Конспект лекций - Квантовая механика Часть 2 (Конспект лекций - Квантовая механика Часть 2.pdf), страница 7

Волновая функция Nчастиц, Ψ(r1 , σ1 , r2 , σ2 , . . . , rN , σN ), это амплитуда вероятности найти1-ю частицу в точке r1 с проекцией σ1 спина на ось z, 2-ю частицу вточке r2 с проекцией σ2 спина на ось z и т.д. Удобно ввести сокращенное обозначениеxi = (ri , σi ),тогда Ψ(x1 , x2 , . . . , xN ) есть волновая функция N частиц.Пусть i-я и j-я частица тождественны (неразличимы). Легко понять, что амплитудыΨ(x1 , x2 , . .

. , xi , . . . , xj , . . . , xN ) и Ψ(x1 , x2 , . . . , xj , . . . , xi , . . . , xN )характеризуют одну и ту же конфигурацию: одна из двух неразличимых частиц находится в точке ri с проекцией σi спина на ось z, адругая – находится в точке rj с проекцией σj спина на ось z. Поэтомуволновая функция должна удовлетворять условию|Ψ(x1 , x2 , .

. . , xi , . . . , xj , . . . , xN )| = |Ψ(x1 , x2 , . . . , xj , . . . , xi , . . . , xN )| ,50или, иначе, две амплитуды, относящиеся к одной и той же конфигурации, могут отличаться только на фазовый множитель,Ψ(x1 , x2 , . . . , xi , . . . , xj , . . . , xN ) = eiϕ Ψ(x1 , x2 , . . . , xj , . . . , xi , .

. . , xN ).Введем оператор перестановки двух частиц P̂ij ,P̂ij Ψ(x1 , x2 , . . . , xi , . . . , xj , . . . , xN ) = Ψ(x1 , x2 , . . . , xj , . . . , xi , . . . , xN ).Мы показали, что если i-я и j-я частицы тождественны, тоP̂ij Ψ = P Ψ,|P | = 1.Легко убедиться в том, что число P может быть равным только 1или −1. В самом деле,P̂ij P̂ij Ψ = Ψ⇒P2 = 1⇒P = ±1.Установлено, что предсказания квантовой теории находятся в согласии с экспериментальными фактами, лишь если волновая функция тождественных частиц удовлетворяет дополнительному условию(можно считать его постулатом или законом природы): для частицс целым спином (бозонов) число P всегда равно 1, а для частиц сполуцелым спином (фермионов) число P всегда равно −1.

