Лекции Дымарский 1 семестр, страница 5

Всякое число не больше себя: a 6 a.2. Из двух разных чисел одно меньше другого: a ̸= b ,→ или a < b, или b <a.3. Если одно число не меньше другого и наоборот, то числа равны: a 6b ∧ b 6 a ,→ a = b.4. Транзитивность порядка: a < b ∧ b < c ,→ a < c.5. Связь порядка и сложения: α < β ∀γ ,→ α + γ < β + γ6. Связь порядка и умножения: α < β ∀γ > 0 ,→ αγ < βγ.7. Свойство непрерывности: пусть X, Y ⊂ R – непустые множества; пусть∀x ∈ X и ∀y ∈ Y справедливо x 6 y.

Тогда существует такое число a, что∀x ∈ X ∀y ∈ Y ,→ x 6 a 6 y,т.е. число a находится между X и Y .Доказательства свойств (кроме последнего) аналогичны доказательству корректности определений сложения и умножения ДЧ. Последнее свойство естьследствие теоремы 1.5.Замечание 1. Все перечисленные свойства образуют аксиоматику теории ДЧ, равносильную построенной нами теории бесконечных десятичныхдробей.Замечание 2. С символами ±∞, ∞ арифметические операции не определены!ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР191.9. Расстояния и окрестности.

Теперь, когда мы умеем осуществлятьарифметические операции с ДЧ, мы можем датьОпределение 1.16. расстояния между числами=точками:∀a, b ∈ R : ρ(a, b) := |a − b|. В теории пределов мы будем постоянно применятьОпределение 1.17. ε-окрестностью (ε > 0) точки a ∈ R называется подмножество (см. рис. 1)Uε (a) := {x ∈ R : ρ(a, x) < ε} = {x ∈ R : |a − x| < ε} ={x ∈ R : a − ε < x < a + ε} = (a − ε, a + ε).Для символов “бесконечностей” окрестности определяются специфично:111 ∪ 1Uε (−∞) := (−∞, − ), Uε (+∞) := ( , +∞), Uε (∞) := (−∞, − ) ( , +∞).εεεεСм.

рис. 1.1 а) - г). а)б)в)г)Рис. 1.1. ОкрестностиЗамечание. Число a ∈ R принадлежит свой окрестности, символы бесконечностей НЕ принадлежат своим окрестностям. Определения окрестностейданы таким образом, что при уменьшении параметра ε окрестность сужается:∀a ∈ R, RP 1 ∀ε1 > ε2 > 0 ,→ Uε1 (a) ⊃ Uε2 (a).1.10. Бесконечные множества. Появление бесконечных множеств принципиально отличает математический анализ (который часто называют “высшейматематикой”) от школьной (“элементарной”) математики. Обсудим самые первые понятия теории бесконечных множеств.

Прежде всего необходимо дать имОпределение 1.18. Множество, в котором для любого натурального числа n найдётся конечное подмножество из n элементов, называется бесконечным. 20Я. М. ДЫМАРСКИЙМы добавили к рациональным числам иррациональные. Важно узнать, “какмного” новых чисел мы добавили. Для этого надо научиться сравнивать “количество элементов” бесконечных множеств.Определение 1.19. Два множества X и Y называются равномощными,если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие (биекцию).Обозначение: X ∼=Y. Лемма 1.3. Два конечных множества равномощны тогда и т.т., когдаони содержат одинаковое количество элементов.Задача.

Докажите лемму 1.3.Без доказательства примем к сведению следующее утверждение.Лемма 1.4. Множество является бесконечным тогда и т.т., когда оносодержит равномощное ему собственное подмножество.Оказалось, что не только конечные, но и бесконечные множества бывают“разными”, точнее – могут иметь разные мощности.Определение 1.20. Множество называется счетным, если оно равномощно множеству N.

Примеры. 1) Множество четных натуральных чисел счетно. 2) Множество целых чисел счетно, т.е. N ∼= Z. В первом случае множество являетсяподмножеством N, во втором случае множество содержит N.Лемма 1.5. (свойства счетных множеств)1. Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.2. Любое бесконечное подмножество счетного множества счетно.3. Конечное объединение счетных множеств счетно.4. Счетное объединение счетных множеств счетно.Обсуждение.

Утверждение п. 1 можно понимать так: среди всех бесконечных множеств счетные множества имеют наименьшую мощность.Доказательство (наивное).1. Последовательно выбираем произвольный элемент и присваиваем ему номер. Важно, что каждый раз у нас есть возможность выбрать элемент, которыйеще не выбирали, т.к. всех элементов бесконечное множество.2. Пронумеруем все элементы данного счетного множества. В результатеэлементы исследуемого подмножества получают какие-то номера. Поскольку из любого подмножества натуральных чисел можно выбрать наименьшее,из этих номеров можно построить строго возрастающую последовательностьn1 < n2 < n3 ... .

