Конспект лекций - Квантовая механика Часть 2 (Конспект лекций - Квантовая механика Часть 2.pdf), страница 5

В результате было получено уравнение Паули. В отсутствиемагнитного поля (A = 0 и H = 0) уравнение Паули переходит в обычное нерелятивистское уравнение Шредингера, 2∂φp̂i~=+ U (r) φ,∂t2mдля частицы в стационарном потенциальном поле U (r). Если, к примеру, электрон движется в поле неподвижного протона, тоU (r) = −e2.rТаким образом, согласно теории Дирака не существует никаких поправок первого порядка по v/c к энергиям стационарных состоянийатома водорода (и любой другой системы, где частица движется в стационарном поле U ).Такие поправки существуют во втором порядке по малому параметру v/c. Упростим задачу вычисления этих поправок, взяв в качестве отправной точки уравнение Дирака для релятивистской частицыв стационарном поле U (r) (магнитного поля нет, т.е. A = 0 и H = 0):i~5.2∂Ψ= ĤΨ,∂tĤ = cαp̂ + βmc2 + U (r).Уравнение для спинора φГамильтониан Ĥ не зависит от t.

Поэтому волновая функция стационарного состояния с энергией E имеет вид:−iΨE (r, t) = ψ(r)eEt~ ,где ψ(r) есть решение стационарного уравнения:cαp̂ + βmc2 + U (r) ψ(r) = Eψ(r).34Выполним преобразование этого уравнения, предполагая, что оно описывает нерелятивистскую частицу. Будем удерживать слагаемые второго порядка по v/c.В нерелятивистской области имеемE = mc2 + E 0 ,где|E 0 | mc2 .Выделим в биспиноре, как обычно, верхнюю и нижнюю компоненты,φ(r)ψ(r) =.χ(r)Распишем более подробно стационарное уравнение: 0 σφ(r)I 0φ(r)2cp̂+ mc+σ 0χ(r)0 −Iχ(r)φ(r)φ(r)+ U (r)= (mc2 + E 0 ).χ(r)χ(r)Находим систему уравнений для 2-компонентных спиноров φ(r)и χ(r):(c σ p̂ χ + mc2 φ + U φ = mc2 φ + E 0 φ,c σ p̂ φ − mc2 χ + U χ = mc2 χ + E 0 χ,или(c σ p̂ χ + U φ = E 0 φ,c σ p̂ φ = (2mc2 + E 0 − U )χ.Второе из этих уравнений можно представить в следующей форме:χ(r) =1c σ p̂ φ(r) =2mc2 + E 0 − U (r)1c σ p̂ φ(r) '2mc2 (1 + (E 0 − U (r))/2mc2 )1E 0 − U (r)'1−σ p̂ φ(r).2mc2mc2=Понятно, что|χ| |φ|,если v c,т.е.

задача сводится к определению 2-компонентного спинора φ(r).Первое уравнение системы переписываем так:1E 0 − U (r)c σ p̂1−σ p̂ φ(r) + U (r)φ(r) = E 0 φ(r).2mc2mc235Легко видеть, что1−E 0 − U (r)=2mc21−E02mc2+U (r),2mc2где первое слагаемое в правой части есть постоянная величина. Поэтому имеемE0E0σ p̂ 1 −σp̂=1−σi σj p̂i p̂j =2mc22mc2E0E0(δij + i eijk σk ) p̂i p̂j = 1 −p̂2 .= 1−2mc22mc2Мы воспользовались тем, что свертка симметричного тензора p̂i p̂j сантисимметричным тензором eijk равна нулю.Теперь уравнение для спинора φ принимает вид 2E0p̂1U (r)1−φ(r) + U (r)φ(r) +σ p̂σ p̂ φ(r) = E 0 φ(r),22mc2m2m2mc2илиp̂21+ U (r) φ(r) +σ p̂ U (r) σ p̂ φ(r) =2 c22m4m|{z}|{z}рел. поправкаĤ0p̂20φ(r).=E 1+2 2|4m{zc }рел. поправка5.3Уравнение для спинора φ̃ , нормированного наединицуНо! Все не так просто. Условие нормировки биспинора,Zhψ|ψi = ψ + ψ d3 r = 1илиZ(φ+ φ + χ+ χ) d3 r = 1,в рассматриваемом приближении должно оставаться верным с точностью до слагаемых второго порядка по v/c.

