Лекции Дымарский 4 семестр

Я. М. ДымарскийЛекции по математическому анализу, четвертый семестр§ 1. Тригонометрические ряды Фурье. ВведениеТригонометрический ряд Фурье (ТРФ) (Жан Батист Жозеф Фурье 1768 –1830) – это специальный функциональный ряд, который является бесконечномерным аналогом разложения вектора по ортогональному базису. Роль такогобазиса выполняют синусы и косинусы всевозможных осцилляций. Развитиетеории ТРФ приводит к методам функционального анализа. ТРФ являютсямощнейшим инструментом в уравнениях математической физики, посколькуряд Фурье ведёт себя прозрачно при дифференцировании, интегрировании исдвиге функции по аргументу.1.1.∑∞Вспомогательные понятия и утверждения. Напомним, что символ k=1 ck (x) называется функциональным рядом, порожденным последовательностью функций ck (x), где x ∈ X∑⊂ R (X – общая для всех функцийnобласть определения). Суммы Sn :=k=1 ck (x) называются частичнымисуммами ряда.

При фиксированном аргументе x сходимость числового рядаSn (x) (n → ∞) называется сходимостью функционального ряда в точке x.Если ряд сходится в каждой точке x ∈ X, то сходимость называется поточечной. В результате возникает предельная функция S(x) := limn→∞ Sn (x).Поточечно сходящийся ряд сходится равномерно, если Sn (x) ⇒ S(x) на X.Ценность равномерной сходимости в том, что она “сохраняет” важные свойства слагаемых ряда: непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость.Точные формулировки даны в теоремах 2.10.9 - 2.10.11.ТРФ применяют для исследования функций более широкого класса, чемнепрерывные.

Для нас исходным будет следующий класс:Определение 1.1. Функция f называется абсолютно интегрируемой(АИ) на конечном (полубесконечном, бесконечном) интервале (a, b), если1. функция f имеет на (a, b) не более конечного числа особенностей, т.е.существуют точки x0 = a < x1 < ... < xi < ... < xI = b такие, чтодля любого i ∈ {1, ..., I − 1} и любого отрезка [α, β] ⊂ (a, b) ∧ [α, β] ̸∋ xi´βинтеграл Римана α f (x)dx существует в собственном смысле;´b2. несобственный интеграл a |f (x)|dx сходится. Замечание 1.1. Во-первых, мы пока не акцентируем внимание на концахотрезка, поскольку значения функции в конечном количестве точек не влияют на ее интегрируемость.Во-вторых, требование сходимости несобствен´bного интеграла a |f (x)|dx равносильно сходимости несобственного интегралаc⃝Я.

М. Дымарский,20202Я. М. ДЫМАРСКИЙ´b´bf (x)dx только при выполнении п. 1. Однако только сходимости a |f (x)|dx´βне достаточно, поскольку она не гарантирует существование интеграла α f (x)dx.(Приведите или найдите в лекции 2.6 контрпример.) aФункциональное пространство всех АИ на (a, b) функций обозначим черезL1R (a, b) = LR (a, b). Это традиционное обозначение, которое напоминает, чтоописываемые функции абсолютно интегрируемы в первой степени по Риману. (Существуют простанства функций, интегрируемых, во-первых, с другимистепенными показателями и, во-вторых, по другим методикам.) Далее, мы понимаем LR (a, b) именно как векторное пространство, элементы которого, т.е.функции f, g, ..., являются векторами с поточечными операциями сложенияи умножения на число:∀f, g ∈ LR (a, b) ∀α ∈ R ,→ (f + g)(x) := f (x) + g(x), (α · f )(x) := α · f (x).Задача 1.1.

Какая функция является нулевым вектором? Проверьте: 1)векторные операции не выводят за пределы пространства LR (a, b); 2) выполнены все аксиомы векторного пространства.Произведение АИ функций в общем случае не является АИ. Например,функция f (x) = x−1/2 принадлежит пространству LR (0, 1), а ее квадрат f 2 (x) =x−1 – нет. Потребность в умножении функций вынуждает нас предъявить более жесткие требования ко второму сомножителю:Лемма 1.1. (об умножении) Если функция f ∈ LR (a, b), а функция g(x) –непрерывна и ограничена на (a, b), то произведение f (x)g(x) ∈ LR (a, b).Замечание 1.2. Функция g не обязана быть непрерывной вплоть до концовинтервала; например, g(x) = sin(1/x) (x ∈ (0, 1)).

Доказательство. Из п. 1 определения 1.1 и непрерывности функции gследует, что для любого i ∈ {1, ..., I −1} и любого отрезка [α, β] ⊂ (a, b)∧[α, β] ̸∋´βxi интеграл Римана α f (x)g(x)dx существует в собственном смысле. Значит, п.1 определения выполнен и для функции f (x)g(x). Из ограниченности функции´b|g(x)| и сходимости интеграла a |f (x)|dx следует, согласно признаку сравнения´b(теорема 2.8.8), сходимость интеграла a |f (x)g(x)|dx.

Периодичность тригонометрических функций вынуждает нас сосредоточиться на исследовании именно периодических функций. Нам понадобитсяЛемма 1.2. (о сдвиге при интегрировании на периоде) Если функция f является T -периодической и АИ на (0, T ), то для любого числа α справедливоˆˆα+Tf (x)dx =αTf (x)dx.(1.1)0Доказательство. Утверждение буквально очевидно: если разбить отрезок интегрирования на два подотрезка согласно рис. 1.1 и допустить, чтокриволинейные трапеции измеримы, тоΘ1 = Θ 2 ∧ Θ = Θ 1 ∪ Θ3 ⇒3ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТРˆˆα+TTf (x)dx = µ(Θ3 ∪ Θ2 ) = µ(Θ1 ∪ Θ3 ) = µ(Θ) =αАналитическое доказательство таково.В силу периодичности, фунция f является АИ на любом интервале вида(mT, nT ), где m, n ∈ Z, m < n.

