Лекции Линал Ершов, страница 8

. ... . ... ..... . . . 1 . . . λ . . .. . . 0 . . . 1 . . ... . ... . . ....Pij (λ) = Qij = (7). .. ... = E + λEij ,. . . 0 . . . 1 . . . . . . 1 . . . 0 . . ..... . ..... . .......29и...Ri (c) = . . . c . . ...

. ......(у первых двух матриц выделены i-я и j-я строки, у третьей — i-я строка; при этом подразумевается, что на главной диагонали, если не указано противное, стоят единицы).Теперь напрямую проверяется, что они удовлетворяют условию Предложения. При этом дляматриц первого типа это уже было проверено в Задаче 2.7.Матрицы, отвечающие элементарным преобразованиям, также называются элементарными.Поскольку они получаются из единичной матрицы применением элементарного преобразованиястрок, они невырождены.Читателю предлагается показать, что элементарные преобразования столбцов аналогично связаны с умножением на элементарные матрицы справа.Следующее Предложение практически очевидно.Предложение 2.35. Композиции элементарных преобразований ς1 , ς2 отвечает произведениеэлементарных матриц S1 , S2 , то есть ς2 (ς1 (A)) = S2 (S1 A) = (S2 S1 )A ∀ A ∈ Matm×∗ (K).Следствие 2.36.

Матрицы Pij (−λ), Qij , Ri (c−1 ) обратны соответственно к матрицамPij (λ), Qij и Ri (c). В частности, матрица, обратная элементарной, сама элементарна.Доказательство. Заметим, что указанные пары матриц отвечают взаимно обратным элементарным преобразованиям. То есть таким ς1 , ς2 , что ς2 (ς1 (A)) = A, ς1 (ς2 (A)) = A ∀ A ∈ Matm×∗ (K).В частности, ς2 (ς1 (E)) = S2 S1 = E, ς1 (ς2 (E)) = S1 S2 = E.Произведение элементарных матриц, вообще говоря, не является элементарной матрицей.Следствие 2.37. Матрица невырождена ⇔ она является произведением элементарных.Доказательство.

Если матрица A невырождена, то она строчно эквивалентна единичной матрице. Другими словами, существует конечная последовательность элементарных преобразованийстрок, преобразующая единичную матрицу в A. То есть существует конечная последовательностьэлементарных матриц S1 , . . . , Sp такая, что A = Sp .

. . S1 E = Sp . . . S1 .Обратно, произведение элементарных матриц получается из единичной матрицы композицией элементарных преобразований строк и поэтому строчно эквивалентно единичной матрице,которая невырождена.Конечно, представление невырожденнойнозначно.1 2Задача 2.38. Разложите матрицу 0 10 0матрицы в виде произведения элементарных неод32 в произведение элементарных.130Ответ: например, 1 2 31 0 01 0 31 2 0 0 1 2 = 0 1 2 0 1 0 0 1 0 .0 0 10 0 10 0 10 0 1Следующее Предложение непостредственно вытекает из предыдущего Следствия.Предложение 2.39. Произведение невырожденных матриц невырождено.2.6Связь невырожденности с обратимостьюТеорема 2.40.

Матрица обратима ⇔ она невырождена.Доказательство. Если матрица A невырождена, то существует последовательность элементарных преобразований строк τ1 , . . . , τp , преобразующая ее в единичную матрицу. Пусть T1 , . . . , Tp— соответствующая последовательность элементарных матриц.

Тогда E = Tp . . . T1 A. Положим B := Tp . . . T1 . Тогда E = BA. Матрица B, будучи произведением элементарных матриц, невырождена, поэтому к ней применимы те же соображения, то есть существует матрицаC, являющаяся произведением некоторых элементарных матриц, такая, что E = CB. ИмеемA = (CB)A = C(BA) = C, то есть B является обратной для A.Обратно, пусть квадратная матрица A вырождена. Тогда ее столбцы линейно зависимы, тоесть существует ненулевой столбец c такой, что Ac = 0.

Предположим, что обратная матрицаA−1 существует, тогда, умножая обе части последнего равенства на нее, получаем c = A−1 0 = 0— противоречие.Замечание 2.41. Удобный критерий обратимости (=невырожденности) матрицы мы получим ниже в терминах определителя.Задача 2.42. Пусть A и B — две матрицы порядка m такие, что AB = E. Докажите, чтотогда и BA = E (то есть обе матрицы A и B обратимы и B = A−1 (а значит и A = B −1 )).Решение. Если A — вырождена, то существует ненулевая строка c такая, что cA = 0.

Следовательно, 0 = (cA)B = c(AB) = cE = c — противоречие, значит, A невырождена. Тогда существует последовательность элементарных матриц S1 , . . . , Sk такая, что Sk . . . S1 A = E. ПустьC := Sk . . . S1 , тогда CA = E. Откуда B = EB = (CA)B = C(AB) = CE = C, поэтому в самомделе BA = E.Замечание 2.43. На множестве Matm×n (K) рассмотрим следующее отношение эквивалентности:B ∼ C ⇔ ∃ невырожденная m × m-матрица A такая, что C = AB. Легко видеть, что этоотношение эквивалентности совпадает с отношением строчной эквивалентности на Matm×n (K).Отношение, связанное с умножением на невырожденные матрицы справа, совпадает с отношением столбцовой эквивалентности, которое определяется с помощью элементарных преобразованийстолбцов.Пусть матрица A невырождена и τ1 , .

