Конспект лекций - Квантовая механика Часть 2 (Конспект лекций - Квантовая механика Часть 2.pdf), страница 12

Функции jl (x) и nl (x) называются сферическимифункциями Бесселя и Неймана соответственно. Их асимптотики выглядят так:при x → 0,jl (x) →xl,(2l + 1)!!nl (x) →(2l − 1)!!,xl+1где по определению (−1)!! = 1;при x → ∞,jl (x) →sin(x −lπ2 )xnl (x) →,cos(x −xlπ2 ).Сферические функции Бесселя и Неймана представляют собой линейно независимые решения дифференциального уравнения второгопорядка для радиальной функции. В качестве двух линейно независимых решений того же уравнения могут быть также взяты две сфе(+)(−)рические функции Ганкеля hl (x) и hl (x), которые определяютсяследующим образом:(±)hl(x) ≡ jl (x) ∓ inl (x).При x → ∞ получим(±)hl (x)1→x lπlπsin x −∓ i cos x −=22(∓i) ±i=exx−lπ289= (∓i)l+1e±ix.xТаким образом, в любой задаче рассеяния при r > a имеем(−)(+)(−)(+)Rl (kr) = Al hl (kr) + Bl hl (kr) = Al hl (kr) + Sl hl (kr) .Соответственно волновая функция принимает видX (−)(+)ψ(r)|r>a =Al hl (kr) + Sl hl (kr) Pl (cos θ).l13.3Явное выражение для амплитуды рассеянияПредположим, что рассеивающий потенциал совершенно отсутствует (U ≡ 0 при всех r).

Тогда, с одной стороны, волновой функциейявляется плоская волнаψ0 (r) = eikr = eikr cos θ .С другой стороны, эта плоская волна должна быть представима в видесуммы парциальных волн при всех r ≥ 0. Соответствующее разложение действительно имеет место и называется формулой Рэлея,Xeikr =(2l + 1) il jl (kr)Pl (cos θ) =l=X 2l + 1l2(−)(+)il hl (kr) + hl (kr) Pl (cos θ).Мы видим, что в случае U ≡ 0 коэффициенты Al и Sl принимаютследующие значения:Al =2l + 1 li,2Sl = 1.Рассмотрим теперь общий случай, когда потенциал U (r) отличен отнуля, но исчезает при r > a.

Тогда в этой же области r > a волноваяфункция может быть представлена в формеX (−)(+)Al hl (kr) + Sl hl (kr) Pl (cos θ) =ψ(r)|r>a =l=X(−)(+)Al hl (kr) + hl (kr) Pl (cos θ) −l−Xl90(+)Al (1 − Sl )hl(kr)Pl (cos θ).Первая сумма, как мы видели, при надлежащем выборе Al превращается в плоскую волну eikr . Возьмем теперь вторую сумму с теми жекоэффициентами Al ,2l + 1 li,Al =2и перейдем к пределу r → ∞. Используя асимптотическую формулу(+)для функции Ганкеля hl (x), находим−X(+)Al (1 − Sl )hl→(kr)Pl (cos θ)l→eikrPl (cos θ) =2krl!i Xeikreikr=(2l + 1)(1 − Sl )Pl (cos θ)= f (θ).2krr−X 2l + 1il (1 − Sl )(−i)l+1lТаким образом, общее решение уравнения Шредингера при r > a,обладающее правильной асимптотикой, имеет видψ(r)|r>a == eikr −X 2l + 12lX 2l + 1l2(−)(+)il hl (kr) + Sl hl (kr) Pl (cos θ) =(+)il (1 − Sl )hl(kr)Pl (cos θ)→eikr + f (θ)eikr,rгде последний переход соответствует пределу r → ∞.

Для амплитудыупругого рассеяния получаем следующее явное выражение (формулуХольцмарка):f (θ) =i X(2l + 1)(1 − Sl )Pl (cos θ).2klНа прошлой лекции было показано, что дифференциальное сечениеупругого рассеяния определяется формулойdσ= |f (θ)|2 .dΩТаким образом, определив f (θ), мы полностью решаем задачу рассеяния.В методе парциальных волн амплитуда рассеяния f (θ) задается набором амплитуд Sl , где l = 0, 1, 2 . .

