Лекции Дымарский 1 семестр

УДК 517(075)Я. М. ДымарскийЛекции по математическому анализу, первый семестр§ 0. Вспомогательный материалЗдесь мы напоминаем те понятия и стандартные обозначения, которые систематически применяются в курсе математического анализа.0.1. Множества. Понятия множества и его элементов являются исходными, поэтому мы ограничимся наивным представлением о них. Множество —это набор (совокупность, собрание) каких-либо объектов, которые называютсяэлементами этого множества.

Каждый элемент x множества X ему принадлежит. Отношение принадлежности обозначают x ∈ X, а отсутствие принадлежности x ̸∈ X.Элементы множества либо прямо указывают (например, так всегда можносделать, если их количество конечно), либо выделяют среди других объектових характеристическим свойством, т.е.

таким свойством, которым обладает каждый элемент данного множества, и не обладает ни один из объектов, множеству не принадлежащий. Запись x = y означает, что разные буквыобозначают один и тот же элемент, x ̸= y означает, что указанные элементыразличные.Пример характеристического свойства: окружность радиуса R с центромв точке A это множество всех точек плоскости, которые удалены от центра нарасстояние R.Избегая парадоксов теории множеств, мы считаем, что выполнен принцип определенности: для заданного множества и любого объекта можноопределить, принадлежит ли этот объект множеству (т.е.

является егоэлементом) или не принадлежит.Пустое множество, обозначаемое символом ∅, это множество, не содержащее ни одного элемента.Мы применяем следующие отношения между множествами:1. Множество Y содержится во множестве X, если каждый элемент, принадлежащий Y , принадлежит X; обозначение: Y ⊂ X. Множество Yмы называем подмножеством множества X.2.

Множества X и Y совпадают (равны), если каждый элемент множества X является элементом множества Y и наоборот; обозначение:X =Y.Над множествами определены следующие операции:1. объединение, обозначается как X ∪ Y — множество, содержащее всеэлементы из X и Y ;c⃝Я. М. Дымарский,20182Я. М. ДЫМАРСКИЙ2. разность X \ Y — множество элементов X, не входящих в Y ;3. если Y ⊂ X, то разность X \ Y называют дополнением к Y в X иобозначают YXC или просто Y C (от англ. complement);4. пересечение X ∩ Y — множество из элементов, содержащихся как в X,так и в Y ;5.

прямое (декартово) произведение множеств X × Y — множествовсех упорядоченных пар элементов из X и Y : X × Y = {(x, y) = x ∈X и y ∈ Y }.Основные свойства операций над множествами: Пусть X, Y ⊂ Z.Тогда:1. дополнение пересечения двух множеств есть объединение дополненийCCкаждого из них: (X ∩ Y )CZ = XZ ∪ YZ ;2. дополнение объединения двух множеств есть пересечение дополненийCCкаждого из них: (X ∪ Y )CZ = XZ ∩ YZ .Задача. Докажите сформулированные свойства и сформулируйте их дляпроизвольной конечной совокупности множеств X1 , ..., Xn ⊂ Z.Отношение на множестве X (точнее, бинарное отношение) мы задаем спомощью подмножества R ⊂ X ×X декартова квадрата.

Факт связи элементовx1 , x2 ∈ X бинарным отношением R обычно обозначают x1 Rx2 .Примеры: 1) X = R – множество всех действительных чисел, отношениестрогого порядка x1 < x2 ; 2) X = R, фиксированное число ε > 0 порождает отношение ε-близости: |x1 −x2 | < ε; 3) X – множество всех прямых на плоскости,отношение параллельности l1 ||l2 .Нас обычно интересуют следующие свойства отношения:1.

рефлексивность: для любого элемента x ∈ X верно xRx;2. симметричность: если x1 Rx2 , то x2 Rx1 ;3. транзитивность: если x1 Rx2 и x2 Rx3 , то x1 Rx3 .Примеры: 1) отношение строго порядка нерефлексивно, несимметрично,но транзитивно; 2) отношение ε-близости рефлексивно, симметрично, но в общем случае нетранзитивно; 3) отношение параллельности и рефлексивно, исимметрично, и транзитивно.Отношение, обладающее указанными тремя свойствами называется отношением эквивалентности. Отношение эквивалентности R разбивает всемножество X на попарно непересекающиеся подмножества (классы эквивалентности) по правилу: два элемента x1 и x2 принадлежат одному классув том и только том случае, когда x1 Rx2 .Задача.

Докажите: если два класса имеют непустое пересечение, то онисовпадают.0.2. Отображения. Пусть заданы множества X и Y . Если каждому элементу x ∈ X сопоставлен единственный элемент y ∈ Y , то говорят, что определено отображение (функция, оператор) f : X → Y , действующее из X вY.Множество X называется областью определения отображения и обозначается Def (f ) или D(f ) (от англ. definition);ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР3множество Y называется областью значений отображения;множество всех элементов y ∈ Y , для каждого из которых существует такойx ∈ X, что y = f (x), называется образом отображения и обозначается Im(f )(от англ. image); в силу определения, Im(f ) ⊂ Y ;f — это правило (закон), по которому осуществляется сопоставление элементов.Среди всех отображений особый интерес представляют следующие:1.

инъективное отображение (инъекция, отображение в Y ) разные элементы отображает в разные: если x1 ̸= x2 , то f (x1 ) ̸= f (x2 );2. сюръективное отображение (сюръекция, отображение на Y ) имеетсвоим образом все множество Y : для каждого y ∈ Y существует такойx ∈ X, что y = f (x), т.е. Im(f ) = Y ;3.

