Лекции Дымарский 1 семестр, страница 6

Формулы в элементарных функциях для Sn не существует.3) Рекуррентный способ, т.е. выражение значения n-го элемента последовательности через значения предыдущих элементов.Пример. Пусть a > 0 – фиксированное число. Последовательность заданарекурсивно:{a0 = a, () .an+1 = 12 an + aanНекорректный вопрос: в чем смысл данной последовательности?Дадим основноеОпределение 2.2. Действительное число a = lim an называется пределом последовательности {an }, еслиn→+∞24Я. М. ДЫМАРСКИЙ1) на языке “ε-модуль”: для любого положительного числа ε найдетсятакой номер N , начиная с которого для всех натуральных n > N выполняетсяоценка |a − an | < ε;2) на языке “ε-окрестности”: для любого положительного числа ε найдетсятакой номер N , начиная с которого для всех натуральных n > N значенияэлементов последовательности принадлежат ε-окрестности точки a.Те же определения в логических символах записываются так:1) ∀ε > 0 ∃N = N (ε) ∈ N : ∀n > N ,→ |a − an | < ε;2) ∀ε > 0 ∃N = N (ε) ∈ N : ∀n > N ,→ an ∈ Uε (a).

Обсуждение. Предложенная Коши логическая конструкция “для любого ε. . . для всех достаточно больших n” безупречно формализует наше интуитивное представление о том, что числа an неограниченно приближаются (“стремятся”) к числу a.Обозначения: a = lim an , a = lim an (подразумевая, что N ∋ n → +∞),n→∞an → a при n → ∞, an −−−−→ a.n→∞Замечание 1. Второе определение годится для случаев a = ±∞, ∞.Задача. Сформулируйте утверждение lim an = +∞ (∞) с помощью неравенств.Замечание 2. Изменение или выбрасывание конечного количества элементов последовательности не влияет на существование предела и на значениепредела, если он существует.Замечание 3. Определение 2.2 не является конструктивным: в нем НЕсказано КАК найти предел; сказано только, какому характеризующему егосвойству предел удовлетворяет. Определением 2.2 можно напрямую воспользоваться только для проверки гипотезы “данная точка a является пределом”.В этом случае помогаетЛемма 2.1.

(аналитический критерий существования предела) Пусть последовательность задается формулой an = f (n). Число a ∈ R является пределом последовательности тогда и т.т., когда для любого ε > 0 неравенство|f (n) − a| < ε относительно неизвестного n ∈ N истинно для всех достаточно больших n.Задача. Сформулируйте утверждение леммы 2.1 для случаев a = ±∞ иa = ∞. Докажите лемму.Раскрывают интуитивный смысл понятия предела геометрические критерииего существования.Лемма 2.2. (первый геометрический критерий существования предела)Точка a ∈ R (R, RP 1 ) является пределом последовательности {an } тогда ит.т., когда в любой ее окрестности содержатся значения “почти всех”элементов последовательности, т.е.

всех элементов, кроме конечного ихколичества.Доказательство очевидно.Замечание. Нельзя в утверждении леммы 2.2 переставить слова “значения почти всех элементов” и писать “почти все значения элементов”. Так, уЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР25последовательности an = (−1)n точка a = 1 не является пределом, но в любойее окрестности лежат почти все значения элементов.Из леммы 2.2 следуетТеорема 2.1. (о единственности предела). Если предел числовой последовательности существует, то он единственный.Доказательство. Допустим противное – существует по крайней мере двапредела a ̸= a′ .

Возьмем столь малое ε > 0, чтобы ε-окрестности точек a и a′не пересекались; например, ε = |a−a′ |/3. Тогда, согласно лемме 2.2, значениявсех элементов an , где n > N (ε) обязаны принадлежать одновременно обеимокрестностям – противоречие. Лемма 2.3. (второй геометрический критерий существования предела)Точка a ∈ R является пределом последовательности {an } тогда и т.т., когдав любой горизонтальной полосе с осью симметрии y = a содержатся “почтивсе” точки графика отображения f (n) = an , т.е. все точки графика, кромеконечного их количества (см. рис.

2.1).Рис. 2.1. Геометрические критерии сходимостиЗадача. Сформулируйте этот критерий для случаев a = ±∞, a = ∞.Докажите лемму 2.3.Следует понимать, что наличие предела (конечного или бесконечного) является изысканным свойством последовательности. Если существует конечныйпредел a ∈ R, то последовательность называется сходящейся; иначе уточняют, что последовательность сходится к ±∞ в R или к ∞ в RP 1 .Определение 2.3. Последовательность называется ограниченной (ограниченной сверху, ограниченной снизу), если1) ∃C ∈ R : ∀n ∈ N ,→ |an | 6 C (an 6 C, an > C) ⇔26Я. М. ДЫМАРСКИЙ2) множество ее значений ограничено (ограничено сверху, снизу).

