Лекции Дымарский 1 семестр, страница 10

n→∞Замечание.xn → f (xn ).Последовательность {f (xn )} есть сложная функция: n →Теорема 4.1. Определения 4.9 и 4.11 эквивалентны.Доказательство. Пусть выполнено определение по Коши, и пусть {xn } –произвольная последовательность Гейне. Тогда ∀ε > 0 найдется δ = δ(ε), длякоторого выполняется определение Коши 4.9. Но по δ, в силу определения 4.10последовательности Гейне, найдется такой номер N , что для всех больших но◦меров n > N справедливо: xn ∈ U δ (x0 ). Но тогда (опять же в силу определенияКоши!) верно: f (xn ) ∈ Uε (y0 ).Обратно.

Пусть имеет место определение 4.11. Допустим, от противного, чтоопределение по Коши не выполнено. Мы покажем, что в этом случае найдется последовательность Гейне, для которой определение Гейне не выполняется.Отрицание определения Коши есть:◦∃ε0 > 0 : ∀δ ∈ (0, δ0 ) ,→ ∃x ∈ U δ (x0 ) : f (x) ∈/ Uε0 (y0 ).(4.1)Пусть x1 – произвольная точка, удовлетворяющая (4.1) при произвольном выбранном δ = δ1 . Теперь возьмем δ2 = |x1 − x0 |/2. В проколотой δ2 -окрестноститочки x0 найдется точка x2 , удовлетворяющая (4.1). Затем возьмем δ3 =|x2 − x0 |/2 и выберем точку x3 , удовлетворяющую (4.1).

И т.д. Мы получилипоследовательность Гейне {xn } точки x0 , для которой f (xn ) ̸→ y0 . Противоречие. Оба подхода к определению предела имеют свои преимущества, которымимы будем пользоваться.Замечание. Ни сама точка x0 , ни значение функции в точке x0 в определении предела не используется. Более того, не исключено, что в точке x0функция f не определена.Примеры. 1) Функция всюду равна нулю, кроме f (0) = 1:{0, x ̸= 0,f (x) =.1, x = 042Я. М. ДЫМАРСКИЙВ каждой точке у нее есть предел, равный нулю.2) Функция Дирихле в рациональных точках равна единице и равна нулюв иррациональных точках:{1, x ∈ Q,D(x) :=.(4.2)0, x ∈ JУ этой функции ни в одной точке нет предела.

Докажем это утверждение спомощью определения предела по Гейне. Возьмем две последовательности сходящиеся к точке x0 , причем одна принимает рациональные значения, а другаяиррациональные: x′n ∈ Q, x′n → x0 , x′′n ∈ J, x′′n → x0 . Тогда D(x′n ) → 1, аD(x′′n ) → 0.3) Функция Римана определяется правилом{1, x= mn ∈ Q,R(x) := n0, x ∈ J.У этой функции в каждой точке есть предел, равный нулю.Задача. Докажите предыдущее утверждение.Замечание.

Определение 4.9 предела функции, как и определение 2.2 предела последовательности, не является конструктивным. Проверить гипотезу“число a является пределом” помогаетЛемма 4.1. (аналитический критерий существования предела функции)Число a ∈ R является пределом функции при x → x0 тогда и т.т., когда длялюбого ε > 0 неравенство |f (x) − a| < ε относительно неизвестного x ∈ Rистинно для всех чисел из достаточно малой проколотой окрестности числаx0 .Задача.

Докажите лемму 4.1.4.3. Свойства пределов функции. являются аналогами свойств пределов последовательностей.Теорема 4.2. Пусть функции f и g определены в некоторой проколотой окрестности точки x0 ∈ R (RP 1 ), пусть существуют конечные пределыlim f (x) = a ∈ R, lim g(x) = b ∈ R. Тогда имеют место утверждения:x→x0x→x01. О переносе неравенства с пределов на значения функций: пусть a < b,тогда существует такая проколотая δ-окрестность точки x0 , что◦для всех x ∈ U δ (x0 ) верно f (x) < g(x).2. О переносе неравенства со значений функций на их пределы: если для◦всех x ∈ U δ (x0 ) верно f (x) 6 g(x) (<), то a 6 b.3. О трех функциях: пусть 1) функция h определена в той же проколотой окрестности, что и функции f и g, 2) в ней выполняется двусторонняя оценка f (x) 6 h(x) 6 g(x) (<), 3) указанные пределы совпадают, т.е. a = b; тогда lim h(x) = a.4. lim |f (x)| = |a|.x→x0x→x0ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР435.

lim (f (x) ± g(x)) = a ± b.x→x06. lim (f (x) · g(x)) = a · b.x→x07. Если предел b ̸= 0, то lim (f (x)/g(x)) = a/b.x→x0Обсуждение. Утверждения 1-3 связывают порядок на R и предельныесвойства функций. Утверждения 5-7 переносят арифметические операции сфункций на их пределы.Доказательство.

Все утверждения доказываются единообразно с помощьюопределения предела по Гейне и ссылкой на аналогичное утверждение о пределах последовательностей (теоремы 2.3, 2.4, 2.5 2.7) Аналогом следствия 2.1 являетсяСледствие 4.1. (об отделении от нуля) Если R ∋ lim f (x) = a ̸= 0, тоx→x0существует такая проколотая δ-окрестность точки x0 , что для всех x изнее |f (x)| > |a|/2 и sign(f (x)) = sign(a).Задача.

