Лекции Дымарский 1 семестр, страница 3

выделенное взаимно-однозначное соответствие.Доказательство. (⇒) Дана периодическая ДД x = 0, (a1 . . . ap ) (для простоты вычислений мы взяли чисто периодическую дробь, т.е. период начинается после запятой). Применим к ней формальное умножение на 10p :10p · 0, (a1 . . . ap ) = a1 . . . ap + 0, (a1 . . . ap ) ⇒ 10p · x = a1 . . . ap + x ⇒x=a1 . . . a p,10p − 1(1.1)где a1 . . . ap = ap + 10ap−1 + ... + 10p−1 a1 . Мы получили обыкновенную дробь.Значит, определено отображение φ : P → Q.(⇐) Дана дробь ±r/q (r, q ∈ N).

Пусть среди делителей числа q имеютсяотличные от 2 и 5 (иначе см. лемму 1.1). Делим числитель r на знаменательq “уголком”. Так как остаток меньше делителя, то не более, чем через q − 1шагов, остаток впервые повторится – и начнется второе повторение периода.И т.д. Значит, определено отображение ψ : Q → P .Покажем, что предложенные отображения взаимно обратны. С этой цельюосуществим деление уголком обыкновенной дроби (1.1):pz }| {a1 . . . a pa1 .

. . ap 99..9 +11 ==·= 0, a1 . . . ap 1+pp10 − 11099...999...9| {z }| {z }pppz }| {0, a1 . . . ap 99..9 +10, a1 . . . ap +·=10p99...9| {z }ppz }| {0, a1 . . . ap a1 . . . ap + 0, 00...0 a1 . . . ap ·1= ...99...9| {z }pМы получили исходную периодическую дробь. Значит, ψ = φ−1 . Замечание. Деление уголком никогда не даст 9 в периоде. Рассмотрим(для простоты) чисто периодическую дробь x = 0, (9).

Тогда в формуле (1.1)p = 1 и x = 9/9 = 1/1 = 1, (0). Но, деля уголком, получаем 1/1 = 1, (0), а не0, (9). По этой причине мы не рассматриваем периодические ДД с девяткой впериоде.Теперь мы можем дать основноеОпределение 1.3. Действительным числом (ДЧ) будем называть бесконечную десятичную дробь ±a0 , a1 .

. . an . . . . Если дробь непериодическая,то число назовем иррациональным. Множество действительных чисел R =Q ∪ J, где J – множество иррациональных чисел. ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР11Примеры иррациональных чисел: 1) 0, 1010010001...1 0...0|{z} 1... – это непери-k√одическая ДД; 2) 2; 3) π; 4) число e (определение дано ниже). Примеры2-4, безусловно, нужно обосновывать.Замечание. Определить (задать) ДЧ означает: 1) определить его знак, 2)определить число a0 ∈ N0 , 3) определить все десятичные знаки ak (k ∈ N) послезапятой. Возникает вопрос: что значит “определить бесконечное множестводесятичных знаков?” Для нас это означает, что мы можем найти любой знак(но не все знаки одновременно!) после конечного количества арифметическихопераций с рациональными числами.1.4. Порядок на R. На множестве R существует порядок преемственныйпорядку по возрастанию на Q.Определение 1.4.

Модулем неотрицательного ДЧ назовем само число; модулем отрицательного числа −a0 , a1 . . . an . . . назовем число a0 , a1 . . . an . . . . Определение 1.5. (равенство и порядок ДЧ). Положим, что:1. два вещественных числа равны, если их десятичные записи совпадают;2. любое неотрицательное действительное число больше любого отрицательного: a0 , a1 .

. . an . . . > −b0 , b1 . . . bn . . . ;3. из двух разных неотрицательных чисел больше то, у которого большепервая цифра в записи при чтении слева направо;4. из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.Если a больше b, то – по определению – b меньше a. Обозначения остаются прежними: a > b означает, что a больше b, b < aозначает, что b меньше a; a > b означает, что a больше или равно b, b 6 aозначает, что b меньше или равно aТеорема 1.1. Отношение порядка обладает свойствами:1.

