Лекции Линал Ершов, страница 3

Наконец, операцияумножения коммутативна: pq = qp для любых p, q ∈ Q∗ .2термин поле в математике многозначен, например существуют векторные поля. В данном тексте мы будемиспользовать поле только для обозначения указанного алгебраической понятия.8Если в двух приведенных примерах абстрагироваться от того, что множества целых и ненулевых рациональных чисел различны, операции сложения и умножения тоже различны, а сосредоточиться только на указанных абстрактных свойствах (ассоциативности, существование нейтрального и противоположного = обратного элементов, коммутативности) операций на указанных множествах, то очевидно, что этими свойствами обладает и операция сложения целых чисел,и операция умножения ненулевых рациональных чисел.Следующее Определение выделяет общие свойства целых чисел с операцией сложения и ненулевых рациональных чисел с операцией умножения.

В нем в качестве обозначения операции мывыбрали +, что привычно во многих примерах, но не принципиально.Определение 1.10. Пара (A, +), состоящая из множества A и заданной на нем бинарной операции+A × A −→ A, (a, b) 7→ a + b(называемой “сложением”) называется коммутативной, или абелевой группой, если выполненыследующие условия (“аксиомы абелевой группы”):1) сложение коммутативно, то есть a + b = b + a для любых a, b ∈ A;2) сложение ассоциативно, то есть ∀ a, b, c ∈ A (a + b) + c = a + (b + c);3) в A существует нуль (называемый также нейтральным элементом), обозначаемый 0 и характеризующийся свойством a + 0 = a ∀ a ∈ A;4) для каждого a ∈ A существует противоположный элемент, обозначаемый (−a) и характеризующийся свойством a + (−a) = 0.Таким образом, (Z, +) и (Q∗ , ·) являются абелевыми группами.В качестве следствий из аксиом абелевой группы отметим единственность нуля и обратногоэлемента, а также однозначную разрешимость в (A, +) уравнения вида x + a = b, где a, b ∈A.

Ясно, что решение этого уравнения есть элемент b + (−a) ∈ A, он называется разностьюэлементов b и a и обозначается b − a. Кроме того, из ассоциативности сложения следует, чтосумма произвольного конечного числа (а не только трех) элементов абелевой группы не зависитот расстановки скобок.Задача 1.11. Какие из следующих множеств с операциями являются абелевыми группами, акакие — нет и почему? (N, +), (Z, ·), (Z, −), (Q, +), (Q, ·), (Q, ÷), (R∗ , ·).Задача 1.12.

Постройте биекцию f : R → R>0 между множеством всех действительных R иположительных действительных R>0 чисел, удовлетворяющую условию f (a + b) = f (a) · f (b)для произвольных a, b ∈ R.Замечание 1.13. Заметим, что обратная биекция f −1 к биекции из предыдущей задачи обладаетаналогичным свойством f −1 (r · s) = f −1 (r) + f −1 (s). Это говорит о том, что группы (R, +) и(R>0 , ·) “устроены одинаково” как множества с бинарной операцией. В самом деле, одну с другойможно отождествить с помощью биекции, сохраняющей операцию.

Такие группы называютсяизоморфными.9Вообще, в каждой математической теории есть свое понятие изоморфизма. Например, в теории множеств два множества называются изоморфными (равномощными), если между нимиможно построить биекцию. При этом равномощные множества не обязательно являются равными (состоят из одних и тех же элементов).Так как группа является не просто множеством, а множеством с бинарной операцией, топонятие изоморфизма групп более тонкое, чем изоморфизма множеств. В качестве упражненияпредлагаем читателю доказать, что существуют две неизоморфные группы из четырех элементов.Далее в этом курсе мы также столкнемся с понятием изоморфизма, специфичным для линейной алгебры — изоморфизмом линейных (а также евклидовых) пространств.Ниже вместо (A, +) мы часто будем писать A, явно указывая только множество элементовгруппы, если из контекста ясно, какая операция подразумевается.Определение 1.14. Пусть B ⊂ A — подмножество множества элементов абелевой группы(A, +), причем1) B содержит ноль, то есть 0 ∈ B;2) B замкнуто относительно операции +, то есть b1 , b2 ∈ B ⇒ b1 + b2 ∈ B;3) B замкнуто относительно операции взятия противоположного элемента, то есть ∀ b ∈ B ⇒(−b) ∈ B.Тогда пара (B, +)3 называется подгруппой группы (A, +).Заметим, что вместо условия 1) в предыдущем определении можно было бы потребовать непустоты множества B.