Теорема 2.2. (необходимый признак сходимости) Сходящаяся последовательность ограничена.Доказательство сразу следует из первого геометрического критерия существования предела (лемма 2.2).Обратное неверно.Контрпример: an = (−1)n – ограниченная последовательность, которая неявляется сходящейся.2.2. Переход к пределу в неравенствах. Между отношениями порядка(>, <, >, 6) и понятием предела имеются многочисленные связи.Теорема 2.3.

(о переносе неравенства с пределов на значения элементовпоследовательностей) Пусть существуют пределы lim an = a ∈ R и lim bn =b ∈ R, причем a < b. Тогда существует такой номер N , начиная с которого(т.е. n > N ) выполняется строгое неравенство an < bn .Доказательство. Возьмем непересекающиеся окрестности точек a и b.Из первого геометрического критерия существования предела (лемма 2.2) следует, что для всех достаточно больших номеров значения элементов последовательностей локализуются в окрестностях своих предельных точек.

Теорема 2.4. (о переносе неравенства со значений элементов последовательностей на их пределы) Пусть существуют пределы lim an = a ∈ R иlim bn = b ∈ R, и существует такой номер N , начиная с которого (т.е.n > N ) выполняется строгое (или нестрогое) неравенство an < bn (an 6 bn ).Тогда имеет место нестрогое неравенство a 6 b.Доказательство от противного приводит к противоречию с предыдущейтеоремой 2.3.Следствие 2.1. Пусть существует предел lim an = a ∈ R, и существуеттакой номер N , начиная с которого (n > N ) выполняется an < b (an 6 b).Тогда a 6 b.Замечание. В утверждениях теоремы 2.4 и следствии 2.1 заменять нестрогое неравенство a 6 b на строгое нельзя!Контрпример: an = 0, bn = 1/n.Теорема 2.5.

(о трех последовательностях) Пусть существует такойномер N , начиная с которого (т.е. n > N ) выполняется двустороннее неравенство an < bn < cn (или an 6 bn 6 cn , или другие варианты однотипныхнеравенств). Пусть существуют и совпадают пределы lim an = lim cn = a ∈R. Тогда lim bn = a.Доказательство сразу следует из того, что значения последовательности bnпопадают в ε-окрестность точки a вместе со значениями обрамляющих последовательностей.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР27Запишем подробное доказательство в логических символах:{∀ε > 0 ∃N1 (ε) : ∀n > N1 ,→ an ∈ Uε (a),⇒∀ε > 0 ∃N2 (ε) : ∀n > N2 ,→ cn ∈ Uε (a)∀n > max{N1 , N2 } ,→ bn ∈ Uε (a).

2.3. Бесконечно малые последовательности. Начнем с напоминанияизвестных оценок, связанных с модулем числа.Лемма 2.4. Имеют место утверждения:1. Для любых действительных чисел a и b справедливо: |a + b| 6 |a| + |b|(неравенство вырожденного треугольника).2. Для любых действительных чисел a и b справедливо: ||a| − |b|| 6 |a − b|.Доказательство первого неравенства. В случае a + b > 0 знак модуля слеваможно убрать и воспользоваться очевидными оценками a 6 |a|, b 6 |b|. Вслучае a + b < 0 справедливо:|a + b| = −(a + b) = (−a) + (−b) 6 |(−a)| + |(−b)| = |a| + |b|.Доказательство второго неравенства. Используя неравенство треугольника,получаем|a| − |b| = |(a − b) + b| − |b| 6 |a − b| + |b| − |b| = |a − b|.Аналогично |b| − |a| 6 |b − a| = |a − b|.

Откуда получаем требуемое. Из того, что ноль является нейтральным элементом среди действительныхчисел, вытекает целесообразность исследования последовательностей следующего вида:Определение 2.4. Последовательность называется бесконечно малой(БМП), если она имеет предел равный нулю. Ценность БМП в том, чтоЛемма 2.5. Последовательность {an } имеет конечный предел a ∈ R тогда и т.т., когда последовательность {bn := an − a} является БМП.Задача. Докажите лемму 2.5Теорема 2.6. (о свойствах БМП)1. Если последовательности {an } и {bn } бесконечно малые, то их суммаи разность (как последовательностей!) {cn := an ±bn } являются БМП.2.

Если последовательность {an } бесконечно малая, а последовательность{bn } ограниченная, то произведение последовательностей {cn := an ·bn }является БМП.28Я. М. ДЫМАРСКИЙДоказательство первого утверждения: надо взять подходящее N (ε/2) дляобеих последовательностей и воспользоваться неравенством треугольника.