, что существует не более одной такой функции, следует из того, что любуюперестановку из n элементов можно получить из тривиальной (1, 2, . . . , n) последовательностьютранспозиций.Однако при таком подходе существование функции sgn не очевидно: одну и ту же перестановку можно получить из тривиальной разными последовательностями транспозиций; идея в том,что чётность числа транспозиций не зависит от выбора такой последовательности.

На времяотложим доказательство существования sgn и введем понятие инверсии.Определение 3.10. Говорят, что пара чисел в перестановке (k1 , . . . , kn ) образуют инверсию, еслибольшее из них стоит левее меньшего.Например, тривиальная перестановка содержит 0 инверсий, а в перестановке (n, n − 1, n −2, . . . , 2, 1) любая пара чисел образует инверсию, то есть число инверсий в ней равно биномиальному коэффициенту n2 (числу 2-элементных подмножеств в множестве из n элементов).Предложение 3.11. При любой транспозиции четность числа инверсий в перестановке(k1 , . . . , kn ) меняется.Доказательство. При транспозиции соседних элементов меняется взаимное расположение толькоэтих элементов, так что число инверсий меняется (увеличивается или уменьшается) на 1, следовательно, четность числа инверсий меняется.

При транспозиции двух элементов i и j, разделенныхs промежуточными элементами, можно сначала переставить i со всеми промежуточными элементами и с j, сделав s + 1 соседних транспозиций, а затем j со всеми промежуточными элементами,произведя еще s соседних транспозиций. В итоге мы проделаем нечетное число 2s + 1 соседнихтранспозиций, каждая из которых меняет четность числа инверсий в перестановке.Вернемся теперь к существованию sgn. Пусть i(σ) обозначает число инверсий в перестановкеσ := (k1 , k2 , . . . , kn ). Покажем, что функцияs(σ) := (−1)i(σ) ∀σ ∈ Snобладает всеми свойствами sgn из предыдущего определения.Действительно, если σ = (1, 2, . .

. , n), то i(σ) = 0 и s(σ) = (−1)i(σ) = 1. С другой стороны, изПредложения 3.11 следует, что при любой транспозиции элементов σ четность i(σ) меняется, изначит s(σ) = (−1)i(σ) меняет знак.40Замечание 3.12. Другое доказательство существования функции sgn можно получить, предъявив произвольную ненулевую кососимметрическую функцию от n аргументов, напримерQ∆n (x1 , x2 , . .