. Численное значение амплитуды Sl91устанавливается следующим образом. В парциальной волне l находится радиальная функция Rl (r) на интервале 0 ≤ r ≤ a. Ее сшивка вточке r = a с радиальной функцией(−)(+)Rl (r)|r>a = Al hl (kr) + Sl hl (kr)дает Sl . Расчеты показывают, что при l > ka амплитуды Sl становятсяблизкими к единице, т.е. парциальные волны с l > ka не испытываютдействия потенциала. Это же следует из полуклассических соображений, рассматривавшихся ранее в этой лекции.Лекция 1414.1Неупругое взаимодействие.Оптическая теоремаПолное сечение упругого рассеянияНа прошлой лекции мы рассматривали задачу упругого рассеянияна сферически симметричном потенциале U (r) с радиусом a.

Мы показали, что вне области действия потенциала волновая функции частицыимеет видX 2l + 1 (−)(+)il hl (kr) + Sl hl (kr) Pl (cos θ),ψ(r)|r>a =2lпри этомeikr.rСоответственно для дифференциального сечения упругого рассеяниябыло получено2 i Xdσ2= |f (θ)| = (2l + 1)(1 − Sl )Pl (cos θ) . 2kdΩψ(r)|r→∞eikr + f (θ)→lПолное сечение упругого рассеяния определяется формулойIdσdΩσe =dΩилиX1 Xσe = 2(2l + 1)(1 − Sl )(2l0 + 1)(1 − Sl∗0 ) ×4k0llI× Pl (cos θ)Pl0 (cos θ) dφ sin θdθ.92Пользуясь условиями ортонормировки для полиномов Лежандра,Z π2Pl (cos θ)Pl0 (cos θ) sin θdθ =δll0 ,2l+10находимX2π X1(2l + 1)2 |1 − Sl |2= 2(2l + 1)|1 − Sl |2 .σe = 2 2π4k2l + 1kl14.2lУпругие и неупругие каналы.

Фазы рассеянияЧастица, налетающая на некоторую другую частицу (примеры:электрон и атом, нейтрон и ядро атома), может рассеяться упруго(сохранив свою энергию в системе центра масс), но может также инициировать неупругое взаимодействие. Неупругим процессом является,например, рассеяние с потерей энергии, точнее, с переходом части «кинетической» энергии падающей частицы во внутреннюю энергию одной или обеих сталкивающихся частиц (например, электрон, неупругорассеивающийся на атоме, может передать часть своей энергии движения в энергию вобуждения атома). Неупругими также являютсяпроцессы (реакции), в которых сталкиваются одни частицы, а разлетаются другие (например, нейтрон захватывается ядром и испускаетсяγ-квант).В случае, когда имеет место только упругое взаимодействие, волновая функцияX 2l + 1 (−)(+)ψ(r)|r>a =il hl (kr) + Sl hl (kr) Pl (cos θ),2lполностью описывает всё, что происходит вне области действия потенциала.

Если же наряду с упругим рассеянием происходят и неупругиепроцессы, то выписанная волновая функция описывает систему тольков упругом канале (и, конечно, только в области r > a). Строго говоря,для полного описания всех процессов нужно искать волновые функции, описывающие взаимодействующие частицы в неупругих каналах.Однако, как мы покажем в этой лекции, для определения полного сечения неупругого взаимодействия достаточно знать только волновуюфункцию системы в упругом канале.Легко видеть, что волновая функция, описывающая упругий канал, может быть представлена в виде суперпозиции двух волн, однаиз которых является асимптотически сходящейся, а другая – асимптотически расходящейся. В самом деле, имеемψ(r)|r>a = ψ (−) (r) + ψ (+) (r),93гдеψ (−) (r) =X 2l + 12lψ (+) (r) =X 2l + 12l(−)il hl(kr)Pl (cos θ),(+)il Sl hl(kr)Pl (cos θ).Учитывая асимптотическое поведение функций Ганкеля при r → ∞,(−)(kr) → il+1e−ikr,kr(−)i(r) →2kX(−1)l (2l + 1)Pl (cos θ)hl(+)hl(kr) → (−i)l+1eikr,krполучимψψ(+)!e−ikr,r!eikr.rli(r) → −2krX(2l + 1)Sl Pl (cos θ)lПлотность радиального тока, связанного со сходящейся волной, васимптотике имеет видjr(−) r→∞~=2mi~ 1=2mi 4k 2ψ(−) ∗ ∂ψ(−)∂r− к.с.=!2 Xeikr ∂ e−ikrl− к.с.

