Лекции Линал Ершов, страница 44

Пусть χϕ (t) ∈ R[t] — характеристический многочлен оператора ϕ и λ ∈ C\R— его невещественный корень, χϕ (λ) = 0. Тогда f (t) = (t − λ)(t − λ) = t2 + pt + q делит χϕ (t) вкольце R[t] (то есть χϕ (t) = f (t)g(t), где g(t) ∈ R[t]).Напомним, что для любого многочлена p(t) ∈ R[t] и оператора ϕ как выше мы имеем линейныйоператор p(ϕ) : V → V.Докажем теперь серию небольших лемм.Лемма 9.44. Пусть U := ker f (ϕ) ⊂ V. Тогда U является ϕ-инвариантным.Доказательство. Если два оператора ϕ, ψ : V → V коммутируют, то ядро одного из них инваринатно относительно другого. Легко проверяется, что для любого многочлена p операторы ϕ иp(ϕ) коммутируют.Лемма 9.45. Определенное в предыдущей лемме подпространство U ненулевое.Доказательство.

Пусть A — матрица оператора ϕ в некотором базисе пространства V . Тогдаматрицей оператора f (ϕ) в том же базисе будет f (A). Заметим, что f (A) является произведениемдвух комплексных матриц A − λE и A − λE. В самом деле,(A − λE)(A − λE) = A2 − (λ + λ)A + λλE = f (A).165Поэтому det f (A) = (det (A − λE))(det (A − λE)). Но так как λ — (комплексный) корень χϕ (t), томатрица (A − λE) вырождена (то же, конечно, верно и для (A − λE)).

Значит, и матрица f (A)тоже вырождена, поэтому у оператора f (ϕ) ядро U ненулевое.Лемма 9.46. Подпространство U не содержит собственных векторов оператора ϕ.Доказательство. Пусть, напротив, u ∈ U — собственный вектор ϕ. Тогда u 6= 0 и ϕ(u) = µu длянекоторого µ ∈ R.

Тогда0 = f (ϕ)(u) = (ϕ2 + pϕ + qidV )u = (µ2 + pµ + q)uи µ — вещественный корень многочлена f (t) в противоречии с нашим выбором многочлена f.Лемма 9.47. Пусть 0 6= u ∈ U. Тогда W := hu, ϕ(u)i ⊆ U — двумерное ϕ-инвариантное подпространство.Доказательство. Заметим, что W содержится в U , так как ϕ(u) ∈ U в силу ϕ-инвариантностиU (см. лемму 9.44). Если ϕ(u) пропорционально (с вещественным коэффициентом) u, то u —собственный вектор ϕ, чего в силу предыдущей леммы быть не может. Поэтому dim W = 2.Осталось показать, что само W ϕ-инвариантно.

Для этого, очевидно, достаточно показать, чтоего базис {u, ϕ(u)} при применении ϕ остается в W . Для u это очевидно, для ϕ(u) это следует изравенства ϕ2 (u) = −pϕ(u) − qu, которое выполнено для любого u ∈ U в силу определения U.!0 −qЗаметим, что матрицей ϕ|W в базисе {u, ϕ(u)} пространства W будет B =. Инте1 −pресно заметить, что χB (t) = f (t). Как это связано с теоремой Гамильтона-Кэли?Соберем вместе доказанные в леммах результаты.Предложение 9.48.

Пусть V — конечномерное линейное пространство над полем R, ϕ : V → V— линейный оператор, λ — комплексный (невещественный) корень χϕ (t). Пусть f (t) = (t −λ)(t − λ) ∈ R[t] и U = ker f (ϕ). Тогда U — ненулевое ϕ-инвариантное подпространство в V , ипроизвольный ненулевой вектор u ∈ U содержится в единственном двумерном ϕ-инвариантномподпространстве W ⊆ U .Следствие 9.49. Пусть V — конечномерное линейное пространство положительной размерности над полем R, ϕ : V → V — линейный оператор.

Тогда в V существует одно- или двумерноеϕ-инвариантное подпространство.Дадим теперь новое доказательство Предложения 9.12, утверждающего существование собственного вектора самосопряженного преобразования.Итак, пусть ϕ : V → V — самосопряженное преобразование евклидова пространстваV, dim V ≥ 1. Если у ϕ есть одномерное инвариантное подпространство, то его порождает собственный вектор. Если одномерного инвариантного подпространства нет, то обязательно найдетсядвумерное ϕ-инвариантное подпространство U ⊂ V.

