Лекции Дымарский 1 семестр, страница 7

Влогических символах:{∀ε > 0 ∃N1 (ε/2) : ∀n > N1 ,→ |an | < ε/2,⇒∀ε > 0 ∃N2 (ε/2) : ∀n > N2 ,→ |bn | < ε/2∀n > max{N1 , N2 } ,→ |an ± bn | < ε/2 + ε/2 = ε.Во втором случае существует такое B > 0, что |bn | 6 B. Остается взятьподходящее N (ε/B) для последовательности {an }. Задача. Запишите доказательство п. 2 в логических символах.2.4. Арифметические операции со сходящимися последовательностями. осуществляются поэлементно.Теорема 2.7.

Справедливы утверждения.Если lim an = a ∈ R, lim bn = b ∈ R, то существует lim(an ± bn ) = a ± b.Если lim an = a ∈ R, то существует lim |an | = |a|.Если lim an = a ∈ R, lim bn = b ∈ R, то существует lim(an · bn ) = a · b.Если lim an = a ∈ R, lim bn = b ̸= 0, то существует lim(an /bn ) = a/b.(Из условия данной теоремы и из теоремы 2.3 следует, что для всехдостаточно больших номеров bn ̸= 0.)Обычно говорят: предел суммы (разности, модуля, произведения, частного) равен сумме (разности, модулю, произведению, частному) пределов. Приэтом подразумевают, что исходные пределы существуют.1.2.3.4.Доказательство пункта 1. Т.к. последовательности {an − a} и {bn − b}являются БМП, то (в силу п.

1 теоремы 2.6) бесконечно малой является последовательность {(an − a) + (bn − b)} = {(an + bn ) − (a + b)}.Аналогично с разностью последовательностей.Доказательство пункта 2. Из п. 2. леммы 2.4 следует, что||an | − |a|| 6 |an − a| → 0 при n → ∞.Доказательство пункта 3. Требуется доказать, что последовательность {an ·bn − a · b} является бесконечно малой. Учитывая, что сходящиеся последовательности ограничены (теорема 2.2), имеемan · bn − a · b = an (bn − b) + (an − a)b → 0 при n → ∞.Доказательство пункта 4. Поскольку lim bn = b ̸= 0, то для всех достаточнобольших номеров |bn | > |b|/2.

Поэтому 1/|bn | 6 2/|b|. Получаем an 1a 1a2|a| −−−→ 0. bn − b = bn (an − a) + bn b (b − bn ) 6 bn |an − a| + b2 |bn − b| −n→∞ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР292.5. Бесконечно большие последовательности. (ББП) Так называютпоследовательности, которые имеют пределом ±∞ или ∞.Примеры.

1) n → +∞, 2) −n → −∞, 3) (−1)n n → ∞.Имеет место очевидное утверждение.Лемма 2.6. Бесконечно большая последовательность является неограниченной.Обратное утверждение не является верным.Контрпример: xn = (1 + (−1)n )n.Между ББП и БМП имеется связь.Лемма 2.7. Справедливы утверждения:1. Если последовательность {xn } является ББ, то последовательность{1/xn } является БМ.2. Если последовательность {xn } является БМ и ∀n ∈ N верно xn ̸= 0,то последовательность {1/xn } является ББ.Доказательство. Из определения ББ следует, что 1 ∀ε > 0 ∃N ∈ N : ∀n > N ,→ |xn | > 1/ε ⇒ < ε.xnДоказательство второго утверждения аналогично.

Символы ±∞, ∞ не являются числами, поэтому с ними нельзя выполнятьарифметические действия. Однако некоторые утверждения, справедливые длясходящихся последовательностей, остаются верными для бесконечно большихпоследовательностей. Сформулируем одно из очевидных утверждений.Лемма 2.8. Если lim xn = ±∞, lim an = a ∈ R, то lim(xn + an ) = ±∞.В символической записи (±∞) + a = ±∞.

Имеют место и другие верные равенства. Например, (+∞) + (+∞) = +∞; (+∞) · (+∞) = +∞; если a > 0, тоlim(xn · an ) = (±∞) · a = ±∞.Также имеют место некоторые аналоги предельных переходов в неравенствах.Лемма 2.9. Если lim xn = +∞ (−∞) и yn > xn (yn 6 xn ), то lim yn = +∞(lim yn = −∞).Задача. Докажите хотя бы одно из утверждений лемм 2.8 или 2.9.Трудности представляют так называемые “неопределенности”. Таковыми являются∞ 0∞ · 0,,, (+∞) − (+∞), 1∞ , 00 , ∞0∞ 0(операцию возведения в степень, которая присутствует в трех последних неопределенностях, нам еще предстоит определить).Примеры последовательностей, когда xn → 0, yn → +∞, но их произведение в пределе дают ноль, бесконечность, конечный предел и отсутствиепредела:1) xn = 1/n2 , yn = n, lim xn yn = 0;2) xn = 1/n, yn = n2 , lim xn yn = +∞;30Я.

