Лекции Линал Ершов, страница 9

. + c1n−r xn = d1 x + c x221 r+1 + c22 xr+2 + . . . + c2n−r xn = d2(8) .................................................. x + c xrr1 r+1 + cr2 xr+2 + . . . + crn−r xn = dr .Результат проведенного исследования сформулируем в виде теоремы.Теорема 2.48. СЛУ несовместна тогда и только тогда, когда для любой ступенчатой матрицы, полученной из ее расширенной матрицы с помощью элементарных преобразований строк,r̃ > r. СЛУ определенна тогда и только тогда, когда r̃ = r = n, где n — число неизвестных.СЛУ неопределенна тогда и только тогда, когда r̃ = r < n.Напомним, что СЛОУ всегда совместна.Следствие 2.49.

Всякая однородная система, у которой число уравнений меньше числа неизвестных, имеет нетривиальное (то есть ненулевое) решение.Доказательство. Рассмотрим однородную систему из m уравнений от n неизвестных. Приведемее к ступенчатому виду. Число r ненулевых строк полученной ступенчатой системы не превосходит m, причем m < n по условию. То есть r < n, что и влечет, в силу предыдущего обсуждения,неопределенность системы.33Предыдущее Следствие можно переформулировать так: любая система из n столбцов высотыm линейно зависима при n > m. Мы этим воспользуемся ниже (см. Предложение 4.4).Заодно мы получили следующий простой и общий алгоритм решения СЛУ.

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований строк приведем ее кступенчатому виду. Если при этом получим r̃ > r, то делаем вывод, что система несовместна.Если же r̃ = r, то с помощью обратного хода метода Гаусса приводим ее ступенчатую расширенную матрицу к упрощенному виду и выписываем общее решение в виде выражения главныхнеизвестных через свободные.В качестве примера решим систему уравненийx1 + 2x2 + x3= 2 x+ 3x2 + 2x3 − x4 = 412x1 + x2 − x3 + 3x4 = −2 2x− 2x3 + 3x4 = 11над полем R. Выписываем расширенную матрицу1 2 1021 3 2 −1 4 Ã = 2 1 −1 3 −22 0 −2 31и приводим ее к ступенчатому виду по нашему алгоритму. Для этого из 2-й, 3-й и 4-й строквычитаем 1-ю строку, умноженную на 1, 2 и 2 соответственно. В результате получаем матрицу1 21020 11 −1 2 0 −3 −3 3 −6 .0 −4 −4 3 −3Далее, прибавляя к 3-й и 4-й строкам 2-ю строку, умноженную на 3 и 4 соответственно, получаемматрицу1 2 1 0 20 1 1 −1 20 0 0 0 0 .0 0 0 −1 5Наконец, переставляя 3-ю и 4-ю строки, получаем ступенчатую матрицу1 2 1 0 20 1 1 −1 20 0 0 −1 5 .0 0 0 0 0Для нее r̃ = r = 3 < n = 4, то есть система неопределенна.

Главные переменные x1 , x2 и x4 , а x3— свободная переменная. Приведем теперь матрицу к упрощенному виду, используя обратный34ход метода Гаусса. Отбросив нулевую строку и вычтя из 2-й строки 3-ю, получим матрицу1 2 1 020 1 1 0 −3 .0 0 0 −1 5Вычтя из 1-й строки удвоенную 2-ю и умножив 3-ю строку на −1, получим матрицу1 0 −1 0 80 1 1 0 −3 ,0 0 0 1 −5имеющую упрощенный вид (главные столбцы составляют единичную матрицу).

Таким образом,исходная система уравнений эквивалентна системе− x3= 8 x1x2 + x3= −3x4 = −5.Перенося члены со свободной неизвестной x3 в правую часть, получаем общее решение x1 = x3 + 8x2 = −x3 − 3x4 =−5.Чтобы подчеркнуть, что свободная переменная x3 играет роль параметра, ее можно обозначить через t и переписать полученное решение в виде     x1t+818     x2  −t − 3 −1−3 =   x   t  =  1  t +  0  . 3    x4−50−5Это — параметрическое уравнение прямой в четырехмерном пространстве K4 с направляющимвектором (1, −1, 1, 0)T и проходящей через точку (8, −3, 0, −5).Заметим, что на некоторые естественные вопросы о системах уравнений (и о матрицах) мыпока не дали ответы.

Например, зависит ли количество свободных неизвестных СЛУ от выборапоследовательности элементарных преобразований, с помощью которых мы приводили матрицусистемы к ступенчатому виду? Этот вопрос, очевидно, эквивалентен вопросу о том, могут ли двеступенчатые матрицы с разным числом r ненулевых строк принадлежать одному классу строчнойэквивалентности матриц? На эти вопросы мы ответим немного позже, после изучения понятийразмерности векторного пространства и ранга матрицы.3ОпределителиДанная глава организована следующим образом. В первом параграфе мы приходим к понятиюопределителя, опираясь на понятия ориентированных площади и объема из курса аналитической35геометрии. Он написан чтобы облегчить читателю переход на более абстрактный язык, которыйиспользуется во втором параграфе.

