Лекции Линал Ершов, страница 5

. . a1n a21 a22 . . . a2n  .(3).... .. ....  .am1 am2 . . . amnс aij ∈ K, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, в которой m строк и n столбцов.Читатель заметил, что в нашей записи элемент aij матрицы стоит на пересечении i-й стоки иj-го столбца. То есть первый индекс обозначает номер строки, второй — столбца. Матрицы мыбудем обозначать заглавными латинскими буквами A, B, C, . . . .

Краткая запись матрицы (3)A = (aij )1≤i≤m,1≤j≤nили просто A = (aij ), если размеры уже указаны.Если число столбцов n = 1, то матрица называется столбцом, если число строк m = 1, томатрица называется строкой. Если число строк равно числу столбцов, то есть m = n, то матрицаназывается квадратной. Квадратную матрицу размера n × n также называют матрицей порядкаn. Главная диагональ матрицы A порядка n образована элементами aii , 1 ≤ i ≤ n. Квадратнаяматрица называется диагональной, если все ее элементы вне главной диагонали равны нулю:aij = 0 при i 6= j.

Другими словами, все ее ненулевые элементы (если они есть) стоят на главной диагонали. Матрица порядка n называется единичной, если она диагональна и на главной8Подробнее о кватернионах написано в книгах [1], [6], [2].17диагонали стоят единицы:1 0 ... 00 1 . . .

0. . . . . . ..  .. .. .0 0 ... 1Единичная матрица порядка n обозначается En или просто E.Пусть Matm×n (K) (соответственно Matn (K)) обозначает множество всех m × n-матриц (соответственно матриц порядка n) над полем K. Заметим, что две матрицы A и B над одним и тем жеполем равны, если они имеют одинаковые размеры и соответствующие элементы матриц равны,aij = bij .2.2Операции с матрицамиДля любых двух матриц A, B ∈ Matm×n (K) одинакового размера определена их сумма A + B ∈Matm×n (K), которая является матрицей того же размера.

Матрицы складываются покомпонентно: если C := A + B, C = (cij ), тоcij = aij + bij , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.Из определения суммы матриц и свойств операции сложения элементов поля сразу следуютсвойства операции сложения матриц:1) ∀A, B, C ∈ Matm×n (K) (A + B) + C = A + (B + C) (ассоциативность сложения матриц);2) ∃O ∈ Matm×n (K) (а именно, нулевая матрица, состоящая из одних нулей) такая, что ∀A ∈Matm×n (K) A + O = A = O + A (существование нейтрального, в данном случае нулевого,элемента);3) ∀A ∈ Matm×n (K) ∃(−A) ∈ Matm×n (K) (противоположная к A матрица, у которой на (i, j)-мместе стоит −aij ) такая, что A + (−A) = O = (−A) + A (существование обратного, в данномслучае противоположного элемента);4) ∀A, B ∈ Matm×n (K) A + B = B + A (коммутативность сложения матриц).Выполнение условий 1)—3) означает, что множество Matm×n (K) с операцией сложения является группой, а дополнительное условие 4) означает, что эта группа коммутативна, или абелева.Кроме того, для любой матрицы A ∈ Matm×n (K) и элемента поля (= скаляра) λ ∈ K определена матрица A0 := λA ∈ Matm×n (K) с элементами a0ij = λaij , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n (то есть λAполучается из A умножением всех ее элементов на λ).Из определения легко выводятся свойства операции умножения матриц на скаляры:5) ∀A ∈ Matm×n (K), ∀ λ, µ ∈ K (λµ)A = λ(µA);6) ∀A ∈ Matm×n (K) 1A = A (здесь 1 обозначает единицу поля K).18Кроме того, непосредственно проверяется, что операции сложения матриц и умножения матриц на скаляры связаны законами дистрибутивности:7) ∀A ∈ Matm×n (K), ∀ λ, µ ∈ K (λ + µ)A = λA + µA;8) ∀A, B ∈ Matm×n (K), ∀λ ∈ K λ(A + B) = λA + λB.Выполнение свойств 1)—8) означает, что имеет место следующая Теорема.Теорема 2.2.

Для любой пары натуральных чисел m, n множество Matm×n (K) матриц размера m×n с операциями сложения и умножения на скаляры является векторным пространствомнад полем K.Определим mn матриц.... . .Eij = . . .......0 . . . 1 . . ... . . .. ∈ Matm×n (K) 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n,. ..0 . . . 0 . .

..... . ....в которых единственный ненулевой элемент — единица, строящая на пересечении i-й строки иj-го столбца. Эти матрицы называются матричными единицами (не путать с единичной матрицей). Они образуют базис в пространстве Matm×n (K). Действительно, произвольная матрицаA ∈ Matm×n (K) единственным образом раскладывается по нему следующим образом:XA=aij Eij ,1≤i≤m, 1≤j≤nто есть координатами являются ее матричные элементы.Перейдем теперь к наиболее интересной и наименее тривиальной операции над матрицами —их произведению. Конечно, можно было бы определить произведение двух матриц A = (aij ), B =(bij ) одинаковых размеров m × n как такую матрицу C = (cij ), что cij = aij bij , но это “произведение” 9 не представляет для нас интереса, хотя и обладает рядом “хороших” свойств.

