Лекции Линал Ершов

Министерство образования и науки Российской ФедерацииМосковский Физико-Технический Институт(государственный университет)А.В. ЕршовЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕДолгопрудный2020Оглавление1 Некоторые сведения из алгебры1.1 Некоторые теоретико-множественные определения1.2 Отношения эквивалентности . . .

. . . . . . . . . .1.3 Абелевы (коммутативные) группы . . . . . . . . .1.4 Поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5 Некоммутативные группы . . . . . . . . . . . . . .1.6 Векторные пространства . . . . . . . . . . . . . . .1.7 Базисы . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .1.8 Кольца и алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Алгебра матриц2.1 Определение и виды матриц . . . . . . . .2.2 Операции с матрицами . . . . . . . . . . .2.3 Элементарные преобразования . . . . . .2.4 Системы линейных уравнений I . . . . . .2.5 Элементарные матрицы . . . .

. . . . . .2.6 Связь невырожденности с обратимостью2.7 Системы линейных уравнений II . . . . ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................55571011131516.......17171823272931323 Определители353.1 n-мерный ориентированный объем .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2 Основные теоремы об определителях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3 Некоторые приложения определителей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514 Начала линейной алгебры4.1 Базисы и размерность конечномерных4.2 Ранг матрицы .

. . . . . . . . . . . . .4.3 Системы линейных уравнений III . . .4.4 Координаты вектора в базисе . . . . .линейных. . . . . .. . . . . .. . . . . .пространств. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .5 Линейные пространства и отображения5.1 Подпространства и прямые суммы . . . . . . . . . . . . . .5.2 Линейные отображения и преобразования .

. . . . . . . . .5.3 Задание линейных отображений на базисах. Изоморфизмы5.4 Матрица линейного отображения . . . . . . . . . . . . . . .5.5 Операции с линейными отображениями . . . . . . . . . . .5.6 Линейные функции и сопряженное пространство . . . . . .6 Линейные операторы6.1 Определение и простейшие свойства . . .6.2 Инвариантные подпространства . . .

. . .6.3 Собственные векторы и подпространства6.4 Диагонализируемость . . . . . . . . . . . .6.5 Теорема Гамильтона-Кэли . . . . . . . . ...........1......................................................................................................................................5252566267............................................................................................................70707579818689.....959597100104109.....................................................................................7 Билинейные и квадратичные функции7.1 Основные определения .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.2 Приведение билинейных симметричных (квадратичных) функций к диагональному виду7.3 Билинейные симметричные (квадратичные) функции над полями C и R . . . . . . . . . .7.4 Алгоритмы приведения к нормальному виду . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.5 Критерий Сильвестра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.6 Алгоритм Грама-Шмидта и метод Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.7 Кососимметрические билинейные функции . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . ........113. 113. 118. 120. 124. 127. 128. 1318 Евклидовы пространства8.1 Определение и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.2 Ортогональное дополнение к подпространству . . . . . . .8.3 Описание линейных функций на евклидовом пространстве8.4 Матрица Грама и неравенство Коши-Буняковского . . . .8.5 Расстояния в евклидовом пространстве . . .

. . . . . . . .8.6 Замечание о метрических пространствах . . . . . . . . . .8.7 Алгоритм Грама-Шмидта . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.8 Описание ортонормированных базисов . . . . . . . . . . . .8.9 Изоморфизмы евклидовых пространств . . . . . . . . . . .8.10 QR-разложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .........................................................................................................................................................................................................9 Операторы и билинейные функции в евклидовых пространствах9.1 Сопряженное отображение . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.2 Теорема Фредгольма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.3 Самосопряженные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .9.4 Связь между линейными операторами и билинейными функциями на евклидовом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.5 Существование ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженногооператора . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.6 Билинейные и квадратичные формы в евклидовом пространстве . . . . . . . . . . . . . . .9.7 Ортогональные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .9.8 Полярное и сингулярное разложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.9 Добавление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2133133135136137138139140142143144145. 145. 147. 148. 150.....151155158161164ВведениеДанный текст основан на курсе линейной алгебры, который автор на протяжении ряда лет читаетв МФТИ. При написании данного текста автор стремился дать более подробное изложение лекционного материала, подходящее и для самостоятельного изучения, поэтому его довольно большойобъем не должен смущать читателя. В текст включено большое количество примеров, которыеиллюстрируют теорию.

Некоторые примеры даны в виде задач, частично решенных прямо втексте. Некоторые из таких задач достаточно сложны, и читатель может их пропустить.Можно сказать, что в течение данного курса мы движемся от алгебры к геометрии. Например, сначала мы без достаточной мотивации вводим матрицы и операции с ними (например,умножение), а уже потом получаем их важнейшую геометрическую интерпретацию как координатной записи линейных отображений, а их умножения — как композиции таких отображений.Другой аналогичный пример дает операция транспонирования матриц, которая затем получаетинтерпретацию как переход к сопряженному отображению. Переход от матриц к линейным отображениям — движение в сторону большей абстракции, в мир более чистых идей. Парадоксально,но на абстрактном уровне теория идейно упрощается (например, многие теоремы о системахлинейных уравнений проще понимать и доказывать на языке линейных отображений).Вообще, полезно сразу понять место базисов в линейной алгебре.

Математиками была постепенно осознана польза от инвариантных (не использующих базисов и координат) определенийматематических понятий. Мы тоже по возможности даем инвариантные определения и формулировки (и, где это возможно, доказательства). С другой стороны, использование базисов неизбежно, если нам нужно решить конкретную, “числовую”, задачу.Там, где это естественно, мы не избегаем использования таких общематических понятий какотношение эквивалентности, группа, инвариант и т.д., что, по нашему мнению, должно способствовать росту математической культуры читателя.Большое влияние на автора и в плане отбора материала, и в плане его изложения оказалучебник [6].

Также целый ряд ценных идей автор позаимствовал из учебников [3], [8], [9], [10].Советы студентамНекоторая часть представленного в данном тексте материала выходит за рамки программы экзамена по Линейной алгебре на первом курсе МФТИ. К необязательному материалу целиком относится содержание параграфов “Алгоритм Грама-Шмидта и метод Якоби”, “Кососимметрическиебилинейные функции”, “QR-разложение”. Студент, который хочет в первую очередь подготовиться к сдаче экзамена, может ограничиться изучением только вопросов, входящих в обязательнуюпрограмму, текст задуман таким образом, что это не должно привести к нарушению логическойсвязности (за исключением решений отдельных задач, которые можно пропустить).Отметим, что в данный текст вошли в основном теоретические задачи, поэтому их решение неотменяет необходимости решить достаточное количество стандартных, вычислительных задач,например, из задачника [4].

В качестве решебника по таким задачам автор рекомендует [7]. Тем,кто хочет дополнительно потренироваться в решении теоретических задач, можно рекомендовать[2].3Требования к подготовке читателяПредполагается, что читатель данного текста освоил курс аналитической геометрии. В частности, он знаком с понятием свободного вектора, элементами векторной алгебры в пространствахразмерности 2 и 3, матрицами малых порядков.О замеченных опечаткахershov.andrei@gmail.comизамечаниях4потекступросьбасообщатьнаe-mail1Некоторые сведения из алгебрыДанная глава носит вспомогательный характер: в ней для удобства читателя приведены определения некоторых понятий, которые используются в дальнейшем.