Лекции Линал Ершов, страница 4

Заметим, что вопределении векторного пространства вместо поля R можно взять произвольное поле K, получивопределение векторного пространства над полем K. Общий случай мы пока рассматривать небудем и под векторным пространством будем подразумевать векторное пространство над полемR.В дальнейшем мы будем опускать обозначение · умножения числа на вектор, записывая λ · vпросто как λ v. Кроме того, вместо тройки (V, +, ·) мы будем писать просто V , подразумевая,что операции в векторном пространстве ясны из контекста.Укажем некоторые следствия аксиом векторного пространства, не являющиеся следствиямиаксиом абелевой группы. Читателю предлагается доказать их в качестве задачи.7А если нет, то легко докажет.13Задача 1.22. Докажите, что в произвольном векторном пространстве (V, +, ·) имеют местотождества:1) λ 0 = 0 ∀ λ ∈ R;2) λ (−v) = −λ v ∀ λ ∈ R, v ∈ V ;3) 0v = 0 ∀ v ∈ V ;4) (−1)v = −v ∀ v ∈ V.Рассмотрим примеры векторных пространств.Пример 1.23.

Множество Matm×n (R) матриц данного размера m × n с операциями сложенияи умножения на числа (в частности, множество столбцов высоты n, часто вместо Matn×1 (R)обозначаемое Rn ) является векторным пространством над R.Пример 1.24. Множество комплексных чисел C можно рассматривать как двумерное векторноепространство над R с базисом {1, i}. Действительно, относительно сложения комплексные числаобразуют абелеву группу; кроме того, операция умножения на действительные числа обладаеттребуемыми свойствами п.2) Определения 1.21 и, наконец, выполнены законы дистрибутивностииз п.3) Определения 1.21.

Кроме того, всякое комплексное число z ∈ C однозначно записываетсяв виде λ·1+µ·i, где λ, µ ∈ R, следовательно, {1, i} — базис в векторном пространстве C над полемR. Это приводит к тому, что комплексные числа можно изображать как векторы на плоскости.Про связь геометрии евклидовой плоскости с комплексными числами можно почитать, например,в [1].Пример 1.25. Основные для нас примеры векторных пространств — пространства свободныхвекторов на плоскости и в пространстве относительно обычных операций сложения векторов иумножения их на числа (определение свободного вектора и линейных операций над свободнымивекторами см.

например в [5]).Определение 1.26. Пусть U ⊂ V — подмножество множества векторов векторного пространства(V, +, ·) такое, что1) (U, +) — подгруппа аддитивной группы (V, +);2) u ∈ U ⇒ λ u ∈ U ∀ λ ∈ R.Тогда (U, +, ·) называется векторным (= линейным) подпространством пространства (V, +, ·).Заметим, что подпространство само является векторным пространством относительно операций, ограниченных с объемлющего пространства.Приведем некоторые примеры векторных подпространств.Самое “маленькое” подпространство в (V, +, ·) состоит только из нулевого вектора, самое“большое” — совпадает со всем пространством (V, +, ·).Если зафиксировать какую-нибудь прямую на плоскости или в трехмерном пространстве, томножество всех свободных векторов, параллельных ей, образуют подпространство в пространстве14свободных векторов соответственно на плоскости или в пространстве.

То же для фиксированнойплоскости в пространстве. Подпространство образует также подмножество всех симметричных(или кососимметричных) матриц в Matn (R). Множество действительных чисел R является подпространством пространства C из Примера 1.24.1.7БазисыПусть V — векторное пространство.Определение 1.27. Системой n (n ∈ N ∪ {0}) векторов пространства V называется произвольное отображение f : {1, 2, . .

. , n} → V.Систему n векторов мы будем записывать в виде {v1 , . . . , vn }, где f (k) = vk , k = 1, . . . , n.Заметим, что система векторов отличается от подмножества двумя свойствами: во-первых, векторы системы имеют естественный порядок (занумерованы числами 1, 2, . . . , n), и, во-вторых, всистему элемент может входить более одного раза (то есть возможны повторения).Линейной комбинацией системы векторов {v1 , . . . , vn } пространства V называется выражениевидаλ1 v1 + λ2 v2 + . . . + λn vn .После проведения всех вычислений (умножений на скаляры и сложений) такое выражение будетнекоторым конкретным вектором v ∈ V . В этом случае говорят, что вектор v представляетсяв виде линейной комбинации системы {v1 , .

. . , vn } или раскладывается по данной системе. Поопределению, линейная комбинация пустой системы векторов равна нулю.Система {v1 , . . . , vn } называется линейно независимой, если нулевой вектор по ней раскладывается единственным образом — с нулевыми коэффициентами, то есть из λ1 v1 +λ2 v2 +.