“Настоящее”произведение матриц определяется иначе.Произведение AB матрицы A размера m × n на матрицу B размера k × p существует тогдаи только тогда, когда n = k, то есть когда число столбцов первой матрицы равно числу строквторой (значит, произведение BA существует тогда и только тогда, когда p = m), и в последнемслучае имеет размер m × p (соотв.

k × n). Все это будет следовать из определения произведенияматриц, которое мы сейчас дадим.Итак, пусть A = (aij ) ∈ Matm×n (K), B = (bij ) ∈ Matn×p (K). Тогда у матрицы C = AB = (cij )элемент cij вычисляется по формулеcij =nXaik bkj ,1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ p,k=19оно называется произведением Адамара.19то есть является суммой произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B (кратко это правило может быть сформулировано так: матрицыперемножаются по правилу “строка на столбец”). Чтобы такое произведение было определено,нужно, чтобы длина строк матрицы A была равна высоте столбцов матрицы B.

Кроме того, индекс i пробегает номера строк матрицы A, а j — номера столбцов матрицы B, отсюда получаем,что произведение AB является матрицей размера m × p, как и утверждалось.Разберем несколько частных случаев. Например, определено произведение строки длины nна столбец высоты n, которое является матрицей размера 1 × 110 .

В обратном порядке их произведение также определено и является уже матрицей размера n × n.Задача 2.3. Покажите, что умножение произвольной матрицы A ∈ Matm×n (K) на матричную единицу Eij порядка m слева дает матрицу Eij A ∈ Matm×n (K), у которой в i-й строкестоит j-я строка матрицы A, а в остальных местах нули. Аналогично, умножение матрицыA на матричную единицу Eij порядка n справа дает матрицу, у которой в j-м столбце стоитi-й столбец матрицы A, а в остальных местах — нули.Задача 2.4.

Любую ли матрицу размера m×n можно представить в виде произведения столбца высоты m на строку длины n при m, n > 1?Также определено произведение Ab матрицы A размера m×n на столбец b высоты n, котороеявляется столбцом высоты m. Посчитаем это произведение:  b1a11 a12 . . . a1na11 b1 + a12 b2 + . .

. + a1n bn   a21 a22 . . . a2n   b2   a21 b1 + a22 b2 + . . . + a2n bn  .  = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = .  am1 am2 . . . amnam1 b1 + am2 b2 + . . . + amn bnbna11a12a1n a21  a22  a2n =  .  b1 +  .  b2 + . . . +  .  bn . ..  ..  .. am1am2amn(4)Таким образом, столбец Ab является линейной комбинацией столбцов матрицы A с коэффициентами из столбца b.Пусть bi , i = 1, . . . , p — столбцы матрицы B, то есть B = (b1 , b2 , . .

. , bp ). Тогда из определенияумножения матриц следует, что AB = (Ab1 , Ab2 , . . . , Abp ), то есть i-й столбец матрицы AB естьпроизведение A на bi . Таким образом, нами доказано следующее Предложение.Предложение 2.5. i-й столбец матрицы AB (i = 1, . . .

, p) является линейной комбинациейстолбцов матрицы A с коэффициентами из i-го столбца матрицы B. Аналогично, i-я строкаматрицы AB является линейной комбинацией строк матрицы B с коэффициентами из i-йстроки матрицы A.10Заметим, что считать матрицу порядка 1 “просто числом” неправильно: число (скаляр) можно умножать налюбую матрицу, в то время как матрицу порядка 1 можно умножать слева только на строку, а справа — толькона столбец.20Следующее Предложение проверяется прямым вычислением (в дальнейшем, при изучениисвязи матриц с линейными отображениями, мы получим более концептуальное доказательствоэтих результатов).Предложение 2.6. Умножение матриц ассоциативно всякий раз когда оно определено.

То естьесли одно из произведений (AB)C или A(BC) существует, то существует и другое, и они равны: (AB)C = A(BC) (в частности, это всегда верно для квадратных матриц одного порядка).Кроме того, если A ∈ Matm×n (K), то Em A = A = AEn , где Em и En — единичные матрицыпорядков m и n соответственно.Кроме того, сложение и умножение матриц связаны законами дистрибутивности:A(B + C) = AB + AC,(A + B)C = AC + BCи для любого λ ∈ K выполнены равенства (λA)B = A(λB) = λ(AB) (всюду размеры матрицпредполагаются согласованными, чтобы операции имели смысл).Задача 2.7.

Покажите, что при умножении произвольной матрицы A ∈ Matm×n (K) на матрицу Pij (λ) := E + λEij (см. (7)) порядка m слева дает матрицу Pij (λ)A ∈ Matm×n (K), котораяполучается из A прибавлением к i-й строке ее j-й строки, умноженной на λ. Аналогично, умножение матрицы A на на матрицу Pij (λ) := E + λEij порядка n справа дает матрицу, котораяполучается из A прибавлением к j-му столбцу ее i-го столбца.

(Указание: использовать задачу2.3).Перечисленные до сих пор свойства умножения в случае квадратных матриц фиксированногопорядка (ассоциативность, существование нейтрального элемента, дистрибутивность относительно сложения) аналогичны свойствам умножения чисел. Однако есть и принципиальные отличия.Во-первых, умножение (даже квадратных) матриц, вообще говоря, некоммутативно.