Поскольку любой конечный интервал можно погрузить в интервал указанного типа, тофункция f является АИ на любом конечном интервале. Учитывая это замечание и используя периодичность, получаемˆ α+Tˆ Tˆf (x)dx =f (x)dx +αˆˆTα32···Рис. 1.1α+Tf (x)dx =ˆTf (t + T )d(t + T ) =01·Tˆαf (x)dx +αf (x)dx.0f (x)dx +αˆα0Tf (x)dx. f (t)dt =01.2. Ортогональная система тигонометрических функций.Звуки умертвив,Музы́ку я разъял, как труп. ПоверилЯ алгеброй гармонию.А.С. Пушкин. Моцарт и СальериВ качестве отправной точки рассмотрим арифметическое евклидово пространство Vn со стандартным скалярным произведением (f, g) := f1 g1 + ...

+fn gn . Пусть {e1 , ..., en } – произвольный ортогональный базис (т.е. (ei , ej ) = 0при i ̸= j). Тогда координаты вектора f в разложении f = ξ1 e1 +...+ξn en получаются, если обе части разложения скалярно умножить на ei : ξi = (f, ei )/(ei , ei ).Аналогом евклидового пространства Vn для нас является функциональноепространство L2R (−π, π) АИ с квадратом функций, т.е.

таких функций f ∈LR (−π, π), квадрат которых f 2 ∈ LR (−π, π). В силу определения, L2R (−π, π) ⊂LR (−π, π). Важно, что функции из L2R (−π, π) можно поточечно умножать(f · g)(x) := f (x) · g(x) и при этом вернаЛемма 1.3. Если f, g ∈ L2R (−π, π), то произведение f · g ∈ LR (−π, π).Доказательство. Пусть {xi } (i = 0, ..., I) – множество всех особых точекфункций f и g. Для любого отрезка [α, β] ⊂ (a, b) ∧ [α, β] ̸∋ xi существование´βсобственного интеграла α f (x)g(x)dx вытекает из интегрируемости по Риману произведения двух интегрируемых´ π функций (см.

теорему 2.6.6). Существование несобственного интеграла −π |f (x)g(x)|dx вытекает из неравенства2|f (x)g(x)| 6 f 2 (x) + g 2 (x) и условия f 2 , g 2 ∈ LR (−π, π). Задача 1.2. Опираясь на лемму 1.3, докажите что пространство L2R (−π, π)замкнуто относительно векторных операций. Точнее, ∀f, g ∈ L2R (−π, π) и∀µ, ν ∈ R выполнено µf + νg ∈ L2R (−π, π).4Я. М.

ДЫМАРСКИЙСреди функций пространства L2R (−π, π) мы выделим вспомогательный, оченьудобный при интегрировании класс:Определение 1.2. кусочно-постоянных (КП) функций.Функциюпространства f ∈ L2R (−π, π) называют КП, если существует конечноеразбиение интервала (−π, π) на промежутки ⟨xi , xi+1 ⟩, на каждом из которыхфункция постоянна.Не исключено,что промежуток вырождается в точку[xi , xi ].

(Типичный график КП функцииизображен на рис. 1.2.) p-pРис. 1.2Рассмотрим две КП функции f и g, у которых разбиения на промежуткипостоянства совпадают и равны между собой по длине:f (x) = fi , g(x) = gi при x ∈ (xi , xi+1 ), xi+1 − xi =2π, i = 0, ..., n − 1.nДля выбранных функций сумма типа скалярного произведения отличается отинтеграла только коэффициентом:ˆ π2π=(f1 g1 + ... + fn gn ) ·f (x)g(x)dx.n−πЭто наблюдение порождаетОпределение 1.3. (Неопределенным) скалярным произведением произвольных функций f, g ∈ L2R (−π, π) называется интегралˆ π(f, g) :=f (x)g(x)dx.(1.2)−πИнтегральной евклидовой (полу)нормой функции f ∈ L2R (−π, π) называют число(ˆ π)1/21/22||f ||2 := (f, f )=f (x) dx.(1.3)−πЛемма 1.4. Определение 1.3 “почти” корректно.

Точнее, указанный интеграл (1.2): 1) существует для любых функций f, g ∈ L2R (−π, π), 2) линеен покаждому сомножителю, 3) коммутативен относительно сомножителей,4) неотрицателен при f (x) = g(x).Задача 1.3. Докажите лемму 1.4.Обсуждение 1.1. Чтобы формула (1.2) определяла “настоящее” скалярноепроизведение, а формула (1.3) определяла норму, не хватает строгой положительности ||f ||2 > 0 при f (x) ̸= 0 (отсюда термин “полунорма”). Например, функция равная нулю всюду, кроме конечного числа точек, отлична отнуля, а ее интегральная полунорма равна нулю.

Обсуждение этой идеологически сложной проблемы мы отложим в конец теории. ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР5Теперь мы введем аналог ортогонального базиса:Определение 1.4. Тригонометрической системой (ТС) называют счетную совокупность функций1 ≡ cos(0x), sin x, cos x, ... cos kx, sin kx, ..., где k ∈ N,(1.4)упорядоченную по росту осцилляции (количеству нулей) на периоде. В основе теории РФ лежит наблюдениеТеорема 1.1.