биективное отображение (биекция, взаимно однозначное соответствие) является одновременно и инъективным и сюръективным: длякаждого y ∈ Y существует такой единственный x ∈ X, что y = f (x).Примеры. 1) X – множество игроков футбольной команды, Y = N – множество натуральных чисел, инъекция f сопоставляет каждому игроку его номер,изображенный на футболке. 2) X – множество отрезков, принадлежащих данной прямой (точка прямой понимается как вырожденный отрезок), Y = R+0– множество неотрицательных чисел, сюръекция f сопоставляет каждому отрезку его длину. 3) X, Y – множества игроков шахматных команд двух стран;биекция f сопоставляет каждому игроку команды X единственного игрока команды Y , с которым он будет сражаться.Если задано отображение f : X → Y и Z ⊂ X, то отображение g : Z → Y ,которое совпадает с f на Z, называется сужением (ограничением) отображения f на Z и обозначается f |Z .Графиком отображения f : X → Y называется подмножество прямогопроизведения X × Y , определяемое так: Gr(f ) = {(x, y) ∈ X × Y : y = f (x)}.Примеры.

Пусть X = Y = R – множество действительных чисел. Графиком линейной функции y = kx является прямая, графиком квадратичнойфункции y = x2 – парабола.0.3. Числа. Числа 1, 2, ... мы называем натуральными; их множествообозначают N. На множестве N определены операции сложения и умножения. Объединяя множество натуральных чисел с одноэлементным множеством, содержащим число ноль, получаем множество N0 := {0} ∪ N. Числа0, 1, −1, 2, −2, ... называются целыми; их множество обозначают Z. На Z добавляется операция вычитания. Упорядоченные пары (p, q), где p ∈ N0 , а q ∈ N,называют рациональными числами; их множество обозначают Q. Традиционно рациональное число обозначают в виде дроби p/q. На Q добавляется ещеодна операция – деление.

Основные свойства названных арифметическихопераций известны из школьного курса.Множество R действительных чисел является в курсе математического анализа основным. Ему посвящен специальный первый параграф.4Я. М. ДЫМАРСКИЙЗамечание. Применяя прямое произведение множеств, арифметическиеоперации можно интерпретировать как отображения. Например, сложение целых чисел является сюръекцией f : Z × Z → Z, которую принято обозначатьтак: f (x, y) = x + y.Задача. Докажите, что сложение на множестве натуральных чисел не является ни сюръекцией, ни инъекцией.Множество Q упорядочено, т.е.

для произвольных чисел x, y ∈ Q установлено отношение x 6 y или y 6 x (x не превосходит y или y не превосходитx).Свойства упорядоченности:1. рефлексивность: x 6 x – любой элемент не превосходит сам себя;2. антисимметричность: если x 6 y и y 6 x, то x = y;3. транзитивность: если x 6 y и y 6 z, то x 6 z.Замечание 1. Удобно, наряду с отношением “не превосходит”, использоватьсимметричное отношение не меньше, которое обозначают x > y и определяюттак: x > y тогда и только тогда, когда y 6 x.Замечание 2. Если заведомо x ̸= y, то определены отношения строгогопорядка x < y (x меньше y) и x > y (x больше y). Отношения строгогопорядка обладают только свойством транзитивности.0.4. Элементы комбинаторики.

Пусть дано множество, содержащее nэлементов. Каждое его упорядоченное подмножество, состоящее из k элементов, называется размещением из n по k.Пример. Из трех букв A, B, C можно образовать 6 размещений по двебуквы: (A, B), (A, C), (B, C), (B, A), (C, A), (C, B).Количество размещений из n по k обозначается Akn и вычисляется по формулеAkn = n(n − 1)(n − 2)...(n − (k − 1)) =1 · 2 · ... · nn!=.1 · 2 · ...

· (n − k)(n − k)!(Обозначение n! = 1 · 2 · ... · n читается n факториал).Задача. Докажите формулу количества размещений.Размещения из n по n называются перестановками. Количество перестановок из n элементов обозначается Pn и вычисляется по формуле Pn = n! .Задача. Выпишите все перестановки из 1) трех различных букв, 2) трехбукв, из которых две совпадают.Пусть дано множество, содержащее n элементов. Каждое его (НЕупорядоченное!) подмножество, состоящее из k элементов, называется сочетаниемиз n по k.Пример.

Из трех букв A, B, C можно образовать 3 сочетания по две буквы:(A, B), (A, C), (B, C).Количество сочетаний из n по k обозначается Cnk и вычисляется по формулеCnk =n!n(n − 1)(n − 2)...(n − (k − 1))=.k!k!(n − k)!Задача. Докажите формулу количества сочетаний.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР5Среди многочисленных комбинаторных равенств отметим только два основных свойства сочетаний:k+1Cnk = Cnn−k , Cn+1= Cnk+1 + Cnk .Задача. Докажите сформулированные свойства.0.5.

Суммы. В математическом анализе постоянно исследуются суммыпроизвольного конечного количества слагаемых. Принято обозначениеn∑ak = a1 + ... + an .k=1Упростить сумму до одного или двух слагаемых удается в редчайших случаях.Примеры упрощения сумм. 1) Сумма n первых членов арифметическойпрогрессии ak = a1 + d(k − 1) вычисляется по формулеSn =a1 + an2a1 + d(n − 1)·n=· n.222) Сумма n первых членов геометрической прогрессии bk = b1 q k−1 (приусловии b1 , q ̸= 0) вычисляется по формулеSn =b1 − bn q1 − qn= b1, если q ̸= 1.1−q1−q3) Пусть заданы n чисел ak , где k = 1, ..., n.