В результате мы пронумеровали все элементы исследуемогоподмножества.3. Пусть счетных подмножеств k штук. Располагаем их элементы матрицейиз k строк, которая бесконечна вправо. Затем нумеруем элементы “змейкой”.На рис. 1.2 а) показан случай k = 3.4. Поскольку множеств счетное количество, все элементы можно индексировать двойной нумерацией ak,m , где k – номер множества, а m – номер элементаЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР21в k-м множестве (k, m ∈ N). Располагаем все элементы матрицей бесконечной вправо и вниз: k – номер строки, m – номер столбца. Затем нумеруемэлементы “змейкой”, см.

рис. 1.2 б). Обратите внимание, с элемента a32 (онобведен кружком) змейки устроены по-разному. а)б)Рис. 1.2. Счетные множестваСледствием п. 4 леммы 1.5 являетсяТеорема 1.8. Множество рациональных чисел счетно: N ∼= Q.Доказательство. Согласно п. 3 леммы 1.5, достаточно доказать счётностьмножества положительных рациональных чисел.

Строим бесконечную вправои вниз матрицу с элементами ak,m = m/k (k, m ∈ N) и пересчитываем ее элементы “змейкой”, не учитывая повторяющиеся сократимые дроби. На рис. 1.3сократимые дроби обведены кружком. Рис. 1.3. Счётность множества QПринципиальной для понимания множества всех ДЧ являетсяТеорема 1.9. (Г. Кантор) Множество ДЧ R несчетно.Доказательство. Достаточно доказать этот факт для полуинтервала [0, 1).Предположим противное.

Тогда существует последовательность бесконечных(k) (k)(k)десятичных дробей xk = 0, a1 a2 ...ak ..., каждая из которых представляетнекоторое действительное число xk (k ∈ N), а все последовательности исчерпывают множество [0, 1). Расположим указанную последовательность десятичных22Я. М. ДЫМАРСКИЙдробей в виде бесконечной вправо и вниз таблицы и рассмотрим диагональные(k)элементы вида ak (выделены жирным шрифтом):0,0,...(1)a1(2)a1...(k)0, a1......(1)a2(2)a2...(k)a2......(2)a3...(k)a3...............(k)ak−1...(k)ak...(k)ak+1.........(k)Заменим диагональные элементы ak произвольными цифрами bk , отличными(k)от девяток и от самих элементов: bk ̸= 9, bk ̸= ak (k ∈ N).

Получим действительное число y = 0, b1 b2 ... ∈ [0, 1), которого заведомо нет в последовательности{xk }∞k=1 . Итак, действительных чисел “больше”, чем рациональных. Мощность R называют континуальной, а равномощное R множество называют континуумом. Оказывается множество J иррациональных чисел является континуумом.Теорема 1.10. J равномощно R: R ∼= J.Доказательство. Во-первых, множество J бесконечно (иначе объединениеR = Q ∪ J было бы счетным). Из J удаляем произвольное счетное подмножество N (что возможно согласно п. 1 леммы 1.5). Оставшееся подмножествоJ \ N отображаем на себя тождественно. Удаленное счетное подмножество Nразбиваем на два счетных подмножества: N = N1 ∪ N2 .

Первое отображаембиективно на N , а второе биективно на Q:J = (J \ N ) ∪ N = (J \ N ) ∪ (N1 ∪ N2 ) ∼= (J \ N ) ∪ N ∪ Q = J ∪ Q = R. Вывод: расширяя множество рациональных чисел, мы добавили “значительно больше” , чем имели. Мощность всех ДЧ оказалась сосредоточена виррациональных числах.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР23§ 2.

Предел числовой последовательности2.1. Понятие предела. Понятие предела является основным инструментом исследования в курсе МА.Определение 2.1. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое действительное число an , то говорят, что определеначисловая последовательность (ЧП) {an }. Другими словами, ЧП – это отображение f : N → R.

Обозначение последовательности: наряду с {an }, либо an (n ∈ N), либоa1 , a2 , ..., an , ... , либо указанием формулы an = f (n).Элементом последовательности называется пара (n, an ) (т.е. это точка графика отображения f ), действительное число an называется значениемn-го элемента, натуральное число n называется номером элемента. Множество всех элементов последовательности счетно и упорядоченно по строгомувозрастанию номеров. Отметим, что множество Im всех значений последовательности (или образ) может быть как счетным, так и конечным.Примеры.

1) an = n, Im = N, 2) an = (−1)n , Im = {−1, 1}Способы задания последовательности:1) Формулой an = f (n) (примеры приведены в любом задачнике по МА).2) Как сумма членов данной последовательности Sn = a1 + ... + an .Примеры:1. если an = a1 + (n − 1)d, тогда Sn = 2a1 +d(n−1)– сумма арифметической2прогрессии;n)2. если an = a1 q n−1 , тогда Sn = b1 (1−q– сумма геометрической прогрес1−qсии;3. если an = cos nα, тоSn = cos α + cos 2α + ... + cos nα =· cos nαsin (n+1)α22, α ̸= 2πk, k ∈ Z;αsin 24. если an = n1 , то Sn = 11 + 12 + ... + n1 – частичная сумма гармоническогоряда.