Лекции Линал Ершов (1188212)
Текст из файла
Министерство образования и науки Российской ФедерацииМосковский Физико-Технический Институт(государственный университет)А.В. ЕршовЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕДолгопрудный2020Оглавление1 Некоторые сведения из алгебры1.1 Некоторые теоретико-множественные определения1.2 Отношения эквивалентности . . .
. . . . . . . . . .1.3 Абелевы (коммутативные) группы . . . . . . . . .1.4 Поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5 Некоммутативные группы . . . . . . . . . . . . . .1.6 Векторные пространства . . . . . . . . . . . . . . .1.7 Базисы . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .1.8 Кольца и алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Алгебра матриц2.1 Определение и виды матриц . . . . . . . .2.2 Операции с матрицами . . . . . . . . . . .2.3 Элементарные преобразования . . . . . .2.4 Системы линейных уравнений I . . . . . .2.5 Элементарные матрицы . . . .
. . . . . .2.6 Связь невырожденности с обратимостью2.7 Системы линейных уравнений II . . . . ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................55571011131516.......17171823272931323 Определители353.1 n-мерный ориентированный объем .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2 Основные теоремы об определителях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3 Некоторые приложения определителей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514 Начала линейной алгебры4.1 Базисы и размерность конечномерных4.2 Ранг матрицы .
. . . . . . . . . . . . .4.3 Системы линейных уравнений III . . .4.4 Координаты вектора в базисе . . . . .линейных. . . . . .. . . . . .. . . . . .пространств. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .5 Линейные пространства и отображения5.1 Подпространства и прямые суммы . . . . . . . . . . . . . .5.2 Линейные отображения и преобразования .
. . . . . . . . .5.3 Задание линейных отображений на базисах. Изоморфизмы5.4 Матрица линейного отображения . . . . . . . . . . . . . . .5.5 Операции с линейными отображениями . . . . . . . . . . .5.6 Линейные функции и сопряженное пространство . . . . . .6 Линейные операторы6.1 Определение и простейшие свойства . . .6.2 Инвариантные подпространства . . .
. . .6.3 Собственные векторы и подпространства6.4 Диагонализируемость . . . . . . . . . . . .6.5 Теорема Гамильтона-Кэли . . . . . . . . ...........1......................................................................................................................................5252566267............................................................................................................70707579818689.....959597100104109.....................................................................................7 Билинейные и квадратичные функции7.1 Основные определения .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.2 Приведение билинейных симметричных (квадратичных) функций к диагональному виду7.3 Билинейные симметричные (квадратичные) функции над полями C и R . . . . . . . . . .7.4 Алгоритмы приведения к нормальному виду . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.5 Критерий Сильвестра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.6 Алгоритм Грама-Шмидта и метод Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.7 Кососимметрические билинейные функции . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . ........113. 113. 118. 120. 124. 127. 128. 1318 Евклидовы пространства8.1 Определение и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.2 Ортогональное дополнение к подпространству . . . . . . .8.3 Описание линейных функций на евклидовом пространстве8.4 Матрица Грама и неравенство Коши-Буняковского . . . .8.5 Расстояния в евклидовом пространстве . . .
. . . . . . . .8.6 Замечание о метрических пространствах . . . . . . . . . .8.7 Алгоритм Грама-Шмидта . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.8 Описание ортонормированных базисов . . . . . . . . . . . .8.9 Изоморфизмы евклидовых пространств . . . . . . . . . . .8.10 QR-разложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .........................................................................................................................................................................................................9 Операторы и билинейные функции в евклидовых пространствах9.1 Сопряженное отображение . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.2 Теорема Фредгольма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.3 Самосопряженные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .9.4 Связь между линейными операторами и билинейными функциями на евклидовом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.5 Существование ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженногооператора . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.6 Билинейные и квадратичные формы в евклидовом пространстве . . . . . . . . . . . . . . .9.7 Ортогональные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .9.8 Полярное и сингулярное разложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.9 Добавление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2133133135136137138139140142143144145. 145. 147. 148. 150.....151155158161164ВведениеДанный текст основан на курсе линейной алгебры, который автор на протяжении ряда лет читаетв МФТИ. При написании данного текста автор стремился дать более подробное изложение лекционного материала, подходящее и для самостоятельного изучения, поэтому его довольно большойобъем не должен смущать читателя. В текст включено большое количество примеров, которыеиллюстрируют теорию.
Некоторые примеры даны в виде задач, частично решенных прямо втексте. Некоторые из таких задач достаточно сложны, и читатель может их пропустить.Можно сказать, что в течение данного курса мы движемся от алгебры к геометрии. Например, сначала мы без достаточной мотивации вводим матрицы и операции с ними (например,умножение), а уже потом получаем их важнейшую геометрическую интерпретацию как координатной записи линейных отображений, а их умножения — как композиции таких отображений.Другой аналогичный пример дает операция транспонирования матриц, которая затем получаетинтерпретацию как переход к сопряженному отображению. Переход от матриц к линейным отображениям — движение в сторону большей абстракции, в мир более чистых идей. Парадоксально,но на абстрактном уровне теория идейно упрощается (например, многие теоремы о системахлинейных уравнений проще понимать и доказывать на языке линейных отображений).Вообще, полезно сразу понять место базисов в линейной алгебре.
Математиками была постепенно осознана польза от инвариантных (не использующих базисов и координат) определенийматематических понятий. Мы тоже по возможности даем инвариантные определения и формулировки (и, где это возможно, доказательства). С другой стороны, использование базисов неизбежно, если нам нужно решить конкретную, “числовую”, задачу.Там, где это естественно, мы не избегаем использования таких общематических понятий какотношение эквивалентности, группа, инвариант и т.д., что, по нашему мнению, должно способствовать росту математической культуры читателя.Большое влияние на автора и в плане отбора материала, и в плане его изложения оказалучебник [6].
Также целый ряд ценных идей автор позаимствовал из учебников [3], [8], [9], [10].Советы студентамНекоторая часть представленного в данном тексте материала выходит за рамки программы экзамена по Линейной алгебре на первом курсе МФТИ. К необязательному материалу целиком относится содержание параграфов “Алгоритм Грама-Шмидта и метод Якоби”, “Кососимметрическиебилинейные функции”, “QR-разложение”. Студент, который хочет в первую очередь подготовиться к сдаче экзамена, может ограничиться изучением только вопросов, входящих в обязательнуюпрограмму, текст задуман таким образом, что это не должно привести к нарушению логическойсвязности (за исключением решений отдельных задач, которые можно пропустить).Отметим, что в данный текст вошли в основном теоретические задачи, поэтому их решение неотменяет необходимости решить достаточное количество стандартных, вычислительных задач,например, из задачника [4].
В качестве решебника по таким задачам автор рекомендует [7]. Тем,кто хочет дополнительно потренироваться в решении теоретических задач, можно рекомендовать[2].3Требования к подготовке читателяПредполагается, что читатель данного текста освоил курс аналитической геометрии. В частности, он знаком с понятием свободного вектора, элементами векторной алгебры в пространствахразмерности 2 и 3, матрицами малых порядков.О замеченных опечаткахershov.andrei@gmail.comизамечаниях4потекступросьбасообщатьнаe-mail1Некоторые сведения из алгебрыДанная глава носит вспомогательный характер: в ней для удобства читателя приведены определения некоторых понятий, которые используются в дальнейшем.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