Докажите хотя бы одно из утверждений теоремы 4.2. Опираясь нап. 1 теоремы 4.2, докажите следствие 4.1.4.4. Критерий Коши существования конечного предела функции.является аналогом критерия для предела последовательности.◦Теорема 4.3. Пусть функция f определена в U δ0 (x0 ), где x0 ∈ R (RP 1 ).Функция f имеет конечный предел в т. x0 тогда и т.т., когда выполненоусловие Коши:◦∀ε > 0 ,→ ∃δ ∈ (0, δ0 ) : ∀x′ , x′′ ∈ U δ (x0 ) ,→ |f (x′ ) − f (x′′ )| < ε.(4.3)Доказательство. Необходимость вытекает из определения предела по Кошии неравенства треугольника.

Пусть lim f (x) = a ∈ R, тогдаx→x0◦∀ε > 0 ,→ ∃δ ∈ (0, δ0 ) : ∀x′ , x′′ ∈ U δ (x0 ) ,→ |f (x′ )−a| <εε∧ |f (x′′ )−a| <⇒22◦∀ε > 0 ,→ ∃δ ∈ (0, δ0 ) : ∀x′ , x′′ ∈ U δ (x0 ) ,→ε ε|f (x′ ) − f (x′′ )| 6 |f (x′ ) − a| + |f (x′′ ) − a| < + = ε.2 2Достаточность: пусть выполнено условие Коши. Покажем, что в этом случаефункция имеет предел по Гейне. Пусть {xn } – произвольная последовательность Гейне точки x0 .

Она порождает последовательность значений {f (xn )}.Возьмем произвольное ε > 0. По нему найдем δ = δ(ε) из условия (4.3) Коши.Поскольку xn → x0 , то, начиная с какого-то номера N = N (δ), значения всех◦элементов последовательности {xn } окажутся в U δ (x0 ). Тогда из условия Кошиследует, что |f (xn ) − f (xm )| < ε для любых n, m > N . Значит, последовательность {f (xn )} фундаментальна.

Из критерия Коши для последовательностей(теорема ??) следует, что существует число a, к которому сходится последовательность {f (xn )}. Если мы возьмем любую другую последовательность Гейне44Я. М. ДЫМАРСКИЙ{x′n }, то опять получим предел f (x′n ) → a′ . Покажем, что на самом деле a′ = a.Возьмем последовательность, полученную в результате чередования элементов двух последовательностей: x′′1 := x1 , x′′2 := x′1 , x′′3 := x2 , x′′4 := x′2 . .

. .Эта последовательность также является последовательностью Гейне и для неепоследовательность значений сходится: f (x′′n ) → a′′ ∈ R. Значит, пределы равны: a = a′ = a′′ . Вывод: для произвольной последовательности Гейне {xn }последовательность f (xn ) → a. Следовательно, lim f (x) = a.

x→x04.5. Предел функции по множеству. Не всегда область определенияфункции является интервалом. Поэтому понятие предела полезно перенестина произвольные множества.Определение 4.12. Точка x0 ∈ R (RP 1 ) называется предельной для подмножества X ⊂ R, если существует по крайней мере одна последовательностьГейне точки x0 , значения которой принадлежат X. Замечание. Предельная точка для множества не обязана ему принадлежать.Примеры. 1) У множества N единственная предельная точка +∞ ̸∈ N; 2) умножества Q множество предельных точек вся расширенная числовая прямаяR ⊃ Q.Определение 4.13.

Пусть X ⊂ D(f ) и точка x0 является предельной дляX. Мы называем точку y0 ∈ R (RP 1 ) пределом функции f при x → x0 помножеству X, если◦1) по Коши: ∀ε > 0 ∃δ = δ(ε): ∀x ∈ U δ (x0 ) ∩ X ,→ f (x) ∈ Uε (y0 );2) по Гейне: для любой последовательности Гейне {xn } ⊂ X справедливоlim f (xn ) = y0 . n→∞Как и для определений 4.9 и 4.11, оба определения эквивалентны.

Доказательство не меняется.Очевидно, если функция имеет в точке “обычный” предел, то по любомумножеству ее предел в этой точке существует и совпадает с обычным. Обратноеневерно!Пример Для функции Дирихле (4.2) в каждой точке предел по X = Q равен1, а предел по X = J равен 0. В то время как обычный предел отсутствует!Среди пределов по множеству наиболее важны так называемые односторонние пределы.Определение 4.14.

Предел функции f при x → x0 по множеству X =(a, x0 ) называют пределом слева и обозначают lim f (x) = f (x0 − 0). Преx→x0 −0дел функции f при x → x0 по множеству X = (x0 , b) называют пределомсправа и обозначают lim f (x) = f (x0 + 0). x→x0 +0Пример. Рассмотрим функцию “ступенька”:{0, x ∈ (−∞, 0],f (x) =1, x ∈ (0, +∞).45ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ПЕРВЫЙ СЕМЕСТРОдносторонними пределами в точке x0 = 0 для нее являются f (0 − 0) = 0,f (0 + 0) = 1.В терминах односторонних пределов формулируетсяЛемма 4.2. (критерий существования предела функции) Пусть x0 ∈ R.Предел lim f (x) ∈ R (RP 1 ) существует тогда и т.т., когда существуют иx→x0совпадают односторонние пределы: f (x0 − 0) = f (x0 + 0); при этом условииобычный предел совпадает с односторонними.Доказательство.

(⇒) Очевидно.(⇐) По любому ε > 0 найдутся односторонние окрестности (x0 − δ1 , x0 ) и(x0 , x0 +δ2 ), в которых f (x) ∈ Uε (y0 ). Возьмем из двух положительных чисел δi◦(i = 1, 2) меньшее, обозначим его δ. Тогда f (x) ∈ Uε (y0 ) как только x ∈ U δ (x0 ).4.6. Монотонные функции. переносят порядок с области определенияD(f ) в образ Im(f ) – или сохраняют порядок, или меняют на противоположный.