Лекции Линал Ершов, страница 6

Читательлегко убедится в этом, перемножив, например, матрицы!!1 00 1и.(5)0 00 0Две матрицы A, B называются перестановочными, если AB = BA (в частности, они обязательно квадратные одного порядка). Матрицы вида λE (где E, как обычно, обозначает единичную матрицу) называются скалярными.Задача 2.8. Докажите, что матрица перестановочна со всеми матрицами данного порядкатогда и только тогда, когда она скалярна.Во-вторых, пример с матрицами (5) показывает, что произведение ненулевых матриц можетравняться нулевой матрице. Есть даже ненулевые матрицы, некоторая степень которых равнанулевой матрице (например, квадрат второй из матриц (5)).

С этим связано третье отличие: невсякая ненулевая матрица имеет обратную.Определение 2.9. Матрица B называется обратной для матрицы A, еслиAB = E = BA.21Матрица, для которой существует обратная, называется обратимой. Обратная матрица обычнообозначается A−1 .Замечание 2.10.

Легко видеть, что предыдущее определение имеет смысл только для квадратныхматриц. Мотивировка его следующая: число b называется обратным для числа a, если ab = 1;аналогом числа 1 (нейтрального элемента по умножению) в случае квадратных матриц являетсяединичная матрица; из-за некоммутативности умножения матриц помимо равенства AB = Eтребуется также выполнение равенства BA = E.Задача 2.11. Докажите, что если обратная матрица для данной матрицы существует, тоона единственна.Задача 2.12. Пусть для матрицы A ∈ Matn (K) существует такая ненулевая матрица C ∈Matn×p (K), что AC = O. Тогда для A не может существовать обратной.Из-за некоммутативности умножения матриц матричные уравнения AX = B и Y A = B, дажеесли матрица A обратима, имеют, вообще говоря, разные решения X = A−1 B 6= BA−1 = Y .

Тоесть для матриц есть левое и правое деления.Не следует думать, что перечисленные “отрицательные” свойства являются “недостатками”операций с матрицами. Например, матрицы используются в математическом аппарате квантовой механики и некоммутативность их умножения связана с соотношением неопределенностейГейзенберга.Есть еще одна важная операция с матрицами — транспонирование. Пусть A — матрица размера m × n. Тогда ее транспонированная матрица AT имеет размер n × m и характеризуется тем,что ее i-й столбец равен i-й строке матрицы A при i = 1, . . . , m. Если AT = (aTij ), то aTij = aji .Предложение 2.13.

Операция транспонирования матриц Matm×n (R) → Matn×m (R), A 7→ ATобладает следующими свойствами:1) ∀A, B ∈ Matm×n (R) (A + B)T = AT + B T ;2) ∀A ∈ Matm×n (R), λ ∈ R (λA)T = λAT3) ∀A ∈ Matm×n (R) (AT )T = A (в частности, любая матрица является транспонированнойк некоторой, а именно к AT );4) ∀A ∈ Matm×n (R), B ∈ Matn×k (R) (AB)T = B T AT ;5) При условии что A ∈ Matn×n (R), обратима, (AT )−1 = (A−1 )T .Доказательство. Проверка первых трех свойств тривиальна. Докажем последние два.4) Обозначим C := AB. ИмеемcTki = cik =Xaij bjk =Xjjоткуда и следует требуемое C T = B T AT .22bjk aij =XjbTkj aTji ,5) Проверим, что обратной к (A−1 )T является AT . В самом деле,AT (A−1 )T = (A−1 A)T = E, (A−1 )T AT = (AA−1 )T = E.Тогда в силу единственности обратной матрицы (A−1 )T = (AT )−1 .Матрица A называется симметричной (соответственно кососимметричной), если AT = A(соответственно AT = −A).

Легко видеть, что матрица A симметрична (соответственно кососимметрична) тогда и только тогда, когда все ее матричные элементы удовлетворяют тождествуaij = aji (соответственно тождеству aij = −aji ). То есть в симметричной матрице (которая обязательно является квадратной) на симметричных относительно главной диагонали местах стоятравные элементы, а у кососимметричной такие элементы отличаются знаком (в частности, наглавной диагонали кососимметричной матрицы сторят нули).Множество всех симметричных (соответственно кососимметричных) матриц порядка n обо−значим Mat+n (R) (соответственно Matn (R)).Задача 2.14.

Используя свойства 1) и 2) из предыдущего Предложения докажите, что мно−жества Mat+n (R) и Matn (R) являются линейными подпространствами в Matn (R). Каковы ихразмерности?2.3Элементарные преобразованияВ этом разделе мы введем и начнем изучать элементарные преобразования строк и столбцовматриц, которые будут играть важную роль в дальнейшем.Пусть A — произвольная матрица размера m × n.

Определим элементарные преобразованияее строк.Определение 2.15. Элементарным преобразованием типа I строк матрицы A называется прибавление к некоторой ее строке (скажем, с номером i, 1 ≤ i ≤ m) некоторой другой ее стороки(скажем, с номером j, 1 ≤ j ≤ m, j 6= i), умноженной на некоторое число λ (при этом остальныестроки кроме i-й не меняются).Элементарным преобразованием типа II строк матрицы A называется перестановка местамидвух ее строк (скажем i-й и j-й, 1 ≤ i 6= j ≤ m).Элементарным преобразованием типа III строк матрицы A называется умножение некоторойее строки (скажем, с номером i, 1 ≤ i ≤ m) на ненулевое число c.Аналогично определяются три типа элементарных преобразований столбцов.Заметим, что элементарные преобразования обратимы, то есть для каждого элементарногопреобразования строк матриц с m строками существует (причем единственное) элементарноепреобразование строк такое, что их композиция (последовательное выполнение) есть тождественное преобразование на множестве матриц с m строками (которое само является элементарным преобразованием типа I (при λ = 0) или типа II (при c = 1)).