Другимисловами, волновая функция симметрична относительно перестановкикоординат любых двух тождественных бозонов и антисимметрична относительно перестановки координат любых двух тождественных фермионов.7.2Гелиеподобный атомРассмотрим задачу об описании состояний гелиеподобного атома,считая, что ядро обладает зарядом Ze и является бесконечно тяжелым. В таком приближении гамильтониан системы (два тождественных электрона в поле точечного ядра) имеет видĤ =p̂2Ze2Ze2e2p̂21+ 2 −−+.2m 2mr1r2|r1 − r2 |Решение уравнения Шредингера,ĤΨ(r1 , σ1 , r2 , σ2 ) = EΨ(r1 , σ1 , r2 , σ2 ),ищем в видеΨ(r1 , σ1 , r2 , σ2 ) = Φ(r1 , r2 )χ(σ1 , σ2 ),51поскольку гамильтониан Ĥ не содержит спиновых операторов.Понятно, что в качестве χ(σ1 , σ2 ) можно взять собственные функции операторов ŝ21 , ŝ1z , ŝ22 и ŝ2z , а именно,χ(σ1 , σ2 ) = χ 21 λ1 (σ1 )χ 21 λ2 (σ2 ).Но в соответствии с постулатом о тождественных частицах волноваяфункция гелиеподобного атома должна удовлетворять условиюΨ(r1 , σ1 , r2 , σ2 ) = −Ψ(r2 , σ2 , r1 , σ1 )илиΦ(r1 , r2 )χ(σ1 , σ2 ) = −Φ(r2 , r1 )χ(σ2 , σ1 ).Легко видеть, что удобно воспользоваться спиновыми функциямиχSSz (σ1 , σ2 ), отвечающими определенным значениям полного спина Sдвух электронов и проекции Sz этого спина на ось z,1χ00 (σ1 , σ2 ) = √ (α(σ1 )β(σ2 ) − β(σ1 )α(σ2 )) ,2χ11 (σ1 , σ2 ) = α(σ1 )α(σ2 ),1χ10 (σ1 , σ2 ) = √ (α(σ1 )β(σ2 ) + β(σ1 )α(σ2 )) ,2χ1 −1 (σ1 , σ2 ) = β(σ1 )β(σ2 ),где1 111 11α(σ) = h σ| i, β(σ) = h σ| − i.2 222 22В самом деле, функция χSSz (σ1 , σ2 ) симметрична относительно перестановки σ1 и σ2 , если S = 1, и антисимметрична, если S = 0.Понятно, что полная волновая функция обладает требуемымисвойствами, если координатная волновая функция удовлетворяетусловиямΦ(r1 , r2 ) = Φ(r2 , r1 ),еслиS = 0,Φ(r1 , r2 ) = −Φ(r2 , r1 ),еслиS = 1.Таким образом, координатная функция Φ(r1 , r2 ), описывающая состояние с определенной энергией E, не только должна быть решениемстационарного уравнения Шредингера,ĤΦ = EΦ,52но должна также обладать определенной симметрией по отношению кперестановке координат r1 и r2 .В качестве первого шага естественно воспользоваться стационарной теорией возмущений.

Для этого представим гамильтониан гелиеподобного атома в виде суммы,Ĥ = Ĥ0 + V̂ ,гамильтониана Ĥ0 двух невзаимодействующих друг с другом электронов,Ze2p̂2Ĥ0 = Ĥ(1) + Ĥ(2), Ĥ(i) = i −,2mriи оператора V̂ кулоновского отталкивания электронов,V̂ =e2,|r1 − r2 |рассматриваемого как возмущение.В нулевом приближенииĤ0 Φ(0) (r1 , r2 ) = E (0) Φ(0) (r1 , r2 ).Поскольку Ĥ0 есть сумма двух гамильтонианов водородоподобныхатомов, то, казалось бы,Φ(0) (r1 , r2 ) = ψn1 l1 m1 (r1 )ψn2 l2 m2 (r2 ),иE(0)= En1 + En2Z 2 e2=−2a11+ 2n21n2,где a = ~2 /me2 есть боровский радиус.

Энергия E (0) принимает минимальное значение при n1 = n2 = 1.Таким образом, основное состояние (ground state) гелиеподобногоатома в нулевом приближении описывается следующей координатнойволновой функцией:Φ(0)g.s. (r1 , r2 ) = ψ1s (r1 )ψ1s (r2 ).Эта функция симметрична относительно перестановки r1 и r2 . Следовательно в основном состоянии гелиеподобного атома два электронаобладают полным спином S = 0.53Поправка 1-го порядка к энергии основного состояния определяется следующим матричным элементом:(1)Eg.s.= hΦ(0)g.s. |5Ze2e2|Φ(0).g.s. i =|r1 − r2 |8aУсловием применимости теории возмущений является малость поправки к энергии по отношению к характерному расстоянию между уровнями.