Из двух разных ДЧ одно больше другого (автоматически второе меньше первого).2. Транзитивность: если a < b, b < c, то a < c.3. Плотность множества рациональных чисел: между двумя ДЧa < b найдется рациональное число r ∈ Q : a < r < b.Задача 1. Докажите пп. 1 и 2 теоремы 1.1.Задача 2. Докажите: если a 6 b, b 6 c, то a 6 c.

Сформулируйте идокажите аналогичное свойство, если a 6 b, b < c.Доказательство п. 3 для двух неотрицательных чисел. Пусть0 6 a0 , a1 . . . an−1 an . . . < a0 , a1 . . . an−1 bn . . . ⇔ an < bn .|{z}|{z}После цифры an обязательно появится цифра отличная от 9 (иначе все девятки). Эту цифру увеличим на единицу, а остальные цифры правее заменимнулями – это будет искомое рациональное число. 12Я. М. ДЫМАРСКИЙСледствие 1.1. Между двумя ДЧ имеется любое конечное количество рациональных чисел:∀a, b ∈ R (a < b) ∀k ∈ N ∃r1 , .

. . , rk ∈ Q : a < r1 < . . . < rk < b.Следствие 1.2. (плотность множества иррациональных чисел). Междудвумя ДЧ a < b найдется иррациональное s ∈ J : a < s < b.Доказательство можно осуществить с помощью п. 3 теоремы 1.1 и примера1) иррационального числа.Обычно у нас нет полной записи в виде ДД для иррационального числа.Поэтому полезнаТеорема 1.2. (о совпадении ДЧ) Если для вещественных чисел c1 , c2 су∞ществуют две последовательности рациональных чисел {an }∞n=1 , {bn }n=1 ,nдля которых an 6 c1 6 c2 6 bn и bn − an 6 1/10 , то c1 = c2 .Доказательство от противного.

Тогда между c1 и c2 найдутся два разныхрациональных числа, для которых r2 − r1 > 1/10m , где m – некоторое натуральное число. По свойству транзитивности an < r1 < r2 < bn . Возьмемn > m и для рациональных чисел (для которых определены арифметическиеоперации!) получим противоречие: 1/10m < r2 − r1 < bn − an 6 1/10n . 1.5. Числовая прямая.

Переходим к геометрической интерпретациимножества R.На прямой l выберем две произвольные точки О и А. Первой поставим всоответствие число 0, второй – число 1. Опираясь на аксиоматику евклидовойгеометрии и данное нами определения ДЧ, можно доказать, что между всемиточками B ∈ l и действительными числами b ∈ R существует единственнаябиекция l ∋ B ↔ b ∈ R, сохраняющая и расстояние (|OB| = |b|), и порядок(D − B − C ⇔ d < b < c). Поэтому удобно ввестиОпределение 1.6. (геометрическая терминология)1. Отрезок [a, b] := {x ∈ R : a 6 x 6 b};2. интервал (a, b) := {x ∈ R : a < x < b};3. полуинтервалы(a, b] := {x ∈ R : a < x 6 b},[a, b) := {x ∈ R : a 6 x < b}. Оказывается, удобно ввести формальные символы +∞, −∞, ∞. С их помощью можно осуществить две разные компактификации числовой прямой(роль введенных символов и смысл понятия “компактификация” будет раскрываться постепенно).Порядок: по определению полагаем, что для любого a ∈ R выполняетсядвусторонняя оценка: −∞ < a < +∞.Расширенная числовая прямая: R := {−∞} ∪ R ∪ {+∞}.Проективная прямая: RP 1 := R ∪ {∞} (основной объект исследования впроективной геометрии, отсюда название).Мы будем работать с полубесконечными интервалами (a, +∞), (−∞, b),с полубесконечными полуинтервалами [a, +∞), (−∞, b] (и те, и другие ещеназывают лучами), и со всей числовой прямой R = (−∞, +∞).ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР13Отрезки, интервалы, полуинтервалы, лучи и всю числовую прямую мы будем называть промежутками и обозначать ⟨a, b⟩.Замечание.