Легко видеть, что еслинижнюю компоненту биспинора взять в формеχ(r) 'σ p̂φ(r),2mc36то χ+ χ будет иметь как раз второй порядок малости по отношению кφ+ φ (то есть нет необходимости в более точных формулах, связывающих χ с φ). Условие нормировки принимает видZ σ p̂ σ p̂φ d3 r = 1,φ+ φ + φ+2mc 2mcилиZφ+ 1 +p̂24m2 c2φ d3 r = 1.Мы видим, что в рассматриваемом приближенииhφ|φi =6 1.В то же времяhφ| 1 +p̂24m2 c2|φi = 1,т.е. с точностью до слагаемых второго порядка по v/c имеем2p̂2hφ| 1 +|φi = 18m2 c2илиh 1+p̂28m2 c2φ| 1 +p̂28m2 c2φi = 1.Таким образом, естественно ввести 2-компонентную волновую функциюp̂2φ̃(r) = 1 +φ(r),8m2 c2нормированную на единицу,hφ̃|φ̃i = 1.Выведем уравнение, определяющее функцию φ̃(r).С точностью до слагаемых второго порядка функция φ выражаетсячерез функцию φ̃ следующим образом:p̂2p̂2φ̃(r)≡T̂φ̃(r),T̂=1−.φ(r) = 1 −8m2 c28m2 c2Поэтому для спинора φ̃ получим уравнение1p̂2p̂20Ĥ0 T̂ φ̃ +(σ p̂)U (r)(σ p̂)T̂ φ̃ = E 1 +1−φ̃4m2 c24m2 c28m2 c237илиĤ0 T̂ φ̃ +1p̂20(σp̂)U(r)(σp̂)T̂φ̃=Eφ̃.1+4m2 c28m2 c2Домножая это соотношение на T̂ слева, с той же точностью находимT̂ Ĥ0 T̂ φ̃ +1T̂ (σ p̂)U (r)(σ p̂)T̂ φ̃ = E 0 φ̃.4m2 c2Иными словами, мы получили стационарное уравнение Шредингера,Ĥ 0 φ̃(r) = E 0 φ̃(r),для нормированного на единицу спинора φ̃, описывающего нерелятивистскую частицу с энергией E 0 в потенциале U (r).

Гамильтониан имеет вид 2p̂1Ĥ 0 = T̂+ U (r) T̂ +T̂ (σ p̂)U (r)(σ p̂)T̂ .2m4m2 c2Задача состоит в том, чтобы выделить из этого оператора гамильтониан Ĥ0 и поправочные слагаемые второго порядка по v/c.Первое слагаемое в операторе Ĥ 0 может быть приведено к следующей форме: 2p̂T̂+ U (r) T̂ =2m2 p̂2p̂2p̂2p̂2=1−+ 1−U (r) 1 −'2m8m2 c28m2 c28m2 c2p̂2p̂2p̂2p̂2'1−+ U (r) −U (r) − U (r) 2 2 =22222m4m c8m c8m c 24p̂p̂1+ U (r) −p̂2 U (r) + U (r)p̂2 .=−32222m8m c8m cВыполним преобразование оператора p̂2 U :p̂2 U = p̂i p̂i U = p̂i (p̂i U ) + p̂i U p̂i == (p̂2 U ) + (p̂i U )p̂i + (p̂i U )p̂i + U p̂2 == (p̂2 U ) + 2(p̂i U )p̂i + U p̂2 .38Упростим теперь второе слагаемое в операторе Ĥ 0 :11T̂ (σ p̂)U (r)(σ p̂)T̂ '(σ p̂)U (r)(σ p̂) =224m c4m2 c2=1(δij + i eijk σk ) p̂i U p̂j =4m2 c21(δij + i eijk σk ) ((p̂i U )p̂j + U p̂i p̂j ) =4m2 c21=(p̂i U )p̂i + i σk eijk (p̂i U )p̂j + U p̂2 .4m2 c2=Таким образом, оператор Ĥ 0 с точностью до слагаемых второгопорядка по v/c имеет видĤ 0 = Ĥ0 −+111p̂4−(p̂2 U ) −(p̂i U )p̂i −U p̂2 +3222228m c8m c4m c4m2 c21i1(p̂i U )p̂i +σk eijk (p̂i U )p̂j +U p̂2 .22224m c4m c4m2 c2Легко видеть, что целый ряд слагаемых в полученном выражении сокращается.

