Лекции Дымарский 1 семестр, страница 8

Пример 1. Последовательность an = (−1)n имеет два частичных предела±1.Замечание. На частичные пределы нельзя огульно переносить утверждения, относящиеся к пределам. Например, если число a – ЧП последовательности {an }, число b – ЧП последовательности {bn }, то a+b вообще-то НЕ являетсяЧП последовательности {an + bn }. (Приведите пример!)Связь между понятием предела и ЧП описываетЛемма 3.1. Предел последовательности является ее ЧП, но в общем случае не наоборот.Доказательство.

Утверждение в одну сторону очевидно – в качестве подпоследовательности надо взять саму последовательность. В другую сторону –достаточно привести контрпример (приведите!). Ниже связь между пределом и ЧП будет уточнена.Лемма 3.2. (геометрический критерий ЧП) Точка a является ЧП тогдаи т.т., когда в любой ее окрестности содержатся значения бесконечного количества элементов последовательности.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР33Замечание. В отличие от понятия предела, для ЧП мы не утверждаем, чтовне его окрестности находятся значения конечного количества элементов.Доказательство. (⇒) Пусть ЧП a является пределом подпоследовательности {bk }.

Тогда для него справедлив первый геометрический критерий предела(лемма 2.2) для подпоследовательности. Получаем, что в любой окрестноститочки a содержатся значения “почти всех” элементов подпоследовательности.Значит, в любой окрестности содержатся значения бесконечного количестваэлементов подпоследовательности.

Но – автоматически – каждый элемент bkподпоследовательности является элементом ank = bk последовательности.(⇐) Возьмем последовательность ε-окрестностей точки a, для которых ε =ε(k) → 0 при k → ∞. В каждой окрестности будем выбирать значения новогоэлемента последовательности с номером большим предыдущего, что возможно в силу условия теоремы.

Это и будет подпоследовательность, сходящаяся кa. Определение 3.3. Предельным множеством последовательности называется множество всех частичных пределов этой последовательности. Обозначим предельное множество через L.Пример 2 последовательности, частичные пределы которой заполняют расширенную прямую. Пронумеруем множество рациональных чисел. Получимпоследовательность. Поскольку множество Q плотно в R, не трудно доказать,что множество L = R.Задача.

Завершите доказательство.Определение 3.4. Верхним и нижним пределами называют lim an :=sup L, lim an := inf L соответственно. В примере 1 нижний предел равен -1, верхний +1. В примере 2 нижний предел −∞, верхний +∞. Заметим, что верхний и нижний пределы не определеныкак частичные пределы. Однако оказывается, чтоЛемма 3.3. (условная о верхнем и нижнем пределах) Если множество Lне пусто, то верхний и нижний пределы являются частичными пределами.Замечание. Ниже будет доказано, что множество L не пусто.Доказательство Покажем, что верхний предел сам по себе является ЧП.Пусть – от противного – это не так.

Тогда, по определению супремума, существует такая возрастающая последовательность чисел l(k) ∈ L, сходящаясяк lim an , что |lim an − l(k) | < 1/10k . Каждое число l(k) само по себе является(k)пределом некоторой подпоследовательности: bi = an(k) → l(k) при i → ∞.iПоэтому по εk = 1/10k найдется такой номер N = N (k), что для всех номеров34Я. М. ДЫМАРСКИЙ(k)i > N (k) справедливо неравенство |l(k) − bi | < 1/10k ; см.

таблицу:an(1)an(1)...an(2)1...an(k)1...an(2)2...an(k)2......12an(1)...→l(1)an(2)N (2)...an(k)N (k)......→...→...l(2)...l(k)...↓lim anN (1)..................Теперь будем строить подпоследовательность, сходящуюся к верхнему ЧП. Ее(1)первый элемент c1 := bN (1) = an(1) . Для построения второго элемента возьN (1)(2)мем подпоследовательность bi(1)(2)= an(2) и в ней элемент bN (2) = an(2) .

Затемi(2)N (2)(1)(2)сравним номера nN (1) и nN (2) . Если nN (1) > nN (2) , то возьмем такой номер(1)(2)i(2) > N (2), чтобы nN (1) < ni(2) (это возможно в силу определения подпоследовательности!). Положим второй элемент c2 := an(2) . На k-том шаге мыi(2)(k)сначала берем элемент bN (k) = an(k) , а затем (при необходимости) выбираемN (k)такое i(k), что i(k) > N (k), и полагаем ck := an(k) .

По построению, последоваi(k)тельность {ck } является подпоследовательностью последовательности {an } идля нее (из неравенства треугольника) выполняется оценка |lim an −ck | < 2/10k .Т.е. верхний предел оказался ЧП 3.2. Принцип вложенных отрезков. является эквивалентом теоремы осуществовании супремума и еще раз демонстрирует, что на числовой прямойR “дырок” нет. Он применяется при доказательстве существования предела.Определение 3.5. Последовательность отрезков {[an , bn ]} называется вложенной, если ∀n ∈ N : [an+1 , bn+1 ] ⊂ [an , bn ].Последовательность вложенных отрезков {[an , bn ]} называется стягивающейся, если bn − an → 0 при n → ∞. Обозначим множества левых и правых концов всех отрезков через A :={a1 , a2 , ...} и B := {b1 , b2 , ...} соответственно.Теорема 3.1. (Г.

