Лекции Линал Ершов, страница 2

Лучше начинать чтение соследующей главы, обращаясь к данной при необходимости.1.1Некоторые теоретико-множественные определенияОпределение 1.1. Декартовым произведением X × Y множеств X и Y называется множествовсех упорядоченных пар{(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y }.Таким образом, (x, y) = (x0 , y 0 ) ⇔ x = x0 , y = y 0 .В частности, определен декартов квадрат X × X множества X. Например, R × R — множество упорядоченных пар действительных чисел. Любой выбор декартовой системы координат вплоскости определяет биекцию между множеством точек плоскости и R × R.

Аналогично дляпространства и множества R × R × R.Множество R × R × . . . × R (декартово произведение множества R на себя n раз) часто обозначается Rn , его элементами являются строки (или столбцы) длины (высоты) n из действительныхчисел.1.2Отношения эквивалентностиОпределение 1.2. (Бинарным) отношением на множестве X называется произвольное подмножество R ⊂ X × X.Для произвольного отношения R ⊂ X × X определим транспонированное отошение RT ⊂X × X какRT = {(y, x) | (x, y) ∈ R},то есть пара (y, x) ∈ X × X принадлежит RT тогда и только тогда, когда пара (x, y) ∈ X × Xпринадлежит R.

Очевидно, что (RT )T = R.Например, если X — множество людей, определим отношение R “быть родителем” на X какR = {(x, y) | y — родитель x}. Тогда транспонированное отношение RT есть отношение “бытьребенком”.Пример. Диагональ ∆X := {(x, x) | x ∈ X} ⊂ X × X задает отношение равенства на X.Для произвольных отношений R1 , R2 ⊂ X × X на множестве X определим их композициюR2 ◦ R1 как отношение{(x, z) ∈ X × X | существует y ∈ X, для которого(x, y) ∈ R1 , (y, z) ∈ R2 } ⊂ X × X.Например, композиция отношения “быть родителем” и отношения “быть братом” на множествелюдей X есть отношение “быть дядей”, а композиция отношения “быть родителем” с собой —отношение “быть бабушкой или дедушкой”.5Нетрудно проверить, что ∆X ◦ R = R = R ◦ ∆X для любого отношения R ⊂ X × X, а такжечто композиция отношений ассоциативна, то есть для произвольныхR1 ⊂ X × X,R2 ⊂ X × X,R3 ⊂ X × Xотношения (R3 ◦R2 )◦R1 и R3 ◦(R2 ◦R1 ) на множестве X равны.

Также верно равенство (R2 ◦R1 )T =R1T ◦ R2T .Важнейшим методом познания какой-либо части окружающего мира является нахождениеестественной классификации ее объектов. Классификация элементов некоторого множества X— разбиение множества на классы. Любое такое разбиение происходит из (и, в свою очередь,определяет) некоторого отношения эквивалентности на X.Определение 1.3.

Отношение R на X называется отношением эквивалентности на множествеX, если оно обладает свойствами:1) рефлексивности: (x, x) ∈ R для любого x ∈ X (эквивалентно, ∆X ⊂ R);2) симметричности: (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R (эквивалентно, R = RT );3) транзитивности: (x, y) ∈ R и (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R (эквивалентно, R ◦ R ⊂ R, где ◦обозначает композицию отношений).Например, на множестве людей X отношениеR1 = {(x, y) | y знает x}не является отношением эквивалентности (например, отсутствует симметричность), отношениеR2 = {(x, y) | y знако́м с x}также не является отношением эквивалентности (оно симметрично, но не транзитивно), а отношения “быть родственником” или “жить в одном доме” — отношения эквивалентности.Пусть R — отношение эквивалентности на множестве X. В этом случае вместо (x, y) ∈ Rпишут x ∼R y или просто x ∼ y, если ясно, какое отношение эквивалентности имеется в виду.Пусть X — множество, на котором задано отношение эквивалентности ∼ . Классом эквивалентности элемента x ∈ X назовем подмножество [x] ⊂ X, состоящее из всех элементов,эквивалентных x, то есть [x] := {y ∈ X | y ∼ x}.

Произвольный элемент y ∈ [x] называетсяпредставителем класса эквивалентности [x].Например, для отношения эквивалентности “жить в одном доме” классы эквивалентности —жильцы одного дома. Произвольный жилец дома является представителем такого класса.Предложение 1.4. [x] = [x0 ] ⇔ x ∼ x0 .Доказательство. Пусть [x] = [x0 ]. Так как x ∼ x, то x ∈ [x] = = [x0 ], а значит, x ∼ x0 .Наоборот, предположим, что x ∼ x0 . Пусть y ∈ [x] ⇒ y ∼ ∼ x ⇒ y ∼ x0 ⇒ y ∈ [x0 ]. Такимобразом, [x] ⊂ [x0 ].

Тогда в силу симметричности отношения эквивалентности [x] = [x0 ].6Определение 1.5. Разбиением множества X называется представление его в виде объединенияSнепересекающихся1 непустых подмножеств, то есть в виде X = α∈A Xα , Xα ⊂ X, причемTXα Xβ = ∅ при α 6= β.Предложение 1.6. Классы эквивалентности отношения эквивалентности ∼ на X образуютразбиение множества X.Доказательство.

