Конспект лекций - Квантовая механика Часть 2 (Конспект лекций - Квантовая механика Часть 2.pdf), страница 10

,2mjгдеAj = A(rj , t),Hj = H(rj , t).Здесьe2e 22ep̂j − Aj = p̂2j − Aj p̂j + 2 A2j ,cccтак как div A = 0. Соответственно для гамильтониана атома в классическом электромагнитном поле получимĤ = ĤA + V̂ ,гдеĤA =Xjp̂2j+ Uj (rj )2m!+ Ûs.o.есть гамильтониан свободного атома, аV̂ = −Xe Xe2 X 2Aj p̂j +A+µσ j HjBjmc j2mc2 jjесть оператор взаимодействия атома с полем.10.3Квантовое описание взаимодействия атома иполяПерейдем теперь к квантовому описанию электромагнитного поля.Тогда полный гамильтониан системы имеет видĤ = ĤA + ĤF + V̂ ,гдеĤA =Xjp̂2j+ Uj (rj )2m!+ Ûs.o.есть гамильтониан сободного атома,ĤF =Xλ1~ω(â+λ âλ + )271есть гамильтониан свободного электромагнитного поля, аV̂ = −Xe Xe2 X 2Âj p̂j +Â+µσ j ĤjBjmc j2mc2 jjесть оператор взаимодействия атома и поля.

Поскольку речь идет освободном электромагнитном поле, тоrX 2π~c2∗ −ikrjâλ eα eikrj + â+,Âj = Â(rj ) =λ eα eVωλrĤj = Ĥ(rj ) =Xλ2π~c2−ikrji[k × eα ]âλ eikrj − i[k × e∗α ]â+.λeVωСобственные векторы |ki оператора ĤA ,ĤA |ki = EAk |ki,описывают стационарные состояния атома с энергиями EAk . В то жевремя собственные векторы |{nλ }i оператора ĤF ,ĤF |{nλ }i = EF |{nλ }i,описывают стационарные состояния поля с энергиями EF . Введем операторĤ0 = ĤA + ĤF .Решения стационарного уравнения Шредингера,Ĥ0 |Ψi = E|Ψi,имеют вид:|Ψi = |ki|{nλ }i,E = EAk + EF .Векторы |Ψi описывают стационарные состояния не взаимодействующих друг с другом атома и поля.Наличие оператора взаимодействия V̂ приводит к появлению переходов между этими стационарными состояниями.

Пусть, к примеру,в момент t = 0 система ”атом + поле” находится в состоянии |Ψi i сэнергиейEi = EAi + EF i .Вероятность перехода в единицу времени в состояние |Ψf i с энергиейEf = EAf + EF f72в 1-м порядке нестационарной теории возмущений определяется правилом Ферми2πdwif =|hΨf |V̂ |Ψi i|2 dρ(Ef ).~Заметим, что оператор V̂ взаимодействия атома со свободным электромагнитным полем не зависит от времени.

Поэтому в этом переходеполная энергия системы «атом + поле» сохраняется:EAi + EF i = EAf + EF f .Если EAi > EAf и EF i < EF f , то атом теряет энергию, а поле приобретает энергию. Это означает, что происходит излучение – в одной илинескольких модах поля появляются дополнительные фотоны. Наоборот, если EAi < EAf и EF i > EF f , то происходит поглощение фотоновс возбуждением атома.Лекция 1111.1Спонтанное излучение атомаПостановка задачиСпонтанное излучение происходит при переходе атома из начального состояния |ii в конечное состояние |f i с меньшей энергией приусловии, что начальное состояние поля – это основное состояние (вовсех модах нет фотонов).

Таким образом, начальное и конечное состояния системы «атом + поле» описываются следующими векторами|Ψi i = |ii|0, 0 . . .i,|Ψf i = |f i|0, 0 . . . 1kα , 0 . . .i.Переход в атоме |ii → |f i сопровождается излучением кванта с волновым вектором k и поляризацией eα . Энергия этого кванта (приращение энергии поля ∆EF ) равна разности начальной и конечной энергийатома:∆EF = ~ω = EAi − EAf .По правилу Ферми для вероятности перехода с излучением квантав телесный угол dΩ вокруг направления k имеемdwif =2π|hΨf |V̂ |Ψi i|2 dρ(Ef ),~где dρ(Ef ) есть плотность конечных состояний поля.7311.2Оператор взаимодействия атома и поляВ операторе V̂ взаимодействия атома и поля естественно пренебречь квадратичными по полю слагаемыми по сравнению с линейными.