Кантор) Справедливо:1. Пересечение последовательности вложенных отрезков не пусто:∞∩[an , bn ] = [sup A, inf B] ̸= ∅n=12. Пересечение стягивающейся последовательности вложенных отрезков имеет единственную общую точкуc = lim an = sup A = lim bn = inf B.n→∞n→∞ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР35Доказательство. Поскольку для любых k, n ∈ N (для определенности k <n) справедлива цепочка неравенствa1 6 ... 6 ak 6 ... 6 an 6 bn 6 ... 6 bk 6 ... 6 b1 ,то ak 6 an 6 bn 6 bk . Т.е.

любое число из A не больше любого числа из B. Всилу теоремы 1.5 существуют конечные sup A = c′ и inf B = c′′ , причем ∀n ∈ Nсправедливо: an 6 c′ 6 c′′ 6 bn . Значит, ∀n ∈ N отрезок [c′ , c′′ ] ⊂ [an , bn ]. Болеетого, других общих для всех отрезков [an , bn ] точек нет. Пусть – от противного– есть общая точка ec < c′ , тогда (в силу определения супремума) найдетсяan > ec.

Значит, точка ec не принадлежит отрезку [an , bn ].Если же последовательность вложенных отрезков стягивающаяся, то имеетместо совпадение: c := c′ = c′′ (иначе не выполнится условие стягиваемости) иэта точка единственная общая для вложенных отрезков, т.к. других общихточек нет (см. выше).Остается разобраться с пределами. Из теоремы 2.8 Вейерштрасса о монотонной ограниченной последовательности следует, что lim an = sup A = c =inf B = lim bn .

Замечание. Для системы вложенных интервалов теорема НЕ верна!Контрпример: ∩∞n=1 (0, 1/n) = ∅.3.3. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Наличие предела – изысканноесвойство последовательности. Оказывается, наличие ЧП – обязательное свойство последовательности.Теорема 3.2. (Бернард Больцано (1781-1848)-Вейерштрасс) Ограниченнаяпоследовательность имеет по крайней мере один ЧП. Другими словами, предельное множество L ̸= ∅.Доказательство осуществим методом половинного деления (дихотомия).1) В силу ограниченности существует отрезок, целиком содержащий значения последовательности: [a0 , b0 ] ⊃ {xn }.2) Представляем отрезок в виде объединения двух “подотрезков”: [a0 , b0 ] =[a0 , (a0 +b0 )/2]∪[(a0 +b0 )/2, b0 ]; затем выделяем подотрезок, содержащий значения бесконечного количества точек последовательности (хотя бы один из двухполученных подотрезков обладает этим свойством).3) Выделенный подотрезок называем [a1 , b1 ] ⊂ [a0 , b0 ] и опять применяемдихотомию с выделением подотрезка, содержащего значения бесконечного количества точек последовательности.4) И т.д.

В результате получаем последовательность стягивающихся вложенных отрезков[a0 , b0 ] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ . . . ⊃ [ak , bk ] ⊃ . . . , где |bk − ak | =|b0 − a0 |→ 0,k→∞2kкаждый из которых содержит значения бесконечного количества элементовпоследовательности.5) Применяя теорему 3.1 Кантора о стягивающихся вложенных отрезках, получаем точку x0 , каждая окрестность которой содержит значения бесконечного36Я. М.

ДЫМАРСКИЙколичества элементов последовательности. Согласно геометрическому критерию (лемма 3.2) точка x0 является ЧП. Теорема 3.3. (критерий сходимости в терминах ЧП) Ограниченная последовательность является сходящейся тогда и т.т., когда у нее имеетсяединственный ЧП.Замечание. Условие теоремы “у подпоследовательности имеется единственный ЧП” надо понимать таким образом: все сходящиеся подпоследовательности сходятся к одному и тому же числу.Доказательство. (⇒) Если последовательность сходится к числу a, то, всилу определения, любая ее подпоследовательность тоже сходится, причем ктому же самому числу a.(⇐): Допустим противное, т.е.

последовательность имеет единственный частичный предел a, который не является пределом. Тогда, согласно геометрическому критерию существования предела (лемма 2.2), существует окрестностьточки a, вне которой находятся значения бесконечного количества элементовпоследовательности. Рассмотрим подпоследовательность, образованную этимиэлементами. Из теоремы 3.2 Больцано-Вейерштрасса следует, что построеннаяподпоследовательность имеет частичный предел. Он не совпадает с a. Противоречие. Теперь мы можем сформулировать окончательный результат о сходимостии частичных пределах.Теорема 3.4. Справедливо:1. Ограниченная последовательность имеет конечные верхний и нижнийпределы.2.

Ограниченная последовательность сходится тогда и т.т., когда верхний и нижний пределы совпадают.Доказательство Из теоремы 3.2 Больцано-Вейерштрасса следует, что множество частичных пределов не является пустым. Откуда вытекает первоеутверждение. Второе утверждение следует из теоремы 3.3 и первого пунктатеоремы 3.4. Замечание. Для неограниченных (неограниченных сверху или снизу) последовательностей теоремы 3.2-3.4 остаются справедливыми, но формулировать их надо в R. При этом для неограниченной сверху (снизу) последовательности верхний (нижний) предел равен +∞ (−∞).Задача.

Самостоятельно сформулируйте и докажите аналоги теорем 3.2-3.4для неограниченных последовательностей.3.4. Критерий Коши. В отличие от аналитического критерия сходимости(лемма 2.1), геометрических критериев (леммы 2.2 и 2.3) и критериев сходимости в терминах частичных пределов (теоремы 3.3 и 3.4), критерий Коши НЕиспользует сам предел.Определение 3.6. Последовательность {an } называется фундаментальной, если∀ε > 0 ∃N ∈ N : ∀n > N ∀p ∈ N ,→ |an − an+p | < ε. ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР37Замечание. Понятие фундаментальности оценивает близость элементовпоследовательности друг к другу, а не к пределу.