Так как x ∈ [x], то каждый элемент множества X принадлежит некоторомуклассу эквивалентности. Покажем, что если классы [x], [x0 ] имеют непустое пересечение, то онисовпадают. Пусть y ∈ [x] ∩ [x0 ]. Тогда y ∼ x ⇒ x ∼ y, а также y ∼ x0 ⇒ x ∼ x0 ⇒ [x] = [x0 ].SЗаметим, что верно и обратное: по любому разбиению X = = α∈A Xα множества X определяется единственное отношение эквивалентности на X, для которого Xα , α ∈ A, являютсяклассами эквивалентности. То есть существует естественное взаимно однозначное соответствие между отношениями эквивалентности на множестве X и разбиениями X.Теперь заметим, что классы эквивалентности отношения эквивалентности ∼ на X сами можно рассматривать как элементы некоторого множества, которое называется фактормножествоммножества X по отношению эквивалентности ∼. Фактормножество множества X по отношению эквивалентности ∼ обозначается X/ ∼ .Рассмотрим примеры. Фактормножество множества людей по отношению эквивалентности“жить в одном доме” — множество домов (мы считаем, что каждый человек живет в доме, причемединственном).Пример 1.7.

(Свободные векторы на плоскости.) Направленным отрезком AB на плоскости называется упорядоченная пара точек (A, B) на плоскости. Два направленных отрезка AB и A0 B 0называются эквивалентными, если середины AB 0 и A0 B совпадают. Читателю предлагается убедиться, что это — действительно отношение эквивалентости и что его классы эквивалентности— в точности свободные векторы на плоскости.Пример 1.8. (Рациональные числа.) Рассмотрим множество упорядоченных пар целых чисел(m, n), m, n ∈ Z, n 6= 0. Определим на данном множестве отношение(m, n) ∼ (m0 , n0 ) ⇔ mn0 = m0 n.(1)Рефлексивность и симметричность такого отношения очевидны.

Проверим транзитивность. Пусть (m0 , n0 ) ∼ (m00 , n00 ), то есть m0 n00 = m00 n0 . Умножая обе части равенства в (1) на n00 , а обе части предыдущего равенства — на n, получаем mn0 n00 == m0 nn00 ; m0 n00 n = m00 n0 n, откуда, сокращая на n0 (и используя n0 6= 0), получаем mn00 = m00 n.Класс эквивалентности этого отношения называется рациональным числом. Множество рациональных чисел обозначается Q.1.3Абелевы (коммутативные) группыИсторически понятие числа расширялось, начиная с натуральных чисел, затем положительныхрациональных, целых, рациональных, действительных и комплексных.

Математически имеем1То есть имеющих пустое пересечение.7включения числовых множеств:N⊂Z⊂Q⊂R⊂C(мы используем стандартные обозначения натуральных, целых, рациональных, действительных икомплексных чисел). Причем все расширения, кроме Q ⊂ R, можно описать чисто алгебраическииз потребности расширить класс разрешимых алгебраических уравнений. Множества рациональных, действительных и комплексных чисел объединяет то, что с алгебраической точки зренияони являются полями2 .В этом разделе мы объясним, что такое поле.

Для этого нам придется начать с более элементарного понятия группы.Говоря кратко, группа — это множество, на котором задана бинарная операция, обладающаянекоторыми свойствами.Определение 1.9. Говорят, что на множестве X задана бинарная операция ∗, если любой упорядоченной паре (x1 , x2 ) элементов из X поставлен в соответствие некоторый элемент x1 ∗ x2 ∈ X.Другими словами, бинарная операция ∗ на X — то же, что отображение (= функция)X × X → X, X × X 3 (x1 , x2 ) 7→ x1 ∗ x2 ∈ X.Примерами бинарных операций являются операции сложения и умножения на указанныхчисловых множествах или, например, векторное произведение векторов трехмерного ориентированного евклидова пространства.

Вычитание тоже определяет бинарную операцию на всех указанных числовых множествах кроме N (почему?). С делением сложнее: во-первых, нельзя делитьна нуль, во-вторых, даже если выбросить нуль из Z, результат деления может оказаться нецелымчислом. В то же время если K — любое из приведенных выше числовых полей (Q, R или C), тона множестве K∗ := K\{0} его ненулевых элементов деление является бинарной операцией. Скалярное и смешанное произведения не являются бинарными операциями на множестве векторовевклидова пространства (почему?).Рассмотрим множество целых чисел Z с операцией сложения. Какими абстрактными свойствами обладает эта операция? Во-первых, она ассоциативна: для любых целых чисел k, l, mимеет место тождество (k + l) + m = k + (l + m).

Во-вторых, существует нейтральный элемент 0,обладающий свойством k+0 = k = 0+k для любого целого числа k. В третьих, для любого целогочисла k существует противоположное число (−k), такое что k + (−k) = 0 = (−k) + k. Наконец,в четвертых, она коммутативна: для любых целых чисел k, l верно тождество k + l = l + k.Рассмотрим также множество ненулевых рациональных чисел Q∗ := Q\{0} с операцией умножения. Какими абстрактными свойствами обладает эта операция? Во-первых, она ассоциативна:для любых ненулевых рациональных чисел (pq)r = p(qr). Во-вторых, для нее существует нейтральный элемент 1, обладающий свойством p1 = p = 1p для любого p ∈ Q∗ . В третьих, длялюбого p ∈ Q∗ существует обратное число p−1 , такое что pp−1 = 1 = p−1 p.