Лекции Дымарский 1 семестр, страница 2

Определим числа bk = ak+1 − ak .Тогда суммаn−1∑bk = (a2 − a1 ) + (a3 − a2 ) + ... + (an − an−1 ) = an − a1 .k=14) При изучении гармонического анализа важнейшую роль играют суммысинусов и косинусов, аргументы которых изменяются как арифметическая прогрессия:()()nn∑sin n+12 α cos x + 2 αcos(x + kα) =, при α ̸= 2πm, m ∈ Z;sin α2k=0n∑k=0sin(x + kα) =sin( n+1 )()n2 α sin x + 2 α, при α ̸= 2πm, m ∈ Z.sin α2Задача. Докажите формулу суммы синусов. Указание: умножьте обе частиравенства на sin(α/2) и к каждому слагаемому примените формулу произведения синусов; затем воспользуйтесь примером 3).5) Натуральная степень суммы двух слагаемых (бином Ньютона) вычисляется с помощью суммы, коэффициенты которой определяются комбинаторнойформулой сочетаний:(a + b)n = Cn0 an + Cn1 an−1 b + ...

+ Cnk an−k bk + ... + Cnn bn =n∑k=0Cnk an−k bk .6Я. М. ДЫМАРСКИЙЗадача. Докажите формулу бинома Ньютона.Также нам потребуется многоиндексное суммирование. Для простоты рассмотрим двойную сумму, содержащую mn слагаемых ai,j , где индексы независимо принимают натуральные значения i = 1, ..., n, j = 1, ..., m. Ее можнозаписать тремя способами:n ∑m∑i=1 j=1ai,j =m ∑n∑j=1 i=1ai,j =∑ai,j .16i6n, 16j6mЗадача 1. Докажите, что записанные выше выражения совпадают.n∑Задача 2. Сколько слагаемых содержит суммаai,j ?i,j=1; i̸=j0.6. Формулировки определений и утверждений. Наряду с текстовойзаписью мы используем общепринятые логические символы:1.

∀ – для любого (квантор общности);2. ∃ – существует (квантор существования);3. : – такой (ая, ое, ие), что4. ,→ – выполняется;5. A ⇒ B – из условия А следует утверждение В или B является следствием A;6. A ⇔ B – условия А и В равносильны;7. ¬A – отрицание условия А;8. A ∧ B – логическое пересечение, т.е. одновременно выполнены оба условия;9.

A ∨ B – логическое объединение, т.е. выполнено хотя бы одно из двухусловий.Утверждение A ⇒ B можно прочитать еще двумя способами: 1) A являетсядостаточным условием для B; 2) B является необходимым условиемдля A. Утверждение A ⇔ B еще читают так: условие B (A) – критерийвыполнения условия A (B).Использование логических символов в пособии не формализовано, поэтомуодно и то же утверждение можно записать по-разному.Пример. Утверждение “каковы бы ни были два рациональных числа, существует рациональное число, лежащее между ними” можно записать, например,так:∀p ∈ Q ∀q ∈ Q : p < q ,→ ∃r ∈ Q : p < r < q.Символ “,→” будем использовать внутри определений и утверждений; символ“⇒” – между утверждениями.Примем без доказательства, что формулировка отрицания утвержденияосуществляется так:квантор общности ∀ заменяется на квантор существования ∃ и наоборот,условие A в конце утверждения заменяется на его отрицание ¬A,после применения квантора ∃ ставится логическая связка “:”,после квантора ∀ ставится (или подразумевается) логическая связка “,→”.Примеры.

Пусть A(x) – некоторое условие, налагаемое на элементы x ∈ X.Тогда:ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР71) ¬(∀x ∈ X ,→ A(x)) ⇔ ∃x ∈ X : ¬A(x);2) ¬(∃x ∈ X : A(x)) ⇔ ∀x ∈ X ,→ ¬A(x).Названия утверждений “теорема”, “лемма”, “следствие” и т.д. имеют условный характер и порождены исторической традицией изложения математического анализа.Замечание о знаках равенства. В математическом анализе знак “=” используется в разных трактовках.

Чтобы избежать двусмысленности мы будемприменять его модификации:1. B := F (A) – определение объекта B с помощью объекта A;2. f (x) ≡ g(x) при x ∈ X – тождественное равенство двух отображенийна множестве X, где X ⊂ D(f ) и X ⊂ D(g).Примеры. 1) По определению функция tg(x) := sin(x)/ cos(x). 2) |x| ≡ xпри x > 0.0.7. Метод математической индукции. Пусть в условие некоторого утверждения входит натуральный параметр n и мы хотим доказать его справедливость для всех n ∈ N.