Например, для введенногов предыдущем Определении элементарного преобразования типа I обратным будет прибавлениек i-й строке j-й, умноженной на −λ; элементарное преобразование типа II обратно самому себе;обратное к элементарному преобразованию типа III есть умножение i-й строки на c−1 (котороесуществует, поскольку c 6= 0).23Элементарные преобразования строк можно выполнять последовательно, получая из исходной матрицы A новые матрицы. Назовем две матрицы A и A0 размера m × n строчно эквивалентными, если существует конечная последовательность элементарных преобразований строк,переводящая первую матрицу во вторую.

Читателю предлагается провести несложную проверкутого, что это — действительно отношение эквивалентности на Matm×n (K). Оно встретится нам втеории систем линейных уравнений.Естественно спросить, как можно описать множество классов строчной эквивалентности матриц данного размера? Какие свойства матриц сохраняются при элементарных преобразованиях?Каков критерий того, что две матрицы данного размера строчно эквивалентны? В общем случаеответы на эти вопросы выходят за рамки нашего курса, но вскоре мы, например, сможем многоесказать о классе эквивалентности единичной матрицы.Определение 2.16. Квадратная матрица называется невырожденной, если ее строки линейнонезависимы.

В противном случае матрица называется вырожденной.Например, легко проверить, что единичная матрица невырождена, а нулевая квадратная матрица или матрица порядкаn ≥ 2 с одинаковымистроками — вырождены.1 2 3Еще пример: матрица 4 5 6 вырождена, поскольку между ее строками a1 , a2 , a3 есть7 8 9линейная зависимость a1 − 2a2 + a3 = 0.Задача 2.17.

Докажите, что квадратная матрица A вырождена тогда и только тогда, когдасуществует такая строка c 6= 0, что cA = 0 (справа — нулевая строка).Предложение 2.18. Если две матрицы строчно эквивалентны, то либо обе они вырождены,либо обе невырождены.Доказательство. Достаточно проверить, что элементарные преобразования всех трех типовневырожденную матрицу переводят в невырожденную.

Для преобразований типов II и III этоочевидно, для преобразований типа I проверяется непосредственно.Вскоре мы докажем, что все невырожденные матрицы данного порядка образуют один классстрочной эквивалентности.Определение 2.19. Ведущим элементом некоторой ненулевой строки матрицы A называетсяпервый слева среди ее ненулевых элементов. То есть aij — ведущий элемент i-й строки матрицыA, если ai1 = ai2 = .

. . = aij−1 = 0, но aij 6= 0.Определение 2.20. Говорят, что матрица A размера m × n является ступенчатой (или чтоона “имеет ступенчатый вид”), если в каждой следующей ее строке сверху вниз как минимум наодин нуль слева больше, чем в предыдущей. Иначе говоря, если a1j1 , a2j2 , . . . , arjr (r ≤ m) — последовательность из ведущих элементов ее ненулевых строк, то последовательность j1 , j2 , .

. . , jrномеров их столбцов строго возрастает.Ступенчатая квадратная матрица называется строго верхнетреугольной, если на главнойдиагонали стоят ненулевые элементы. Другими словами, если m = n и a11 , a22 , . . . , amm — ееведущие элементы.24Нетрудно видеть, что (квадратная) ступенчатая матрица невырождена тогда и только тогда,когда она строго верхнетреугольная.Предложение 2.21.

Любой класс строчной эквивалентности матриц содержит ступенчатую матрицу.Доказательство. Нам нужно доказать, что для любой матрицы A существует последовательность элементарных преобразований ее строк, приводящая ее к ступенчатому виду. Мы предъявим алгоритм построения такой последовательности.Если матрица A нулевая, то она уже имеет ступенчатый вид. Пусть это не так, и пусть j1 —номер ее первого слева ненулевого столбца. Если a1j1 6= 0, то, вычитая из строк, начиная со второй, нужную кратность первой строки, мы обнуляем все элементы j1 -го столбца, кроме первого.Если a1j1 = 0, но aij1 6= 0 (ненулевой элемент в j1 -м столбце существует по условию), мы меняемместами 1-ю и i-ю строки и приходим к описанной ситуации.

Тем самым мы получаем матрицу, у которой ненулевые элементы второй и последующих строк стоят в столбцах с номерами,бо́льшими j1 .Далее мы применяем описанную процедуру к подматрице, образованной строками, начинаясо второй, и т.д. В итоге получаем ступенчатую матрицу.В частности, любая невырожденная матрица строчно эквивалентна строго верхнетреугольной.Алгоритм приведения матрицы к ступенчатому виду, описанный в предыдущем Предложении,называется методом Гаусса.Чтобы описать дальнейшую процедуру “упрощения” матрицы, введем еще одно понятие.Определение 2.22.

Главным столбцом ступенчатой матрицы A называется любой столбец, вкотором стоит ведущий элемент некоторой строки A.Определение 2.23. Ступенчатая матрица называется упрощенной, если после отбрасывания еенулевых строк (которые, если они есть, стоят на последних местах) главные столбцы составляютединичную подматрицу некоторого порядка r ≤ m.Предложение 2.24. Любая матрица строчно эквивалентна упрощенной.Доказательство. К полученной на предыдущем шаге ступенчатой матрице применим процедуру,называемую обратным ходом метода Гаусса. Пусть j1 < j2 < . .