.(−1) (2l + 1)Pl (cos θ)r ∂r rlОставляя только те слагаемые, которые убывают по закону 1/r2 , находимjr(−) =r→∞!2 X11l(−1) (2l + 1)Pl (cos θ)−ik 2 − ik 2=rrl!2X~k 1=− 2(−1)l (2l + 1)Pl (cos θ) .mr 4k 2~ 1=2mi 4k 2lАналогично с той же точностью для плотности радиального тока, свя94занного с расходящейся волной, имеемjr(+) =r→∞~2miψ (+)∗ ∂ψ (+)∂r− к.с.=2~k 1 X(2l+1)SP(cosθ)= .llmr2 4k 2 lПолное число частиц, уходящих в единицу времени к рассеивающему центру, определяется интеграломdN (−)=dtI|jr(−) |r2 dΩ.Пользуясь ранее выписанным условием ортонормировки для полиномов Лежандра, получимXdN (−)~k 12~k π X=2π(2l + 1)2=(2l + 1).2dtm 4k2l + 1m k2llАналогично для полного числа частиц, уходящих в единицу времениот рассеивающего центра, имеемdN (+)=dtI|jr(+) |r2 dΩ,так чтоX~k 1~k π XdN (+)2==2π(2l + 1)2 |Sl |2(2l + 1)|Sl |2 .2dtm 4k2l + 1m k2llЕсли имеет место только упругое рассеяние, тоdN (−)dN (+)=dtdt⇒|Sl | = 1.В этом случае удобно представить амплитуды Sl в видеSl = e2iδl ,где δl – это фаза рассеяния l-й парциальной волны.

При этом получим|1 − Sl |2 = |1 − e2iδl |2 = | eiδl e−iδl − eiδl |2 = 4 sin2 δl ,95так что полное сечение упругого рассеяния принимает вид4π Xσe = 2(2l + 1) sin2 δl .klНа прошлой лекции было показано, что существенные вклады в этусумму дают лишь те парциальные волны, для которых l ≤ ka.Особенно интересен случай медленных частиц, когда ka 1. Приэтом эффективно идет только s-рассеяние (l = 0), и сечение рассеянияпринимает вид4πσe = σ0 = 2 sin2 δ0 .kЕслиπδ0 = ,2то сечение упругого рассеяния значительно превосходит геометрическое поперечное сечение4π πa2 .k2Этот случай называют резонансным рассеянием.σ0max =14.3Полное сечение неупругого взаимодействияЕсли частицы захватываются рассеивающим центром или так взаимодействуют с ним, что энергия рассеянных частиц увеличиваетсяили уменьшается по сравнению с энергией падающих частиц, то говорят о наличии каналов неупругого взаимодействия. Полное сечениенеупругого взаимодействия определяется формулойσie =dNie /dt,jпадгдеdNiedN (−)dN (+)~k π X=−=(2l + 1)(1 − |Sl |2 )dtdtdtm k2lесть число частиц, покидающих упругий канал в единицу времени, аjпад = ~k/m есть плотность потока падающих частиц.

Соответственно полное сечение неупругого взаимодействия определяется исключительно амплитудами Sl , входящими в волновую функцию упругогоканала, и имеет следующий вид:π Xσie = 2(2l + 1)(1 − |Sl |2 ).kl9614.4Полное сечение взаимодействия. ОптическаятеоремаПолное сечение взаимодействия равно сумме полных сечений упругого и неупругого взаимодействий,π Xσt = σe + σie = 2(2l + 1)(|1 − Sl |2 + 1 − |Sl |2 ) =klπ X= 2(2l + 1)(1 − 2Re Sl + |Sl |2 + 1 − |Sl |2 ) =kl2π X= 2(2l + 1)(1 − Re Sl ).klЗаметим, что амплитуда упругого рассеяния на угол θ = 0 имеет видf (0) =i X(2l + 1)(1 − Sl ).2klЛегко видеть, чтоIm f (0) =1 X(2l + 1)(1 − Re Sl ).2klПоэтому полное сечение взаимодействия выражается через амплитудуупругого рассеяния на угол 0 следующим образом:σt =4πIm f (0).kЭтот результат называется оптической теоремой.97.