В данном случае получим(1)Eg.s.(0)Eg.s.=5.8ZМы видим, что даже при Z = 2 (атом гелия) отношение мало (хотя и несильно) по сравнению с единицей. Таким образом, используемый намиподход является пусть грубым, но все же допустимым приближением.Обсудим в этом же приближении структуру возбужденных состояний гелиеподобного атома. В нулевом приближении для возбужденного состояния имеем: n1 = 1 и n2 = n > 1, что отвечает следующейкоординатной волновой функции:Φ(0) (r1 , r2 ) = ψ1s (r1 )ψnlm (r2 ),или, что приводит к той же энергии, n1 = n > 1 и n2 = 1, и, соответственно,Φ(0) (r1 , r2 ) = ψnlm (r1 )ψ1s (r2 ).Легко видеть, что обе выписанные функции не обладают требуемымисвойствами симметрии.В то же время из этих функций нетрудно составить линейные комбинации, правильным образом меняющиеся при перестановке координат r1 и r2 , а именно:1(0)ΦS=0 (r1 , r2 ) = √ (ψ1s (r1 )ψnlm (r2 ) + ψnlm (r1 )ψ1s (r2 )) ,21(0)ΦS=1 (r1 , r2 ) = √ (ψ1s (r1 )ψnlm (r2 ) − ψnlm (r1 )ψ1s (r2 )) .2Подчеркнем, что в нулевом приближении состояния, которые описываются этими функциями, вырождены (т.е.

обладают одной и той жеэнергией).Вычисляя, далее, поправки 1-го порядка к энергиям, находим(0)E (1) = hΦS |e2(0)|Φ i = J ± K,|r1 − r2 | S54где значению S = 0 отвечает знак «+», а значению S = 1 — знак «−».При этомJ = hψ1s (1)ψnlm (2)|e2|ψ1s (1)ψnlm (2)i,|r1 − r2 |K = hψ1s (1)ψnlm (2)|e2|ψ1s (2)ψnlm (1)i.|r1 − r2 |Интеграл J заведомо положителен; K – «обменный интеграл» – какможно показать, также положителен. Оба интеграла по порядку величины равны энергии кулоновского отталкивания электронов в гелиеподобном атоме ∼ Ze2 /a, где a/Z – характерный размер орбитыэлектрона в водородоподобном атоме с зарядом ядра Ze.Итак, пусть в нулевом приближении один электрон находится всостоянии с n1 = 1, а второй – в состоянии с n2 = n > 1.

Можно сказать, что электроны находятся в конфигурации (1, n). Мы показали,что энергия электронов, находящихся в определенной конфигурации,очень существенно зависит от того, каков полный спин S этих двухэлектронов. Расщепление между уровнями, отвечающим разным значениям S, имеет порядок энергии кулоновского отталкивания электронов.На первый взгляд этот результат – существенная зависимость энергии состояния от полного спина S двух электронов – парадоксален, таккак гамильтониан не содержит спиновых операторов.

Причина сильного расщепления состояний, принадлежащих одной и той же электронной конфигурации, заключается в том, что состояниям с разными Sотвечают различные симметрии как спиновых, так и координатныхволновых функций. Это приводит к существенному различию вкладов кулоновского отталкивания в энергии этих состояний.Лекция 88.1Сложный атомВариационный методПусть для системы с гамильтонианом Ĥ задача решена, т.е. найдены энергии En и волновые функции Ψn , такие что:ĤΨn = En Ψn ,n = 0, 1, 2 .

. .Волновые функции Ψn ортонормированы,hΨi |Ψj i = δij ,55и образуют полный базис.Рассмотрим произвольную волновую функцию Ψ, нормированнуюна единицу,hΨ|Ψi = 1.Ее разложение по базису Ψn имеет видXΨ=an Ψn .nВ силу условия нормировки для коэффициентов an имеемX|an |2 = 1.nДокажем теперь, что средняя энергия hEi системы в состоянии,описываемой произвольной волновой функцией Ψ, не превышает энергию E0 основного состояния этой системы,hEi = hΨ|Ĥ|Ψi ≥ E0 .В самом деле,hEi = hXn=Xnan Ψn |Ĥ|Xan0 Ψn0 i =n0En |an |2 ≥ E0Xa∗n an0 En0 δnn0 =n,n0X|an |2 = E0 .nОтсюдаPтакже видно, что чем ближе Ψ к Ψ0 (чем больше вклад |a0 |2 всумму n |an |2 ), тем ближе hEi к E0 , и наоборот. Поэтому предлагается следующий алгоритм вычисления волновой функции φ основногосостояния:1) выбираем пробную функцию, зависящую от полного набора координат q и ряда параметров αi (вариационных параметров):φ = φ(q, α1 , α2 , .