. . , τp — последовательность элементарных преобразований строк, преобразующая ее в единичную матрицу; пусть T1 , . . . , Tp — соответствующий набор31элементарных матриц. Тогда E = Tp . . . T1 A и Tp . . . T1 = A−1 . Отсюда Tp . . . T1 (A | E) = (E | A−1 ).То есть если к строкам матрицы (A | E) применить последовательность элементарных преобразований, преобразующую A в единичную матрицу, то справа будет стоять обратная к A матрица (поскольку применение той же последовательности элементарных преобразований к строкамединичной матрицы E дает матрицу, обратную к A).

Это дает удобный на практике способ нахождения обратной матрицы.Теорема 2.44. Невырожденные матрицы данного порядка m образуют группу по умножению.Доказательство. Действительно, умножение — бинарная ассоциативная операция на множестве Matm (K), причем произведение невырожденных матриц невырождено, единичная матрица невырождена и для любой невырожденной матрицы существует обратная, которая тоженевырождена.Эта группа обозначается GLm (K) и называется полной линейной группой порядка m. Приm = 1 она совпадает с мультипликативной группой поля K (то есть с группой его ненулевыхэлементов относительно операции умножения); при m ≥ 2 она некоммутативна.2.7Системы линейных уравнений IIТеперь мы собираемся применить результаты раздела 2.3 к теории систем линейных уравнений.Мы получим условия, при которых система несовместна, совместна и имеет единственное решение, и имеет более одного решения.Определение 2.45. Совместная система уравнений называется определенной (соотв.

неопределенной), если она имеет единственное решение (соотв. более одного решения).Определение 2.46. Система линейных уравнений называется ступенчатой, если ее расширенная матрица Ã ступенчатая. Система линейных уравнений называется треугольной (соотв.строго треугольной), если ее матрица коэффициентов является треугольной (соотв. строго треугольной).Заметим, что у треугольной системы число уравнений равно числу неизвестных.Так как элементарные преобразования системы заменяют ее на эквивалентную, из Предложения 2.21 следует, что достаточно исследовать (и научиться решать) ступенчатые системы.Итак, рассмотрим произвольную ступенчатую СЛУ; пусть A (соотв.

Ã) — ее матрица коэффициентов (соотв. расширенная матрица). Через r (соотв. r̃) обозначим число ненулевых строкматрицы A (соотв. Ã).Ясно, что возможно два случая: (I) r̃ = r или (II) r̃ = r + 1.В случае (II) система содержит уравнение вида 0x1 + . . . + 0xn = b, b 6= 0 и поэтому являетсянесовместной.Рассмотрим теперь случай (I). Из того, что матрица A по предположению является ступенчатой следует, что число ее ступенек r не превосходит числа ее столбцов n, то есть числа неизвестных x1 , .

. . , xn системы. Выделим в качестве подслучая (I) случай (Ia), когда r̃ = r = n, то32есть система является строго треугольной. Легко понять, что в этом случае система имеет единственное решение. Действительно, из последнего уравнения находим единственное xn , тогда изпредпоследнего — единственное xn−1 и т.д.Осталось рассмотреть случай (Ib), когда r̃ = r < n.

При анализе этого случая нам пригодитсядополнительная терминология.Определение 2.47. Неизвестные xj1 , xj2 , . . . , xjr 1 ≤ j1 < j2 < . . . < jr ≤ n, отвечающиеглавным столбцам матрицы A, называются главными, а остальные — свободными.Другими словами, главные неизвестные — в точности те, которые отвечают ведущим элементам какой-либо строки. Их в точности r штук (соответственно свободных n − r).Перенося все члены со свободными неизвестными в правую часть, мы получаем строго треугольную систему относительно главных неизвестных. Если мы присвоим всем свободным неизвестным какие-то значения, то значения главных неизвестных определяются из этой системыоднозначно. Так как свободные неизвестные могут пробегать произвольные наборы из Kn−r , тов случае бесконечного поля K система при n > r имеет бесконечно много решений.Еще очевидней становится анализ случая (I), если воспользоваться Предложением 2.24 о том,что любая матрица строчно эквивалентна упрощенной.

Тогда, предполагая что матрица коэффициентов системы упрощенная и перенося все члены со свободными неизвестными в правуючасть, мы получаем систему, разрешенную относительно главных неизвестных (это рассуждение включает в себя также случай (Ia), когда все переменные являются главными а свободныенеизвестные отсутствуют). Например, если номера главных неизвестных образуют последовательность 1, 2, . . . , r (общий случай сводится к этому перенумерацией неизвестных), то системаимеет видx1 + c11 xr+1 + c12 xr+2 + . .