Конспект лекций - Квантовая механика Часть 2 (Конспект лекций - Квантовая механика Часть 2.pdf)

А.Л. БарабановКВАНТОВАЯ МЕХАНИКА(КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ)Часть 22-я редакция (2015 год)исправлены замеченные опечатки,внесены незначительные измененияМосква 2005В этой книге представлен конспект лекций по курсу квантовой механики, прочитанных мной в весеннем (часть 1) и осеннем (часть 2)семестрах 2004 года студентам факультета физической и квантовойэлектроники Московского физико-технического института. По построению и кругу обсуждаемых вопросов этот курс примерно соответствует годовым курсам квантовой механики, читаемых на других факультетах МФТИ.Идея создания конспекта лекций принадлежит студенту группы 154 А.В.

Шелаеву. Он же, Артем Шелаев, выполнил основнуючасть работы по составлению конспекта (включая набор формул исоздание рисунков в пакете LATEX). Со своей стороны я не только внимательно прочел представленные Артемом тексты, но также исправилих, дополнил (стараясь не выходить за рамки заданного жанра – конспект) и отредактировал. Поэтому я несу полную ответственностьза все формулировки в этой книге и, разумеется, за все возможныеоплошности и опечатки. Буду признателен всем, кто пришлет мне своизамечания по адресу a_l_barabanov@mail.ru .Я очень благодарен Артему Шелаеву, без инициативы которого этакнига не появилась бы, а также всем, кто ему помогал.

Я также оченьпризнателен всем своим коллегам по кафедре теоретической физикиМФТИ за многочисленные обсуждения проблем квантовой механики ивопросов, связанных с ее изложением, в особенности, Б.В. Гешкенбейну, С.А. Гордюнину, Г.С. Ирошникову, Л.П. Котовой, В.П. Кузнецову,В.И. Манько, Д.Л. Осипову, В.П.

Смилге, А.И. Тернову, С.В. Толоконникову, С.В. Фомичеву. Отдельно хотелось бы выразить благодарность С.П. Аллилуеву и Ю.М. Белоусову — не только за поддержкуи вдохновляющие дискуссии, но и за последовательное утверждениена кафедре творческой и доброжелательной атмосферы. Особая признательность — Н.Н. Пастушковой — за неоценимый вклад в образ истиль жизни кафедры теоретической физики МФТИ.Добавление ко 2-й редакции : Спасибо всем, кто указал на опечатки.Их оказалось сравнительно немного, и поэтому я сомневался, нужноли править старый текст. Не проще ли написать новый, ведь многиеразделы курса я рассказываю теперь иначе? В конце концов я осознал,что одно другому не противоречит.

Новый текст готовить нужно, но вэтом старом конспекте есть своя логика, и пусть он будет по возможности точным.А.Л. Барабановc А.Л. Барабанов, 2005, 20152Содержание1 Стационарная теория возмущений1.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .1.2 Случай невырожденного спектра . . . . . . . . . . . . . .1.3 Случай вырожденного спектра . . . . . . . . . . . . . . .667102 Нестационарная теория возмущений2.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . .2.2 Внезапное возмущение . .

. . . . . . . . . . . .2.3 Обобщение на случай произвольного τ . . . . .2.4 Возмущение, действующее в течение конечного2.5 Периодическое возмущение . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .времени. . . . . .1111111315153 Релятивистские квантовые уравнения3.1 Нерелятивистское уравнение Шредингера . . .3.2 Уравнение Клейна–Гордона . . . . . . . . . . .3.3 Уравнение Дирака . .

. . . . . . . . . . . . . . .3.4 Матрицы Дирака . . . . . . . . . . . . . . . . .3.5 Плотность тока вероятности в теории Дирака.....191919212224.........................4 Уравнения Дирака и Паули264.1 Решение уравнения Дирака для свободной частицы . . . 264.2 Уравнение Дирака для частицы во внешнем поле . . . . 294.3 Уравнение Паули . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 305 Релятивистские поправки второго порядка по v/c5.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2 Уравнение для спинора φ . . . . . . . . . . . . . . . . .5.3 Уравнение для спинора φ̃ , нормированного на единицу5.4 Физический смысл поправок второго порядка по v/c .....34343436396 Сложение угловых моментов6.1 Частица в центральном поле . . . . . .6.2 Постановка общей задачи .

. . . . . .6.3 Коэффициенты Клебша–Гордана . . .6.4 Пример: сложение моментов 1/2 и 1/2....4242444547........................................7 Тождественные частицы. Гелиеподобный атом507.1 Симметрия волновой функции тождественных частиц . . 507.2 Гелиеподобный атом . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . 5138 Сложный атом8.1 Вариационный метод . . . . . . . . . . . .8.2 Основное состояние гелиеподобного атома8.3 Метод Хартри . . . . . . . . . . . . . . . .8.4 Метод Хартри–Фока . . . . . . . . . . . .8.5 Атомные оболочки . . . . . . . . . . . . .8.6 Термы атома . . . . . . . .

