Лекции Дымарский 1 семестр, страница 9

ОказываетсяТеорема 3.5. (критерий Коши) Последовательность является сходящейся тогда и т.т., когда она фундаментальна.Доказательство. Необходимость вытекает из неравенства треугольника: если a = lim an , то ∀ε > 0 ∃N = N (ε) ∈ N : ∀n > N ∧ ∀p ∈ N ,→|an − an+p | 6 |an − a| + |a − an+p | 6ε ε+ = ε.2 2Достаточность доказывается в несколько шагов.1) Из фундаментальности последовательности следует ее ограниченность:по ε = 1 найдется номер N ∈ N, что для любого n > N верно aN − 1 <an < aN + 1; значит, множество всех значений последовательности, начинаяс номера N , ограничено; поскольку множество {a1 , .

. . , aN −1 } конечно, то последовательность ограничена.2) Из ограниченности последовательности следует существование конечного ЧП a (теорема 3.2 Больцано-Вейерштрасса).3) Покажем, что a – единственный ЧП последовательности. От противного: существует ЧП a′ ̸= a. Возьмем такие фиксированные непересекающиеся ε-окрестности точек a и a′ , чтобы между ними существовал положительныйзазор.

Например, можно взять ε = |a − a′ |/3. Согласно определению ЧП,существуют две сходящиеся подпоследовательности:ank → a при k → ∞, anm → a′ при m → ∞.Поскольку nk > k, nm > m, то nk → ∞ при k → ∞ и nm → ∞ при m → ∞.Значит, существуют элементы последовательности со сколь угодно большиминомерами nk и nm , для которых расстояние |ank − anm | > |a − a′ |/3 = const > 0.Последнее противоречит фундаментальности. Следовательно, a – единственный ЧП.4) Теперь из теоремы 3.3 следует, что a – предел последовательности.

Примеры. 1) Доказать, что последовательностьcos 1 cos 2cos n+ 2 + ... + n333Sn =сходится. Поскольку cos(n + 1)cos(n + p) |Sn+p − Sn | = + ... +63n+13n+p 11→ 0 при n → ∞,2 · 3nто – согласно критерию Коши – последовательность сходится.2) Доказать расходимость последовательности3n+1+ ...

+13n+p<Sn = 1 +11+ ... + .2n38Я. М. ДЫМАРСКИЙПокажем, что для исследуемой последовательности имеет место отрицаниекритерия Коши, т.е. проверим отрицание определения фундаментальности (см.п. 0.6):∃ε0 > 0 : ∀N ∈ N ,→ ∃n > N ∃p ∈ N : |Sn − Sn+p | > ε0 .Возьмем ε0 = 1/2, p = n. Какое бы N ∈ N мы не взяли, для любого n > N (аэто сильнее, чем ∃n) выполняетсяSn+n − Sn =1111+ ... +>n·= .n+1n+n2n2Завершая тему, покажем, что перестановка кванторов влияет на определяемое понятие. Назовем последовательность {an } квазифундаментальной, если∀ε > 0 ∀p ∈ N ∃N ∈ N : ∀n > N,→ |an − an+p | < ε.Вопрос: эквивалентна ли квазифундаментальность определению 3.6 фундаментальности?Ответ отрицательный. В определении фундаментальности номер N = N (ε)зависит только от параметра ε, который выбирается произвольно ДО выборапараметра p.

В определении квазифундаментальности номер N = N (ε, p) зависит от двух параметров ε и p, которые выбирается произвольно ДО выборапараметра N . Поэтому при выполнении условия фундаментальности условиеквазифундаментальности тем более выполняется. Однако, из квазифундаментальности фундаментальностьв общем случае не следует. Возьмем в примере[]2) номер N (ε, p) := pε + 1 . Тогда для всех n > N выполняетсяSn+p − Sn =11pp] 6 ε.+ ...

+< < [pn+1n+pnε +1Значит, квазифундаментальность наличествует. Но данная последовательностьфундаментальной НЕ является, что доказано выше.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР39§ 4. Предел функции4.1. Понятие числовой функции. Функция – основной объект изученияматематического анализа.Определение 4.1. Пусть каждому числу x (аргумент, независимая переменная) из некоторого подмножества Def (f ) = D(f ) ⊂ R поставлено в соответствие единственное число y = f (x) (значение функции, зависимаяпеременная).

Тогда мы говорим, что задана функция f с областью определения D(f ). Подмножество Im(f ) := {y = f (x), x ∈ D(f )} ⊂ R называетсямножеством значений функции или ее образом. Замечание Область определения неотделима от определения функции.

Например, функции, определяемые общей формулой f (x) = x2 на R и на R+0 :=[0, +∞) – это разные функции. Нас интересуют прежде всего функции, определенные на промежутках. Однако D(f ) может быть любым подмножеством;например, если D(f ) = N, то f – числовая последовательность..Способы задания функции. “Школьные”: 1) формулой, 2) табличный,3) геометрический, 4) графический. В дальнейшем мы изучим новые конструкции: 1) сложная функция, 2) обратная функция, 3) неявная функция,4) функция заданная параметрически. У каждого способа задания имеютсясвои “достоинства” и “недостатки”.

