Лекции Дымарский 1 семестр, страница 4

∈ X ,→ x 6 C = c0 , c1 c2 ... < c0 + 1 ∈ N.Рассмотрим множество A0 целых частей всех чисел из X. Это множествоне является пустым и оно конечно, поскольку ограничено сверху натуральнымчислом c0 +1, а снизу ограничено нулем. Поэтому в нем существует наибольшийэлемент a0 – это целая часть искомого супремума.1) Теперь рассматриваем непустое подмножество X0 ⊂ X таких чисел, укоторых целая часть равна a0 . Пусть A1 – непустое множество всех первыхдесятичных знаков чисел из X0 .

Это множество конечно (его элементамимогут быть числа 0, 1, ... 9), поэтому существует наибольший элемент a1 – этопервый десятичный знак искомого супремума.2) Теперь рассматриваем непустое подмножество X1 ⊂ X0 ⊂ X таких чисел,у которых первый десятичный знак равен a1 . Обозначим через a2 – наибольшийиз вторых десятичных знаков всех чисел множества X1 ....k) Продолжая таким образом, мы построим последовательность вложенныхподмножеств X ⊃ X0 ⊃ X1 ⊃ X2 ⊃ ...

⊃ Xk ⊃ ... и десятичных знаков ak =max ak (k ∈ N0 ), причемXk = {Xk−1 ∋ x = a0 , a1 ...ak ak+1 ...},ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР15т.е. целая часть числа и десятичные знаки до номера k включительно ужевыбраны и зафиксированы. Процесс определения знаков ak может оказаться конечным, периодическим бесконечным или непериодическим бесконечным.Но в любом случае мы получили десятичную дробь x = a0 , a1 a2 ... . Не исключено, что она окажется периодической с периодом 9. В этом случае мызаменяем ее на конечную, согласно договоренности в определении 1.2.Покажем, что x = sup X. Возьмем произвольное число x = a0 , a1 a2 ...

∈ X.Из определения десятичных знаков числа x следует, что ∀k ∈ N0 : ak 6 ak .Следовательно число x является верхней гранью множества X.Покажем, что это точная верхняя грань. Возьмем произвольное числоea0 , ea1 ea2 ... = xe < x. Если xe < 0, оно меньше любого числа из множества X, которое содержит только неотрицательные числа; значит, это не верхняя грань.Если же 0 6 xe < x, то это означает, что существует номер k, для котороговыполняетсяea0 = a0 , ea1 = a1 , ...

, eak−1 = ak−1 , eak < ak .Но из определения непустого множества Xk следует, что любой его элементx ∈ Xk ⊂ X больше, чем xe. Значит, xe не является верхней гранью для X, иточность верхней грани x доказана.Теперь рассмотрим случай, когда все числа из множества X отрицательны.Тогда любой элемент из X имеет вид x = −a0 , a1 a2 .... Из всех возможныхчисел a0 , которые встречаются в записи чисел x ∈ X, выберем наименьшееea0 (это возможно, поскольку a0 ∈ N0 ). Затем рассмотрим только те элементыx ∈ X, у которых a0 = ea0 . Из всех десятичных знаков a1 отобранных элементоввыберем наименьший ea1 .

Затем рассмотрим только те элементы x ∈ X, укоторых a0 = ea 0 , a1 = ea1 , и из их десятичных знаков a2 выберем наименьшийea2 . И т.д. В результате определим ДЧ xe := −ea0 , ea1 ea2 ... Это и есть искомыйсупремум, что доказывается аналогично первому случаю. Теорему о супремуме и инфимуме можно переформулировать так:Теорема 1.4. Множество всех верхних граней ограниченного сверху множества X содержит единственный наименьший элемент – это sup X.Множество всех нижних граней ограниченного снизу множества X содержит единственный наибольший элемент – это inf X.Замечание о max и min.

По определению max X – это такое число, чтоmax X ∈ X ∧ ∀x ∈ X ,→ x 6 max X.Если sup X ∈ X, то max X = sup X, иначе max X отсутствует. Для ограниченного сверху множества X преимущество понятия sup X по сравнению спонятием max X в том, что первое существует всегда, а второе может не существовать. (Этот вывод играет важную роль в теории экстремумов!) Обозначимчерез U (X) непустое множество всех верхних граней ограниченного сверху множества X. Теоремы 1.3 и 1.4 утверждают, что всегда существует единственныйmin U (X) = sup X.Задача.

Сформулируйте аналогичные утверждения для понятий inf X иmin X.16Я. М. ДЫМАРСКИЙЧасто приходится иметь дело с двумя такими числовыми множествами, чтокаждый элемент первого множества не больше каждого элемента второго. Вэтом случае справедливаТеорема 1.5. Пусть X, Y ⊂ R – непустые множества. Причем ∀x ∈ X и∀y ∈ Y справедливо x 6 y.

Тогда существуют sup X, inf Y , причем∀x ∈ X ∀y ∈ Y ,→ x 6 sup X 6 inf Y 6 y.Доказательство. Существование супремума и инфимума следует из непустоты данных множеств и того обстоятельства, что каждый элемент y ∈ Yявляется верхней гранью для X, а каждый элемент x ∈ X является нижнейгранью для Y . Оценки x 6 sup X и inf Y 6 y следуют из определений супремума и инфимума. Остается доказать внутреннее неравенство.

Поскольку(теорема 1.4) sup X есть наименьшая из верхних граней, то ∀y ∈ Y справедливо: sup X 6 y. Из полученного неравенства следует, что sup X есть одна изнижних граней множества Y . Поскольку (теорема 1.4) inf Y есть наибольшаяиз нижних граней, то sup X 6 inf Y .