Ограничение ψ := ϕ|U является самосопряженным преобразованием двумерного! евклидова пространства U . Пусть {e1 , e2 } — ортонормиa bрованный базис в U и B =— матрица ψ в нем. Легко посчитать, что дискриминантb c166характеристического многочлена χB (t) равен (a − c)2 + 4b2 , поэтому он всегда неотрицателен,и значит корни χB (t) вещественные, поэтому ψ имеет собственный вектор, а значит и ϕ имеетсобственный вектор, лежащий в подпространстве U . Это противоречит предположению о том,что у ϕ нет одномерного инвариантного подпространства и завершает доказательство.Выведем теперь из Следствия 9.49 существование канонического вида ортогонального оператора.Предложение 9.50.

Пусть ϕ : V → V — ортогональное преобразование конечномерного евклидова пространства V . Тогда в V существует ортонормированный базис, в котором матрицаимеет блочно-диагональный вид с диагональными блоками порядков 1 и 2. Блоки порядка 1 равны ±1, блоки порядка 2 являются матрицами поворота на углы α 6= πk (вообще говоря, углыразные для разных блоков).Доказательство. Требуемый базис можно строить так. Напомним, что собственными значениямиортогонального оператора могут быть только ±1. Если у ϕ есть собственные подпространства V1и V−1 , то легко проверяется, что они ортогональны.

Выберем ортонормированный базис в каждомиз них и объединим их, так мы получим часть искомого базиса, которая отвечает диагональнымблокам порядка 1. Если V1 ⊕ V−1 6= V , заметим, что так как V1 ⊕ V−1 ϕ-инвариантно, то в силуПредложения 9.29 и (V1 ⊕ V−1 )⊥ ϕ-инвариантно. Подпространство (V1 ⊕ V−1 )⊥ уже не содержитсобственных векторов ϕ, но согласно Следствию 9.49, в нем найдется 2-мерное ϕ-инвариантноеподпространство U. Ограничение ϕ|U будет ортогональным преобразованием плоскости, не имеющим собственных векторов, и значит поворотом на угол! α 6= πk, и его матрицей в соответствуcos α − sin αющем ортонормированном базисе будет.

Далее переходим к (V1 ⊕ V−1 ⊕ U )⊥ иsin α cos αт.д., так как V по условию конечномерно, так мы придем к искомому базису за конечное числошагов.Следствие 9.51. Корни характеристического многочлена ортогонального преобразования — вточности комплексные числа, по модулю равные единице.Доказательство. Легко следует из предыдущего Предложения с учетом того, что характеристические числа матрицы поворота плоскости на угол α равны eiα и e−iα .167Список литературы[1] В.И. Арнольд Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов. — М.: МЦНМО,2002.— 40 с.[2] А.А.

Арутюнов, А.В. Ершов Дополнительные задачи по линейной алгебре: Учеб. пособие.— М.: МФТИ, 2016 — 214 с.[3] Д.В. Беклемишев Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учеб. для вузов.— 12-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009 — 312 с.[4] Л.А. Беклемишева, А.Ю. Петрович, И.А. Чубаров Сборник задач по аналитическойгеометрии и линейной алгебре: Учебн. пособие / Под ред. Д.В.

Беклемишева, 2-е изд., перераб. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012.— 496 с.[5] А.П. Веселов, Е.В. Троицкий Лекции по аналитической геометрии. — М.: МЦНМО, 2016.— 150 с.[6] Э.Б. Винберг Курс алгебры. — 2-е изд., стереотип. — М.: МЦНМО, 2013. — 592 с.[7] А.А. Гайфуллин, А.В. Пенской, С.В. Смирнов Задачи по линейной алгебре и геометрии.— М.: МЦНМО, 2014.

— 152 с.[8] И.М. Гельфанд Лекции по линейной алгебре. — Издание четвертое, дополненное. — М.:Наука, 1971 — 272 с.[9] А.И. Кострикин Введение в алгебру: Ч. II: Линейная алгебра. — Второе издание, стереотип.— М.: МЦНМО, 2012.— 368 с.[10] А.И. Кострикин, Ю.И.

Манин Линейная алгебра и геометрия. — М.: Изд-во Моск. ун-та,1980. — 320 с.168.