В частности, Теоремы 3.2, 3.4 и 3.9 являются специальнымислучаями Теоремы 3.21, что по замыслу автора должно помочь глубже понять этот важныйрезультат.3.1n-мерный ориентированный объемВсе пространства в данном параграфе рассматриваются над полем R.Читатель, вероятно, в курсе аналитической геометрии встречался с понятиями ориентированной длины на ориентированной прямой, ориентированной площади на ориентированной плоскости и ориентированного объема в ориентированном трехмерном пространстве. У этих понятийесть естественное обобщение на случай n-мерного ориентированного пространства, называемое nмерным ориентированным объемом.

В этом параграфе мы опишем, как можно к нему прийти, новначале напомним определения ориентированных площадей и объемов. Данный параграф такжеможно рассматривать как неформальное “геометрическое” введение в теорию определителей.Напомним, что в вещественном векторном пространстве базисы делятся на два класса: между базисами из одного класса матрицы перехода имеют положительный определитель, а междубазисами из разных классов — отрицательный определитель.

Ориентированной плоскостью (пространством) называется плоскость (пространство), в котором выбран один из двух классов базисов, базисы из него называются “положительными”. В качестве положительных базисов обычновыбираются правые базисы (определяемые в курсе аналитической геометрии), что мы такжесделаем.Определение 3.1.

Ориентированной площадью на ориентированной плоскости V называетсяфункция f : V × V → R, обладающая следующими свойствами:1) функция f линейна по каждому из своих двух аргументов (то есть билинейна);2) функция f меняет знак при перестановке аргументов (то есть кососимметрична);3) если {e1 , e2 } — правый ортонормированный базис, то f (e1 , e2 ) = 1.Значение f (u, v) на упорядоченной паре {u, v} векторов плоскости V — ориентированная площадь параллелограмма, построенного на данной паре векторов (иногда называемая псевдоскалярным произведением векторов u и v). Заметим, что из кососимметричности f сразу следует,что f (u, u) = 0 для произвольного u ∈ V . Более общо, из билинейности и кососимметричности fследует, что f (u, v) = 0, если u и v коллинеарны (нетрудно проверить, что верно и обратное).Теорема 3.2. Существует единственная функция f , удовлетворяющая Определению 3.1.Доказательство.

Если функция f обладает свойствами 1), 2) из предыдущего определения и{e1 , e2 } — некоторый базис на плоскости V , то для произвольной пары векторов u, v ∈ V имеемf (u, v) = f (u1 e1 + u2 e2 , v1 e1 + v2 e2 ) = u1 v2 f (e1 , e2 ) + u2 v1 f (e2 , e1 ) = (u1 v2 − u2 v1 )f (e1 , e2 ).Таким образом, f однозначно в данном базисе определяется одним числом f (e1 , e2 ).36(9)Обратно, легко проверить, что функция f , заданная формулой (9), полилинейна и кососимметрична. В самом деле (обозначая для простоты c := f (e1 , e2 )), линейность, например, по первомуаргументу u следует из следующей выкладки: если u = u0 + u00 , тоf (u, v) = (u1 v2 − u2 v1 )c = ((u01 + u001 )v2 − (u02 + u002 )v1 )c == (u01 v2 − u02 v1 )c + (u001 v2 − u002 v1 )c = f (u0 , v) + f (u00 , v),и аналогично для умножения на скаляр.

(Фактически, все следует из того, что в каждое слагаемоевыражения (u1 v2 − u2 v1 ) координаты u входят в первой степени). Кососимметричность такжеочевидна: если поменять местами u и v, то выражение (u1 v2 − u2 v1 )c изменит знак.u1 v2 − u2 v1 перед f (e1 , e2 ) в формуле (9) называется определителем матрицы Коэффициентu u 12 . Свойства 1) и 2) предыдущего определения означают, что он линеен и кососимметричен v1 v2 по строкам. Кроме того, на единичной матрице порядка 2 он принимает значение 1 и свойство3) означает, что ориентированная площадь параллелограмма, построенного на паре векторовu, v равна определителю матрицы, составленной из координатных строк этих векторов в правомортонормированном базисе.Определение 3.3. Ориентированным объемом в ориентированном трехмерном пространстве Vназывается функция f : V × V × V → R, обладающая следующими свойствами:1) функция f линейна по каждому из своих трех аргументов (то есть трилинейна);2) функция f меняет знак при перестановке любых двух аргументов (то есть кососимметрична);3) если {e1 , e2 , e3 } — правый ортонормированный базис, то f (e1 , e2 , e3 ) = 1.Значение f (u, v, w) на упорядоченной тройке {u, v, w} векторов пространства V — ориентированный объем параллелепипеда, построенного на данной тройке векторов (то есть смешанноепроизведение (u, v, w) векторов u, v, w).