Оказалось, что для неограниченного числового множества также можно ввести понятия точных граней с помощью символов ±∞.Определение 1.11. Для неограниченного сверху множества X положим поопределению sup X = +∞, а для неограниченного снизу множества X положимinf X = −∞. Теперь теорема 1.3 о супремуме и инфимуме справедлива для произвольногомножества.1.7. Арифметические операции с действительными числами. Чтобы определить операции с произвольными ДЧ, мы воспользуемся операциямис рациональными числами, точными гранями и теоремой 1.2 о совпадении ДЧ.Пусть α, β – произвольные ДЧ. Обозначим через A (B) множество всехрациональных чисел a (b) не больших α (β), а через A′ (B ′ ) множество всехрациональных чисел a′ (b′ ) не меньших α (β).Определение 1.12. Суммой двух ДЧ α и β назовем такое ДЧ γ, для которого справедливы двусторонние оценки∀a ∈ A ∀b ∈ B ∀a′ ∈ A′ ∀b′ ∈ B ′ ,→ a + b 6 γ := α + β 6 a′ + b′ .

Докажем корректность данного определения.Теорема 1.6. Для любых ДЧ α, β их сумма существует, единственнаи имеет место преемственность (т.е. совпадает с определением суммыдля рациональных чисел).Доказательство существования. Рассмотрим множество {a + b} всевозможных сумм, где a ∈ A и b ∈ B. Это множество ограниченно любым числомa′ + b′ , где a′ ∈ A′ и b′ ∈ B ′ .

Поэтому существует число γm = sup{a + b}. Длянего справедлива нижняя оценка из определения суммы. Аналогично, существует число γM = inf{a′ + b′ }, для которого справедлива верхняя оценка изЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР17определения суммы. Но всегда a + b 6 a′ + b′ , поэтому, в силу теоремы 1.5,a + b 6 γm 6 γM 6 a ′ + b ′ .Рассмотрим, ради упрощения рассуждений, случай когда оба числа положительные. Заметим, что среди чисел a (a′ ) и b (b′ ) есть десятичные приближениячисла α по недостатку (по избытку) и аналогично для числа β.0 < a = α0 , α1 ...αn 6 α < α0 , α1 ...αn + 1/10n = a′ ,0 < b = β0 , β1 ...βn 6 β < β0 , β1 ...βn + 1/10n = b′ .Следовательно, (a′ + b′ ) − (a + b) 6 2/10n . Таким образом, для чисел γm , γMвыполнены условия теоремы 1.2.

Следовательно эти числа совпадают: γ :=γm = γM , и для числа γ справедливо определение суммы.Доказательство единственности. От противного, тогда для чисел γ ′ и γ ′′выполнена двусторонняя оценка a + b 6 γ ′ 6 γ ′′ 6 a′ + b′ , из которой следует,что эти числа совпадают (если повторить предыдущие рассуждения).Доказательство преемственности. Если оба числа рациональные, то их сумма удовлетворяет определению, а другой быть не может в силу единственности.Определим умножение положительных ДЧ α, β > 0. Через A (B) обозначим множество всех положительных рациональных чисел, не больших α(β), а через A′ (B ′ ) множество всех рациональных чисел a′ (b′ ) не меньших α(β).Определение 1.13.

Произведением двух положительных ДЧ α и β назовем такое ДЧ γ, для которого справедлива двусторонняя оценка∀a ∈ A ∀b ∈ B ∀a′ ∈ A′ ∀b′ ∈ B ′ ,→ a · b 6 γ := α · β 6 a′ · b′ . Теорема 1.7. Для любых ДЧ α, β > 0 их произведение существует,единственно и имеет место преемственность.Доказательство теоремы аналогично предыдущему. Несколько сложнее доказать совпадение sup{a · b} = inf{a′ · b′ } и единственность произведения.

Вданном случае разность между произведениями, взятыми по недостатку и избытку данных чисел, равна a′ · b′ − a · b = a · 1/10n + b · 1/10n + 1/102n . Длялюбого натурального k найдется такое n, что эта разность окажется меньше,чем 1/10k . Теперь мы можем датьОпределение 1.14. Произведение ДЧ произвольных знаков определяетсяпо правилу знаков:1.

∀α : 0 · α = α · 0 = 0.2. Произведение ДЧ одного знака равно произведению их модулей.3. Произведение ДЧ разных знаков равно минус произведению их модулей.Нам остается определить обратные операции.18Я. М. ДЫМАРСКИЙОпределение 1.15. Противоположным к ДЧ α назовем число β = −α :=(−1)α.

Разность ДЧ определяется по правилу α − β := α + (−β).Обратным к ДЧ α ̸= 0 назовем такое число β = 1/α, для которого αβ = 1.Деление ДЧ определяется по правилу α/β := α(1/β), где β ̸= 0. Задача. Докажите корректность определения обратного числа.1.8. Свойства арифметических операций. Из данных выше определений следует, что свойства арифметических операций, справедливые для рациональных чисел, справедливы и для действительных чисел.СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ.1. Коммутативность: α + β = β + α2.

Ассоциативность: (α + β) + γ = α + (β + γ)3. Свойство нуля: 0 + α = α4. Существование противоположного числа: ∀α ∃β := −α := (−1)α :α + β = 0. По определению разность α − β := α + (−β)СВОЙСТВА УМНОЖЕНИЯ1. Коммутативность: α · β = β · α.2. Ассоциативность: (α · β) · γ = α · (β · γ).3. Свойство единицы: 1 · α = α.4. Существование обратного числа ∀α ̸= 0 ∃β := 1/α ,→ α · β = 1.СВЯЗЬ СЛОЖЕНИЯ С УМНОЖЕНИЕМ1. Дистрибутивность: (α + β)γ = αγ + βγСВОЙСТВА ПОРЯДКА1.