Поэтому возмущение V̂ имеет видXe XÂ(rj )p̂j + µBσ j Ĥ(rj ) ≡ V̂1 + V̂2 .V̂ = −mc jjОценим порядок операторов V̂1 и V̂2 . Пользуясь соотношениемнеопределенностей, для взаимодействия V1 находимV1 ∼ee ~Ap ∼A ,mcmc aгде a – это боровский радиус. В то же время для взаимодействия V2получимe~ωe~kA ∼A,V2 ∼mcmccСледовательно V1 и V2 соотносятся как ~/a и ~ω/c. Возьмем ~ω иззакона сохранения энергии при излучении,~ωEAi − EAfe2e2 ~1 ~~='=' .ccca~c a137 aaТаким образом, V2 V1 .

Оператор возмущения примет видe XV̂ = −Â(rj )p̂j .mc jИз выполненных оценок следует также, что~k ∼e2 ~~c a⇒ka ∼e21' 1.~c137Поскольку k ∼ 1/λ, то, следовательно, размер атома, a, много меньше, чем длина излучаемой волны λ. В классической теории излучениясоотношение a λ есть условие применимости дипольного приближения. В квантовой теории, как мы скоро увидим, условие ka 1 такжепозволяет существенно упростить вычисления.11.3Плотность конечных состоянийНайдем теперь плотность конечных состоянийdρ =dNf,dEfdEf = d(~ω) = ~c dk.74В пространстве волновых векторов фотонам, излучаемым в телесныйугол dΩ с неопределенностью энергии dEf , отвечает элемент объема(k 2 dΩ)dk. С учетом условий квантования составляющих вектора k длячисла dNf состояний поля находимdNf = 2πLxk 2 dΩdk 2πLy2πLz=V k 2 dΩdk.(2π)3Следовательно для плотности состояний получимdρ =11.4V ω 2 dΩV k 2 dΩdk=.3(2π) ~c dk(2π)3 ~c3Вероятность излучения фотона в дипольномприближенииФормула для вероятности излучения в единицу времени фотона втелесный угол dΩ вокруг направления k с фиксированной поперечнойполяризацией eα принимает видdwif (k, eα ) =2πV ω 2 dΩ|hΨf |V̂ |Ψi i|2.~(2π)3 ~c3Займемся теперь вычислением матричного элемента.

ИмеемhΨf |V̂ |Ψi i = e X= hf |h0, 0 . . . 1kα , 0 . . . | −Â(rj )p̂j |0, 0 . . .i|ii =mc jr e X 2π~c2= −e∗ h0, 0 . . . 1kα , 0 . . . |â+λ |0, 0 . . .i ×mcVω αλ×Xhf |e−ikrj p̂j |ii.jЯсно, что в сумме по λ остается единственное слагаемое, соответствующее λ = (k, eα ),h1kα |â+kα |0i = 1.Поэтому матричный элемент принимает вид e r 2π~XhΨf |V̂ |Ψi i = −e∗αhf |e−ikrj p̂j |ii,mVωj75т.е. выражается через матричный элемент по конечной и начальнойволновым функциям атома.Понятно, что основной вклад в матричный элемент вносит интегрирование по области радиусом порядка a.

Поскольку ka 1, то мыможем пренебречь экспонентой при операторе импульса. Это и естьдипольное приближение в квантовой теории излучения. Остается вычислить матричный элемент следующего вида:hf |p̂j |ii.Для этого рассмотрим коммутатор[xj , ĤA ] = [xj ,=p̂2jp̂2xj] = [xj ,]=2m2m11i~p̂xj [xj , p̂xj ] +[x̂j , p̂xj ]p̂xj = p̂xj .2m2mmТаким образом, оператор импульса j-го электрона можно выразитьчерез коммутатор,−imp̂j =[rj , ĤA ].~Подставляя это выражение для p̂j в матричный элемент, находимhf |p̂j |ii ==−imhf |rj ĤA − ĤA rj |ii =~−im(EAi − EAf )hf |rj |ii = −imωhf |rj |ii.~Собирая все вместе, получимrrX 2π~2π~ω ∗∗hΨf |V̂ |Ψi i = iωeeα hf |rj |ii = ieα hf |d̂|ii,VωVjгдеd̂ =Xerjjесть оператор дипольного момента атома.

