Лекции Дымарский 1 семестр, страница 34

М. ДЫМАРСКИЙПервый интеграл в полученной сумме – табличный (сравните с I1 ). Остаетсявзять второй интеграл. Поскольку квадратичная функция в знаменателе неимеет вещественных корней, ее дискриминант отрицательный:p2 − 4q < 0 ⇔ r2 := q −p2> 0.4Это обстоятельство позволяет осуществить следующую замену:()(p )2p2px2 + px + q = x ++ q−:= t2 + r2 , где t = x + .242Получен интеграл∫Jk (t) :=(t2dt, k ∈ N.+ r 2 )kПри k = 1 это девятый табличный интеграл. Для k > 2 выведем рекуррентнуюформулу.

Интегрируя Jk по частям, получаем∫tt2 dtJk (t) = 2+2k=(t + r2 )k(t2 + r2 )k+1∫∫t(t2 + r2 )dtdt2= 2+ 2k− 2kr=(t + r2 )k(t2 + r2 )k+1(t2 + r2 )k+1=(t2t+ 2kJk − 2r2 kJk+1 .+ r 2 )kПоэтомуJk+1 (t) =12r2 k((2k − 1)Jk (t) +t2(t + r2 )k).16.5. Основные приемы интегрирования иррациональных и тригоP (x1 ,...,xn )нометрических выражений. Выражение R(x1 , ..., xn ) = Q(x, где P и1 ,...,xn )Q есть линейные комбинации одночленов вида xk11 ·...·xknn (ki ∈ N0 ), называютрациональной функцией. При n = 1 получается рациональная дробь. Если вместо переменных xi подставлять функции от переменной x, содержащиекорни, то получаются иррациональные выражения.

Некоторые из них удаетсяпроинтегрировать в явном виде.1) Интеграл вида∫R(x1/n ) dx, где n ∈ N,(16.5)сводится к интегралу от рациональной дроби подстановкой t = x1/n :∫∫R(x1/n ) dx = n R(t)tn−1 dt.2) Интеграл∫(R x,(ax + bcx + d)1/n )dx, где n ∈ N,(16.6)ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР159сводится к интегралу вида (16.5) подстановкой u = ax+bcx+d . Следовательно, еще1/nодна подстановка t = uсводит данный интеграл к интегралу от рациональной дроби.3) Рассмотрим интеграл вида∫√R(x, ax2 + bx + c) dx.(16.7)Если подкоренная квадратичная функция имеет вещественные корни x1 , x2 , то√√√x − x12ax + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ) = |x − x2 | a.x − x2Следовательно, интеграл (16.7) является интегралом вида (16.6).Если же подкоренная квадратичная функция не имеет вещественных корней, то заведомо a > 0. В этом случае применяют подстановку Эйлера√√ax2 + bx + c = ± ax + t ⇒ x =t2 − c√ ,b ∓ 2 atкоторая сводит интеграл (16.7) к интегралу от рациональной дроби.Замечание.

Оригинальность подстановки Эйлера в том, что после возведения в квадрат исходного равенства исчезает x2 .4) Дифференциал вида xs (axq + b)p dx, где s, q, p – рациональные числа, называют дифференциальным биномом. Согласно теореме Пафнутия Львовича Чебышёва (1821-1894) интеграл∫xs (axq + b)p dx(16.8)от дифференциального бинома выражается через элементарные функции только в трех случаях.Случай 1. p ∈ Z. Пусть n – общий знаменатель дробей s и q. Интеграл(16.8) имеет вид (16.5) и подстановка t = x1/n приводит его к интегралу отрациональной дроби.q1/mСлучай 2.

s+1, где m естьq ∈ Z. В этом случае подстановка t = (ax + b)знаменатель дроби p, приводит интеграл (16.8) к интегралу от рациональнойдроби.Задача. Осуществите указанную подстановку и убедитесь, что все показатели степени переменной t становятся целыми числами.−q 1/mСлучай 3. s+1), где mq + p ∈ Z. В этом случае подстановка t = (a + bx– знаменатель дроби p, приводит интеграл (16.8) к интегралу от рациональнойдроби.√5) Чтобы избавиться от иррациональности вида a2 − x2 применяют подстановку x = a sin t или x = a cos t.√6) Чтобы избавиться от иррациональности вида a2 + x2 применяют подстановку x = a sinh t (выше мы применили ее к формуле 12(+)).Для интегрирования тригонометрических и гиперболических выражений применяют следующие подстановки.160Я. М.

ДЫМАРСКИЙ1) Универсальная тригонометрическая подстановка t = tg(x/2) сводит интеграл∫R(sin x, cos x)dx(16.9)к интегралу от рациональной дроби.Универсальная тригонометрическая подстановка часто приводит к громоздким вычислениям.2) Если функция R(sin x, cos x) имеет период π, то в интеграле (16.9) следуетиспользовать подстановку t = tg x.3) В интегралах∫∫∫∫R(cos x) sin xdx = − R(cos x)d(cos x),R(sin x) cos xdx = − R(sin x)d(sin x)применяются подстановки t = cos x и t = sin x соответственно.4) Универсальнаягиперболическая подстановка t = th(x/2) сводит∫интеграл R(sinh x, cosh x)dx к интегралу от рациональной дроби..