. .+λn vn =0 следует, что λ1 = . . . = λn = 0. В противном случае система линейно зависима.То есть система {v1 , . . . , vn } линейно зависима, если найдется набор λ1 , . . . , λn элементов изR, среди которых не все нулевые, такой, что λ1 v1 + λ2 v2 + . . . + λn vn = 0.Читателю из курса аналитической геометрии должны быть известны характеризации линейнозависимых и независимых систем в пространствах размерности 1, 2 и 3 (вроде “три векторалинейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны”).Определение 1.28. Базисом в векторном пространстве V называется такая система векторов{e1 , . . .

, en } пространства V , что произвольный вектор v ∈ V однозначно представляется в видеих линейной комбинацииv = v1 e1 + . . . + vn en .(2)Однозначность разложения (2) (при условии существования) равносильна линейной независимости системы {e1 , . . . , en }, в то время как существование разложения произвольного векторасвязано с максимальностью такой системы среди всех линейно независимых систем.Не во всяком векторном пространстве есть базис в смысле данного выше определения.

Нижемы докажем теорему о том, что если в пространстве существует базис из n векторов, то любой другой базис этого пространства содержит то же количество n векторов. Число элементовпроизвольного базиса в V называется размерностью пространства V и обозначается dim V .15В данном курсе мы в основном будем заниматься пространствами, в которых есть базис вуказанном смысле, называемыми конечномерными. В пространстве, состоящем только из нулевого вектора, базисом по определению является пустая система (отображение пустого множествав V = 0).1.8Кольца и алгебрыОпределение 1.29.

Кольцом R называется аддитивная абелева группа (R, +), в которой естьтакже операция умножения, которая удовлетворяет свойству дистрибутивности:a(b + c) = ab + ac, (b + c)a = ba + ca ∀a, b, c ∈ R.Следующие условия являются дополнительными и в произвольном кольце могут не выполняться:• ассоциативность (мультипликативная) (ab)c = a(bc);• наличие мультипликативной единицы 1, то есть такого элемента, что a1 = 1a = a;• коммутативность ab = ba.Эти условия выделяют специальные классы колец: ассоциативные кольца, кольца с единицей икоммутативные кольца соответственно.В частности, поле — ассоциативное коммутативное кольцо с единицей, в котором не менеедвух элементов, и все ненулевые элементы обратимы.Определение 1.30.

Алгеброй над полем K называется множество A, снабженное тремя операциями (двумя внутренними и одной внешней):A × A → A,(a1 , a2 ) 7→ a1 + a2 ,K × A → A,A × A → A,(a1 , a2 ) 7→ a1 a2 ,(λ, a) 7→ λa,называемыми соответственно сложением, умножением и умножением на скаляры (=элементыполя K), обладающими следующими свойствами:• относительно операций сложения и умножения A является кольцом;• относительно сложения и умножения на скаляры A является векторным пространством;• (λa)b = a(λb) = λ(ab) ∀ λ ∈ K, a, b ∈ A.Алгебра называется ассоциативной (коммутативной, с единицей), если соответствующее кольцо ассоциативно (коммутативно, с единицей).Основным для нас примером ассоциативной алгебры над полем K будет алгебра линейныхоператоров на векторном пространстве V над полем K, обозначаемая L(V ). В ней операциисложения, умножения и умножения на скаляры задаются соответственно сложением линейныхоператоров, их композицией и умножением операторов на скаляры.

Выбор базиса в V определяетнекоторый изоморфизм L(V ) с алгеброй матриц Matn (K), где n = dim V (изоморфизм — биекция,16сохраняющая все операции). Алгебра L(V ) обладает единицей (тождественным оператором) инекоммутативна при n > 1.Поле комплексных чисел C является алгеброй над полем R. Более того, если F — подполеполя K, то K является F-алгеброй. Интересным примером алгебры над полем R является алгебра кватернионов H8 , которая является ассоциативной некоммутативной алгеброй с единицей, вкоторой всякий ненулевой элемент обратим.

Таким образом, H является некоммутативным аналогом поля; такие алгебраические структуры называются телами. Можно распространить понятиевекторного пространства на случай, когда вместо основного поля рассматривается тело, тольков случае тел нужно различать понятия левого и правого векторного пространства.Примером неассоциативной алгебры является 3-мерное евклидово ориентированное пространство с векторным произведением в качестве умножения. Это пример алгебры из важнейшегокласса неассоциативных алгебр — алгебр Ли.2Алгебра матриц2.1Определение и виды матрицОпределение 2.1. Матрицей размера m×n с элементами из поля K называется прямоугольнаятаблицаa11 a12 .