Надо понимать, что конкретное нахождениезначения функции для любого аргумента, как правило, невозможно. Исследовать функцию означает знать как можно больше ее свойств и уметь построитьдостоверный график.Напомним первоначальные понятиями в теории функций.Определение 4.2. Сужением функции f на подмножество X ⊂ D(f )называется функция, порожденная тем же соответствием f на подмножествеX.

Обозначается сужение так f |X . Пример. Формула y = x2 порождает функцию на R и ее сужение на x ∈ R+0.Определение 4.3. Образом подмножества X ⊂ D(f ) называется множество f (X) := {y = f (x), x ∈ X}. Определение 4.4. Прообразом числа (точки) y ∈ R для функции fназывается множество f −1 (y) := {x ∈ D(f ) : f (x) = y}. Если y ̸∈ Im(f ), тоf −1 (y) = ∅. Определение 4.5. Полным прообразом подмножества Y ⊂ R для функции f называется множество f −1 (Y ) := {x ∈ D(f ) : f (x) ∈ Y }. Задача.

Для функции y = x2 (x ∈ R) найдите Im(f ), f −1 (0), f −1 (1), f −1 (−1),f (Y1 ), где Y1 = (1, 4), f −1 (Y2 ), где Y2 = (−1, 1).−1Определение 4.6. Графиком функции f называется подмножество паркоординатной плоскости: Gr(f ) := {(x, f (x)) ∈ D(f ) × Im(f )} ⊂ R × R = R2 .Замечание. С помощью графика многим аналитическим понятиям можно придать наглядную геометрическую трактовку. Например, график Gr(f |X )40Я.

М. ДЫМАРСКИЙсужения f |X функции f является подмножеством графика Gr(f ) данной функции: Gr(f |X ) ⊂ Gr(f ). И наоборот, любое подмножество M ⊂ Gr(f ) графикаданной функции является графиком ее сужения f |X на некоторое подмножество X ⊂ D(f ).Задача. Как найти область определения X ⊂ D(f ) по множеству M ?Определение 4.7. Пусть даны две функции f и g, причем Im(f ) ⊂ D(g).Сложной функцией (суперпозицией, композицией, произведением)называется функция (g ◦ f )(x) := g(f (x)), где x ∈ D(f ). fgОбозначения: D(f ) → Im(f ) → R или x → f (x) → g(f (x)).Замечание. В тех случаях, когда Im(f ) ̸⊂ D(g), рассматривают такоесужение f |X , чтобы Im(f |X ) ⊂ D(g) и рассматривают сложную функцию g ◦f |X .

Очевидно, что всегда Im(g ◦ f ) ⊂ Im(g).Примеры. 1) Подпоследовательность {bk = ank } является суперпозицией:N ∋ k → nk → ank ∈ R. 2) Пусть f (x) = sin x, g(x) := 2x , тогда (g ◦f )(x) = 2sin x ,(f ◦ g)(x) = sin 2x .Задача. Пусть f (x) = sin x, g(x) = ln x. Найдите D(f ◦g), Im(f ◦g), D(g ◦f ),Im(g ◦ f ). Постройте графики всех функций, указанных в примере и задаче.Прежде всего мы будем иметь дело с основными элементарными функциями. К ним относятся степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические, гиперболические и обратные к ним функции (строгие определения будут даны позже).

Элементарными мы называем функции, полученныеиз указанных с помощью арифметических операций и их суперпозиции.Замечание. Чтобы сложить (вычесть, умножить, разделить) две функции, нужно осуществить эту операцию “поточечно” на одной и той же областиопределения, т.е.( )ff (x)(f ± g)(x) := f (x) ± g(x), (f · g)(x) := f (x) · g(x),(x) :=.gg(x)Это определение столь естественно, что мы пользуемся им не задумываясь.Замечание. Хотя МА дает нам мощнейшие средства исследования функций и построения их графиков, умение строить графики функций с помощьюпреобразований графиков уже исследованных функций является основополагающим.4.2. Понятие предела функции.

удобно вводить и применять на такназываемой “проколотой окрестности” точки.Определение 4.8. Проколотой ε-окрестностью точки x0 ∈ R (RP 1 ) на◦зывается ε-окрестность этой точки без нее самой: U ε (x0 ) := Uε (x0 )\{x0 }. Замечание. Определения окрестностей точек ±∞, ∞ уже являются проколотыми поскольку не включают эти точки.Дадим два эквивалентных определения предела.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР41Определение 4.9. (по Коши) Пусть функция f определена в некоторой◦проколотой окрестности U δ0 (x0 ) ⊂ D(f ) точки x0 ∈ R (RP 1 ).

Точка y0 ∈R (RP 1 ) называется пределом функции f при x → x0 , если◦∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) ∈ (0, δ0 ) : ∀x ∈ U δ (x0 ) ,→ f (x) ∈ Uε (y0 ). Обозначение: lim f (x) = y0 или f (x) → y0 при x → x0 .x→x0Определение 4.10. Последовательностью Гейне точки x0 ∈ R (RP 1 )◦для функции f мы называем последовательность {xn } ⊂ U δ0 (x0 ) ⊂ D(f ), которая сходится к точке x0 : xn → x0 . Определение 4.11. (Эдуард Гейне, 1821 — 1881) Точка y0 ∈ R (RP 1 ) называется пределом функции f при x → x0 , если для любой последовательностиГейне {xn } точки x0 выполнено: lim f (xn ) = y0 .