М. ДЫМАРСКИЙ3) xn = 1/n, yn = n, lim xn yn = 1;n4) xn = (−1)n , yn = n, последовательность xn yn ограниченна, но расходится.Именно умение раскрывать неопределенности является основной технической задачей теории пределов. Здесь важную роль играет шкала роста частоприменяемых последовательностей: логарифмической, степенной, показательной, “факториальной” и “показательно-степенной”. Забегая вперед, выпишемнекоторые предельные соотношения:lnk nnkn!an= lim n = lim= lim n = 0,n→∞ nn→∞ an→∞ n!n→∞ nlimгде k ∈ N, a > 1.2.6. Монотонные последовательности. Продолжаем изучать связи между порядком и пределом.Определение 2.5.

Последовательность называется строго (нестрого) возрастающей, если ∀n ∈ N ,→ an < an+1 (6). Нестрого возрастающую последовательность называют неубывающей. Аналогично определяют строго (нестрого) убывающую (невозрастающую) последовательность. Последовательность называют монотонной, если она неубывающая или невозрастающая.Теорема 2.8. (Карл Вейерштрасс) Если последовательность неубывающая(невозрастающая), то она имеет предел lim an = sup{an } ∈ R (lim an =inf{an } ∈ R).Обсуждение.

Поскольку точные грани всегда существуют, то в случаемонотонности мы имеем гарантированное существование предела. Именно вэтом ценность данного утверждения.Доказательство. Если последовательность ограничена сверху, то ее супремум конечен.

Из второго пункта определения 1.8 супремума следует, что длялюбого ε > 0 найдется элемент aN , для которого sup{an } − ε < aN . В силу неубывания, для всех номеров n > N полученное неравенство выполняется тем более. С другой стороны, an 6 sup{an } для всех номеров. Значит,an ∈ Uε (sup{an }).Если же последовательность не ограничена сверху, то для любого числа Aнайдется такой номер N = N (A), что aN > A. Тогда an > A для всех бóльшихномеров n > N в силу неубывания последовательности.Доказательство для невозрастающей последовательности аналогичное.

Применим теорему Вейерштрасса для получения так называемого числа e,которое лежит в основе математического анализа.Определение 2.6. Для любого действительного числа x и натуральногопоказателя n положим xn := x · ... · x, где произведение содержит n сомножителей. ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР31Лемма 2.10. (Якоб Бернулли, 1655-1705) Для любого x > −1 и любого n ∈N справедливо неравенство:(1 + x)n > 1 + nx.(2.1)Доказательство индукцией по n ∈ N. При n = 1 получаем тождество.Допустив, что неравенство верно для n ∈ N, для следующего натуральногочисла(1+x)n+1 = (1+x)n ·(1+x) > (1+nx)·(1+x) = 1+(n+1)x+nx2 > 1+(n+1)x.

Теорема 2.9. Последовательность xn = (1 + 1/n)n сходится.Доказательство. Рассмотрим вспомогательную последовательность yn =(1 + 1/n)n+1 . Во-первых, она ограничена снизу: yn > 1. Далее, исследуем ее намонотонность. С этой целью рассмотрим отношение значений последовательности:()n ()n+1 ()n+1yn−1nn2n−1n===ynn−1n+1n2 − 1n()n+1()()1n+1 n−11n−1n−11+ 2> 1+ 2= 1+= 1;n −1nn −1nn−1nмы применили неравенство Бернулли (2.1) с x = n21−1 и показателем n + 1.Значит, последовательность yn невозрастающая. Поэтому последовательностьyn сходится как ограниченная снизу и невозрастающая.ynlim ynПоскольку xn = 1+1/n, то lim xn = lim(1+1/n)= lim yn .

Определение 2.7. Числом Леонарда Эйлера (1707—1783) называют e :=lim (1 + 1/n)n . n→∞Замечание. Смысл определения 2.7 – непрекращающееся начисление “сложного” процента с прибылью 100 процентов годовых.Доказано, что e ∈ J. Десятичное приближение к e по недостатку с точностьюдо 10−9 таково: e ≈ 2, 718281828Число e – основная постоянная МА.32Я. М. ДЫМАРСКИЙ§ 3. Частичные пределы, критерий КошиНаличие предела у числовой последовательности является изысканным свойством. Однако, “смягчив” понятие предела, мы получим, что так называемыечастичные пределы всегда существуют. Это обстоятельство широко применяется в МА, функциональном анализе и теории дифференциальных уравнений.3.1. Подпоследовательности и частичные пределы.Определение 3.1.

Пусть {an } – произвольная последовательность действительных чисел. Пусть {nk } – произвольная строго возрастающая последовательность натуральных чисел, занумерованных индексом k. Тогда последовательность bk = ank (k ∈ N) называется подпоследовательностью последовательности {an }. Примеры. 1) Сама последовательность является своей подпоследовательностью. 2) Последовательность bk = 2k − 1 возрастающих нечетных натуральных чисел является подпоследовательностью последовательности an = nнатуральных чисел, где nk = 2k − 1. 3) Последовательность 1, 5, 3, ...

НЕ является подпоследовательностью натуральных чисел (нарушен порядок!). 4)Упорядоченное множество {1, 2, 3} НЕ является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел (оно конечно!).Замечание. Мы не обязаны нумеровать элементы подпоследовательностидругим индексом. Последовательность bn = 2n − 1 также является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел an = n.Определение 3.2. Точка a ∈ R, являющееся пределом некоторой подпоследовательности данной последовательности, называется частичным пределом(ЧП).