Очевидно, что подгруппа абелевой группы сама является абелевой группой(относительно той же операции).Рассмотрим примеры абелевых групп и их подгрупп.Самая “маленькая” (по включению) подгруппа группы (A, +) — подгруппа, состоящая только из нуля, самая “большая” — совпадает со всей группой. Также имеем вложения подгрупп(Z, +) ⊂ (Q, +) ⊂ (R, +) ⊂ (C, +) и (Q∗ , ·) ⊂ (R∗ , ·) ⊂ (C∗ , ·). Еще пример: ({±1}, ·) являетсяподгруппой в (Q∗ , ·), состоящей из двух элементов. Или подгруппу в (Z, +) образуют все целыечисла, кратные фиксированному натуральному n.Задача 1.15. Опишите все подгруппы в (C∗ , ·), состоящие из конечного числа элементов.1.4ПоляТеперь мы готовы дать определение поля.Определение 1.16.

Полем называется тройка (K, +, ·) состоящая из множества K и заданныхна нем двух бинарных операций, обозначаемых + и · (и называемых соответственно “сложением”и “умножением”), обладающая следующими свойствами:3чтобы не усложнять обозначения, операция + на A и ее ограничение на подмножество B ⊂ A обозначаютсяодним и тем же символом.10i) (K, +) — абелева группа;ii) (K∗ , ·)4 — абелева группа;iii) операции сложения и умножения связаны законом дистрибутивности:∀ a, b, c ∈ K (a + b) · c = a · c + b · c(тогда в силу коммутативности умножения и a · (b + c) = a · b + a · c).Например, (Q, +, ·), (R, +, ·), (C, +, ·) являются полями, а (N, +, ·), (Z, +, ·) — нет (почему?).Множество с двумя бинарными операциями (Z, +, ·) принадлежит к классу алгебраических объектов, называемых ассоциативными кольцами с единицей.

Они получаются ослаблением аксиомы ii) в предшествующем Определении: от бинарной операции · требуется только ассоциативность и наличие нейтрального элемента (называемого единицей). Другим примером ассоциативного кольца с единицей, с которым мы далее познакомимся, будет кольцо матриц порядка m надполем K.В дальнейшем для упрощения обозначений вместо (K, +, ·) мы будем писать K, считая операции сложения и умножения известными. Кроме того, мы как правило будем опускать точку призаписи умножения.Задача 1.17.

Докажите, что в любом поле K выполнены соотношения0 · a = 0 ∀ a ∈ K,где 0 — нейтральный элемент по сложению, а также(−1)a = −a ∀ a ∈ K.√Есть числовые поля помимо перечисленных выше (например, поле чисел вида a + b 2, a, b ∈Q), есть также нечисловые поля. Часто наши конструкции работают над произвольным полем.Если читателю психологически трудно представлять себе произвольное поле K, то не будет ничегострашного, если он каждый раз будет иметь в виду конкретный пример поля, скажем K = R.Есть поля с довольно экзотическими свойствами, например в некоторых выполняется тождество 1+1 = 0.

Примером такого поля является поле из двух элементов (это наименьшее возможноеполе: из данного выше определения следует, что в любом поле 0 6= 1). Поля со свойством 1+1 = 0называются полями характеристики 2.Очевидным образом определяется понятие подполя.

Например, Q является подполем в R иC, а R — в C.1.5Некоммутативные группыПомимо коммутативных групп в дальнейшем нам встретятся и некоммутативные группы, дадимпоэтому общее определение группы.4Напомним, что K∗ обозначает K\0, где 0 — нейтральный элемент для (K, +).11Определение 1.18. Группой называется пара (G, ·), состоящая из множества G и заданной нанем бинарной операции ·, обладающая следующими свойствами:(i) операция · ассоциативна: для любых g1 , g2 , g3 из G имеет место тождество (g1 · g2 ) · g3 =g1 · (g2 · g3 );(ii) существует элемент e ∈ G, такой что g · e = g = e · g для любого g ∈ G; такой элементназывается нейтральным;(iii) для любого g ∈ G существует обратный элемент, то есть такой h ∈ G, что g · h = e = h · g.Обратный для g обычно5 обозначается g −1 .Заметим, что если вдобавок к перечисленным условиям выполнено также условие коммутативности:(iv) для любых g1 , g2 ∈ G имеет место равенство g1 · g2 = g2 · g1 ,то мы снова возвращаемся к определению коммутативной группы (с тем единственным отличиемот Определения 1.10, что для обозначения операции на этот раз вместо + использован знак ·).Задача 1.19.