В этом случае достаточно установить, что1. утверждение верно при n = 1 (база индукции);2. если для любого n ∈ N утверждение верно, то оно верно для следующегономера n + 1 (индукционный переход).Примеры: задачи из пп. 0.5 и 0.6 решаются методом индукции.8Я. М. ДЫМАРСКИЙ§ 1. Действительные числа1.1. Постановка проблемы. Математический анализ (МА) развивался“от конца к началу”: во второй половине 17-го века были интуитивно сформулированы понятия производной и интеграла, тогда же появились первыеформулировки узловой теоремы Ньютона-Лейбница, которая связывает дифференциальное и интегральное исчисления.

В 18-м веке шло активное накопление фактов МА без их корректного обоснования. Только в первой четверти19-го века Огюстен Коши (1789-1857) дал первые строгие определения предела, непрерывности функции, производной, определенного интеграла. Но приэтом оставался пробел в самом основании МА – строгое построение теориидействительных чисел R. С этого мы и начнем.1.2. Расширение понятия числа. Мы исходим из того, что теорию натуральных чисел N, целых чисел Z и рациональных чисел Q считаем известной.

Напомним, что рациональное число, отличное от нуля, представимоединственным образом в виде дроби ±m/n, где числа m и n натуральные, адробь несократимая.Отметим, что расширения N ⊂ Z ⊂ Q имеют алгебраическую цель – появление новых операций с числами. У расширения Q ⊂ R цель метрическая– решение проблемы соизмеримости отрезков (см.

таблицу ниже).числаNZQRоперациисложение, умножениедобавляется вычитаниедобавляется делениевсе функции на Rзаписьконечный упорядоченный набор цифр± конечный упоряд. набор цифрдва конечных упоряд. набора цифр± бесконечный упоряд. набор цифр√Исторический пример:2 – длина гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника с единичным катетом не является рациональным числом. Выходило, что отрезок существует, но длины у него нет. На самом делекатет и гипотенуза являются несоизмеримыми отрезками.Мы требуем, чтобы расширение понятия рационального числа удовлетворяло принципу преемственности: 1) сохранение всех имеющихся операций и ихалгебраических свойств, 2) неизменность этих операций для рациональныхчисел, 3) сохранение отношений порядка (больше, меньше) между числами.Предложено несколько методов расширения:1.2.3.4.первоначальный “метод сечений” Рихарда Дедекинда (1831-1916);фундаментальные последовательности Георга Кантора (1845-1918);аксиоматический;“наивный” метод бесконечных десятичных дробей, предложенныйКарлом Вейерштрассом (1815-1897) .Мы воспользуемся последним, преимуществами которого являются наглядность появления иррациональных чисел и элементарность понятийного аппарата.

Аксиоматика действительных чисел будет сформулирована нами какЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР9теорема о характеристических свойствах действительных чисел. Метод Кантора будет применен значительно позже (в теории метрических пространств, ккоторым относится, в частности, множество R).1.3. Бесконечная десятичная дробь. Мы применим следующийПлан введения действительных чисел:1.

Предложим новую форму записи рационального числа в виде десятичной дроби.2. Увидим в новой записи возможность расширения понятия числа.3. Введем понятие действительного числа как бесконечной десятичной дроби; введем операции с числами и докажем преемственность.Определение 1.1. Бесконечная десятичная дробь (ДД) записывается ввиде: a := ±a0 , a1 . . .

an ..., где a0 ∈ N0 , ak ∈ {0, 1, ..., 9} (k ∈ N), т.е. правеезапятой стоят цифры. Замечание 1. Бесконечная ДД пока только обозначение бесконечногоупорядоченного множества цифр.Замечание 2. Можно было бы использовать любую позиционную системусчисления, например, двоичную. Но десятичная система привычнее.Определение 1.2. ДД называется периодической, если начиная с определенного номера конечный набор цифр повторяется.Обозначение: a = ±a0 , a1 . . . an (an+1 . .

. an+p ). Периодическая ДД с нулемв периоде, т.е. a = ±a0 , a1 . . . an (0) называется конечной. Обычно нуль вскобках не пишут. Договоренность: положим по определению, что±a0 , a1 . . . an (9) := ±(a0 , a1 . . . an + 0, 0| .{z. . 0} 1)n−1(мотивировка ниже).Примеры. 3, 28(9) = 3, 29, −3, 28(9) = −3, 29.Лемма 1.1. (о конечной десятичной дроби) Рациональное число ±r/q можно записать в виде конечной ДД тогда и т.т., когда q = 2k · 5m , где k, m ∈ N0 :(ra1a2an )± = ± a0 +++ ...

+ n = ±a0 , a1 . . . an (0) ,q10 10010где n = max{k, m}.Доказательство вытекает из определения десятичной записи натуральногочисла и определения десятичной дроби.Пример.127127 · 5635635===++= 0, 635.8 · 25103100010 100 1000Задача. По образцу предыдущего примера докажите лемму 1.1.10Я. М. ДЫМАРСКИЙЛемма 1.2. (о канонической биекции) Между множеством P всех периодических ДД и множеством Q рациональных чисел существует каноническая биекция т.е.