Следствие 1.2 означает, что если пользоваться только рациональными числами, мы получаем евклидову прямую с “дырками”. Вот в чемпричина “отсутствия длины” у гипотенузы равнобедренного прямоугольноготреугольника с единичным катетом!1.6. Верхняя и нижняя грани числового множества. Эти понятияявляются основными для обоснования теории пределов и всего математического анализа. Они обобщают понятия max и min и позволяют доказать, что наR нет “дырок”.Определение 1.7. Подмножество X ⊂ R называется ограниченным сверху (снизу), если ∃C ∈ R : ∀x ∈ X ,→ x 6 C (x > C).

Число C называетсяверхней (нижней) гранью множества X. Подмножество, ограниченное исверху, и снизу называется ограниченным. Определение 1.8. Число M называется точной верхней гранью множества X (supremumX = sup X), если:1) M является верхней гранью X,2) любое число, меньшее M , НЕ является верхней гранью, т.е.∀M ′ < M ∃x ∈ X ,→ x > M ′ . Определение 1.9. точной нижней грани m = inf imumX = inf X:1) m является нижней гранью X,2) ∀m′ > m ∃x ∈ X ,→ x < m′ . Другими словами, sup X – это наименьшая из верхних граней, а inf X – этонаибольшая из нижних граней.Примеры. 1) Рассмотрим множество X := {1, 1/2, ..., 1/n, ...} (n ∈ N).

Тогда sup X = 1, inf X = 0, причем sup X ∈ X, inf X ̸∈ X (докажите!). 2)Рассмотрим множество X = {x ∈ Q : x2 < 2} рациональных чисел, квадраткоторых меньше двух. Множество ограниченное, поскольку ∀x ∈ X ,→ |x| < 2.Но пока мы не можем ответить на вопрос, существуют ли у него точные грани.Теорема 1.3. (о существовании и единственности точных граней) Еслинепустое множество X ограничено сверху (снизу), то существует причемединственный sup X (inf X).Обсуждение. Именно существование супремума и инфимума означает,что с помощью иррациональных чисел на числовой прямой ликвидированы все"дырки".Для доказательство теоремы нам понадобятся следующие утверждения.Предложение 1.1. (Принцип Архимеда) Для любого действительного числа x существует больше его натуральное число n > x.Доказательство.

Если x – неположительное число, то x < 1 по определению. Если же x = a0 , a1 a2 ... > 0, то, опять же по определению порядка,x < a0 + 1 ∈ N. 14Я. М. ДЫМАРСКИЙПредложение 1.2. Пусть число b ∈ X. Определим X>b := {x ∈ X : x >b}. Тогда sup X = sup X>b .Доказательство сразу следует из определения супремума.Нам понадобятся следующие понятия:Определение 1.10. Целой частью [x] действительного числа x называютближайшее к нему целое число слева, т.е.

[x] := max{n ∈ Z : n 6 x}.Дробной частью действительного числа x называют его разность с целойчастью: {x} := x − [x] > 0. Примеры: [2] = 2, [−2] = −2, {2} = {−2} = 0, [2, 1] = 2, [−2, 1] = −3,{2, 1} = 0, 1, {−2, 1} = 0, 9.Задача. Нарисуйте графики функций y = [x] и y = {x} (x ∈ R).Доказательство теоремы 1.3. Сразу отметим, что супремум, если он существует, единственный. Предположив противное, мы получим два числа, изкоторых одно строго больше другого и оба числа являются верхними гранями.Из определения супремума следует, что большее из чисел не является супремумом.Докажем существование супремума. Сначала рассмотрим случай, когдамножество X содержит хотя бы одно неотрицательное число. Из предложения 1.2 следует, что sup X = sup X>0 . Поэтому, без ограничения общности, мыполагаем, что множество X является непустым и содержит только неотрицательные числа.Мы конструктивно определим искомый супремум.0) Из ограниченности сверху множества X, определения порядка и принципаАрхимеда следует, что∀x = a0 , a1 a2 ...