Докажите, что1) нейтральный элемент в группе (G, ·) единственен, то есть если e0 ∈ G — еще один элемент такой, что g · e0 = g = e0 · g ∀ g ∈ G, то e = e0 ;2) для каждого g ∈ G обратный элемент g −1 единственен;3) ∀ g, h ∈ G уравнения x · g = h, g · y = h имеют единственные решения (именно, x = h · g −1и y = g −1 · h соответственно).Кроме того, из ассоциативности операции в группе следует, что произведение произвольногоконечного числа элементов группы не зависит от расстановки скобок. Читатель может попытаться доказать это, используя индукцию по числу элементов в произведении.Определение 1.20.

Непустое подмножество H ⊂ G называется подгруппой группы (G, ·), если∀ (h1 , h2 ) ∈ H × H ⇒ h1 · h2 ∈ H; ∀ h ∈ H ⇒ h−1 ∈ H.Заметим, что тогда пара (H, ·)6 сама является группой.Ниже мы будем для группы (G, ·) использовать упрощенное обозначение G если ясно, какаяоперация подразумевается.Приведем пример некоммутативной группы. Пусть [n] := {1, 2, .

. . , n} — множество из n первых натуральных чисел. Рассмотрим множествоSn := {ϕ : [n] → [n] | ϕ биективно}5при условии, если операция обозначается как умножение, что имеет место в нашем случае; если операциюзаписывать как сложение, то обратный к g естественно обозначить (−g).6чтобы не усложнять обозначения, операцию · на G и ее ограничение на подмножество H ⊂ G мы обозначаемодним и тем же символом.12всех биекций конечного множества {1, 2, . . . , n} на себя (читатель, наверное, знает7 , что их n!штук). На Sn определена операция композиции ◦, которая ассоциативна, и так как композициябиекций биекция, обратное отображение к биекции биекция, тождественное отображение — биекция, то (Sn , ◦) — группа. Легко проверить, что она некоммутативна при n > 2.

Также читатель,вероятно, знает группу аффинных преобразований плоскости, которая тоже некоммутативна.Она содержит группу движений плоскости в качестве подгруппы. Еще пример некоммутативнойгруппы дает группа поворотов трехмерного пространства относительно фиксированной точки.В дальнейшем в курсе мы определим важные примеры некоммутативных групп — группу (относительно операции умножения) невырожденных матриц фиксированного порядка над полем игруппу ортогональных матриц фиксированного порядка.1.6Векторные пространстваВ следующем определении нам понадобится понятие внешней бинарной операции, а именно произвольного отображенияϕ : K × L → L,где K 6= L.Определение 1.21. Векторным (или линейным) пространством над полем R называется тройка (V, +, ·), состоящая из множества V , на котором заданы две операции:внутренняя, называемая сложением:+V × V −→ V,(u, v) 7→ u + vвнешняя, называемая умножением на числа (“скаляры”) λ ∈ R:λ · v,и·R × V −→ V,(λ, v) 7→удовлетворяющие следующим условиям (“аксиомам векторного пространства”):1) (V, +) — абелева группа (называемая аддитивной группой векторного пространства V );2) умножение на скаляры обладает свойствами: a) 1 · v = v (1 ∈ R) ∀ v ∈ V , b) (λ µ) · v =λ · (µ · v) ∀ λ, µ ∈ R, ∀ v ∈ V ;3) сложение и умножение связаны законами дистрибутивности: a) (λ+µ)·v = λ·v+µ·v ∀ λ, µ ∈R, ∀ v ∈ V , b) λ · (u + v) = λ · u + λ · v ∀ λ ∈ R, ∀ u, v ∈ V.Элементы произвольного векторного пространства называются векторами.