. . . . . . . . .8.7 Тонкая структура термов . . . . . . . . ........9 Атом в магнитном поле9.1 Гамильтониан сложного атома в магнитном9.2 Слабое поле (эффект Зеемана) . . . . . . .9.3 Сильное поле (эффект Пашена–Бака) . . .9.4 Диамагнетизм инертных газов . . . . . . . ...........................................5555575759606162поле. . .. .

.. . .....................6363646768..............10 Основы квантовой теории излучения6910.1 Квантовое описание свободного электромагнитного поля 6910.2 Атом в классическом электромагнитном поле . . . . . . . 7010.3 Квантовое описание взаимодействия атома и поля . . . . 7111 Спонтанное излучение атома11.1 Постановка задачи . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .11.2 Оператор взаимодействия атома и поля . . . . . . . . . .11.3 Плотность конечных состояний . . . . . . . . . . . . . . .11.4 Вероятность излучения фотона в дипольном приближении11.5 Суммирование по поляризациям . . . . . . . . . . . . . .11.6 Время жизни состояния . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .7373747475777812 Интегральное уравнение теории рассеяния12.1 Постановка задачи рассеяния . . . . . . . . . . .12.2 Дифференциальное сечение упругого рассеяния12.3 Функция Грина задачи рассеяния . . . . . . . . .12.4 Интегральное уравнение рассеяния . . . . . . . .12.5 Борновское приближение . . .

. . . . . . . . . . .787879808384.........................13 Метод парциальных волн8513.1 Идея метода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8513.2 Сферические функции Бесселя, Неймана и Ганкеля . . . 8813.3 Явное выражение для амплитуды рассеяния . . . . . . . 90414 Неупругое взаимодействие. Оптическая теорема14.1 Полное сечение упругого рассеяния .

. . . . . . . . . .14.2 Упругие и неупругие каналы. Фазы рассеяния . . . .14.3 Полное сечение неупругого взаимодействия . . . . . .14.4 Полное сечение взаимодействия. Оптическая теорема5........9292939697Лекция 11.1Стационарная теориявозмущенийПостановка задачиПусть система описывается гамильтонианом Ĥ0 , а |ki – это собственные векторы этого гамильтониана, или, иначе, решения стационарного уравнения Шредингера,Ĥ0 |ki = Ek0 |ki.В ряде случаев (для ряда гамильтонианов Ĥ0 ) это уравнение решаетсясравнительно просто. Однако чаще бывает трудно установить явныйвид решений стационарного уравнения Шредингера.Предположим, что система описывается гамильтонианомĤ = Ĥ0 + V̂таким, что собственные векторы |ki и собственные значения Ek0 гамильтониана Ĥ0 известны, а V̂ есть малая поправка к Ĥ0 или, какговорят, возмущение.

Тогда для поиска собственных векторов |ψn i исобственных значений En гамильтониана Ĥ можно воспользоватьсястационарной теорией возмущений.Оператор V̂ может, к примеру, описывать взаимодействие системыс известным спектром Ek0 с некоторой другой системой или с внешнимполем. Если это взаимодействие является слабым, т.е. имеется малыйпараметр ε такой, чтоhV̂ i ∼ εhĤ0 i,ε 1,то следует ожидать, что энергетический спектр системы меняетсянезначительно.Векторы состояний |ψn i и энергии En возмущенной системы определяются стационарным уравнением Шредингера,(Ĥ0 + V̂ )|ψn i = En |ψn i.Поскольку ортонормированные векторы |ki образуют полный базис впространстве векторов состояний, то каждый из векторов |ψn i можетбыть представлен в виде разложенияX|ψn i =cnk |ki.kЗадача сводится к определению коэффициентов cnk .61.2Случай невырожденного спектраВ качестве первого шага мы рассмотрим случай, когда спектр гамильтониана Ĥ0 невырожден.Подставляя |ψn i в виде выписанного разложения в стационарноеуравнение Шредингера, получим:XXXĤ0cnk |ki + V̂cnk |ki = Encnk |ki,kkkилиXcnk Ek0 |ki +Xkcnk V̂ |ki = EnkXcnk |ki.kПроецируя полученное соотношение на hm|, находим:Xkcnk Ek0 hm|ki +Xcnk hm|V̂ |ki = EnkXcnk hm|ki.kУсловие ортонормировки для собственных векторов гамильтониана Ĥ0имеет видhm|ki = δmk .Поэтому0cnm Em+Xcnk Vmk = En cnm ,kгде Vmk ≡ hm|V̂ |ki.

Таким образом мы приходим к уравнениям длянеизвестных величин En и cnk :X0(En − Em)cnm =cnk Vmk .kИдея теории возмущения заключается в том, что все неизвестныевеличины ищутся в виде разложений по малому параметру ε:(0)(1)(2)En = En + En + En + . . . ,(0)(1)(2)cnk = cnk + cnk + cnk + . . . ,где верхний индекс указывает на порядок малости, т.е., например,(2)En ∼ ε2 . Соответственно:|ψn i = |ψn i(0) + |ψn i(1) + . . . ,7где|ψn i(0) =X(0)|ψn i(1) =cnk |ki,kX(1)cnk |ki,...kПодставляя выписанные разложения в уравнения для En и cnk ,получим:(2)(1)(0)(2)(1)(0)0)(cnm + cnm + cnm + .