Введем обозначениеhf |d̂|ii ≡ dif .Тогда для матричного элемента от оператора V̂ получаем следующеекомпактное выражение:r2π~ω ∗hΨf |V̂ |Ψi i = ieα dif .V76Это означает, что вероятность излучения фотона с поляризацией eα иволновым вектором k в телесный угол dΩ равнаdwif (k, eα ) =11.5V ω 2 dΩω32π 2π~ω ∗|eα dif |2=|e∗ dif |2 dΩ.33~ V(2π) ~c2π~c3 αСуммирование по поляризациямЕсли нас не интересует поляризация излучения, то необходимо провести суммирование по двум возможным поляризациям. Удобно выбрать в качестве базисных векторов тройку взимно ортогональныхединичных векторов (e1 , e2 , n), где n – это единичный вектор в направлении k.

Раскладывая по этому базису вектор dif , находимdif = (dif e∗1 )e1 + (dif e∗2 )e2 + (dif n)n,а также|dif |2 =X|dif e∗α |2 + |dif n|2 .α=1,2Отсюда получимX|e∗α dif |2 = |dif |2 − |dif n|2 .α=1,2Следовательно угловое распределение фотонов определяется формулойω3dwif (k) =|dif |2 − |dif n|2 dΩ.32π~cПолная вероятность перехода в единицу времени (для малых времен) получается интегрированием по всем телесным углам. Удобновоспользоваться формулой для усреднения по углам1hni nj i ≡4πI4πω 32π~c3ni nj dΩ =1δij .3ТогдаIwif =dwif (k) =1|dif |2 − |dif |2377=4ω 3 |dif |2.3~c311.6Время жизни состоянияДля произволных времен вероятность W (t) того, что атом все ещенаходится в начальном состоянии |ii, имеет следующий вид:W (t) = e−wif t = e−t/τ .Величина τ = 1/wif называется временем жизни возбужденного состояния |ii по отношению к переходу в состояние |f i.Лекция 1212.1Интегральное уравнениетеории рассеянияПостановка задачи рассеянияСформулируем задачу рассеяния.

Пусть имеется поток падающих(свободных) нерелятивистских частиц, каждая из которых обладаетимпульсомp = ~ k,направленным вдоль оси Oz. Выберем начало координат в той области,где отличен от нуля рассеивающий потенциал. Предположим, что этаобласть ограничена радиусом a, так чтоU (r) ≡ 0,если r > a.Подчеркнем, что внутри сферы радиусом a потенциал U (r) имеет произвольную форму. Требуется найти зависимость потока рассеянныхчастиц от направления рассеяния.Формально задача описывается уравнением Шредингера,Ĥψ(r) = Eψ(r),с гамильтонианомĤ =p̂2+ U (r).2mВ случае, когда E < 0, речь идет о поиске связанных состояний. Напомним, что волновая функция частицы, находящейся в связанномсостоянии, удовлетворяет следующему граничному условию:ψ(r) → 0 при r → ∞.78В нашем же случае, в задаче рассеяния, энергия положительна,E=~2 k 2> 0.2mСпрашивается: как выглядит граничное условие для ψ(r)?В задаче рассеяния волновая функция частицы, по-видимому,представляет собой суперпозицию падающей плоской волны и рассеянной волны.

Рассеянная волна на бесконечности является сферической,так как любая ограниченная область по отношению к бесконечностиможет быть принята за точку. Следовательно в асимптотике r → ∞волновая функция частицы в задаче рассеяния должна иметь видψ(r) → eikr + f (θ, φ)eikrrпри r → ∞.Сферическая волна убывает с ростом r по закону 1/r, так как вероятность обнаружить частицу (пропорциональная квадрату модуляволновой функции рассеянной частицы) в слое радиуса r меняется,очевидно, по закону 1/r2 . Углы θ и φ – это полярный и азимутальныйуглы, которыми определяется направление радиуса-вектора r. Величина f (θ, φ) называется амплитудой рассеяния. Далее в этой лекциимы докажем, что в задаче рассеяния действительно имеется решениеуравнения Шредингера с выписанной (пока только угаданной) асимптотикой.12.2Дифференциальное сечение упругогорассеянияРегистрация рассеянных частиц под углами θ и φ осуществляетсядетектором, охватывающим телесный угол dΩ.