Окончательный результат имеет видĤ 0 = Ĥ0 + V̂1 + V̂2 + V̂3 ,гдеV̂1 = −p̂4,8m3 c2V̂2 = −1(p̂2 U ),8m2 c2V̂3 =iσk eijk (p̂i U )p̂j4m2 c2суть релятивистские поправки к гамильтониану Ĥ0 . Влияние этих операторов на энергии стационарных состояний может быть исследованов рамках теории возмущений.5.4Физический смысл поправок второго порядкапо v/cОператор V̂1 может быть интерпретирован как релятивистская поправка к оператору кинетической энергии. В самом деле, кинетическаяэнергия K – это разность полной энергии E и энергии покоя mc2 .

В39нерелятивистском случае получимrK=pp2 c2p/mc1'+m2 c4mc2 1 +2− mc = mc21+p4p2−222m c8m4 c4p2− mc2 'm2 c2− mc2 =p4p2−.2m 8m3 c2Оператор1~2(p̂2 U ) =∆U228m c8m2 c2может быть интерпретирован как поправка к потенциальной энергии,обусловленная невозможностью точной локализации частицы (поправка Дарвина). В том, что точная локализация невозможна, убедимсяследующим образом.

Предположим, что мы устанавливаем местоположение частицы по результатам ее взаимодействия с электромагнитнойволной с частотой ω и длиной волны λ = 2πc/ω. Понятно, что неопределенность в определении координаты по порядку величины равна λ.Эта неопределенность не может быть сделана сколь угодно малой. Всамом деле, электромагнитная волна – это, с иной точки зрения, поток фотонов с энергиями ~ω.

Если ~ω достигает величины 2mc2 , то вобласти маштаба λC , гдеV̂2 = −λC = c~~=,2mcmcможет образоваться пара: частица и античастица. Величина λC называется комптоновской длиной волны частицы массой m. Таким образом, местоположение частицы не может быть установлено с точностью,лучшей чем λC .Но это означает, что характерная неопределенность потенциальнойэнергии имеет масштабδU = hU (r + ∆r) − U (r)i,где ∆r есть случайное смещение, удовлетворяющее соотношениямh∆ri = 0,h(∆r)i (∆r)j i =δijh(∆r)2 i,3(∆r)2 ' λ2C .Отсюда находим~2∆U,6m2 c2что с точностью до небольшого численного множителя согласуется свидом оператора V̂2 .δU '40Последняя поправка, V̂3 , имеет прозрачный смысл в центральномполе U = U (r). В этом случаеV̂3 =i~~U 0 (r)U 0 (r)σe(p̂U(r))p̂=σerp̂=ŝL̂,kijkijkijkij4m2 c24m2 c2r2m2 c2 rгде L̂ = [r × p̂] есть оператор орбитального момента частицы.

Оператор V̂3 называют оператором спин-орбитального взаимодействия.Происхождение этого взаимодействия можно пояснить так. Пустьчастица с зарядом e и магнитным моментом µ = (e/mc)~s движется в стационарном центральном электрическом поле, которое определяется потенциалом Φ(r), т.е. потенциальная энергия частицы естьU (r) = eΦ(r). Предположим, что в точке r частица имеет скорость vи, соответственно, угловой (орбитальный) моментL = m[r × v].Напряженность электрического поля в этой же точке равнаE = −∇Φ(r) = −Φ0 (r)r.rВ системе покоя частицы имеется магнитное поле, напряженность которого с точностью до слагаемых первого порядка по v/c определяетсяформулой1H = [E × v].cТаким образом, возникает энергия взаимодействия магнитного момента с магнитным полем,Vm = −µH =~U 0 (r)~eΦ0 (r)s[r × v] = 2 2 sL,2mc rm c rкоторая с точность до численного множителя согласуется с видом оператора V̂3 .

Напомним, что само по себе взаимодействие −µH есть эффект первого порядка по v/c, так что спин-орбитальное взаимодействие есть, в самом деле, эффект второго порядка по v/c.41Лекция 66.1Сложение угловых моментовЧастица в центральном полеВ нерелятивистской квантовой механике состояние частицы со спином s = 1/2 в центральном поле U (r) определяется решением стационарного уравнения ШредингераĤ0 φ = Eφ,Ĥ0 =p̂2+ U (r).2mПоскольку гамильтониан Ĥ0 не содержит спиновых операторов, тонормированный на единицу спинор φ,Zφ+ φ d3 r = 1,может быть представлен в виде произведения координатной волновойфункции ψ и спинора χ, не зависящего от координат,Zφ = ψχ,|ψ(r)|2 d3 r = 1, χ+ χ = 1.Гамильтониан Ĥ0 , далее, коммутирует с операторами l̂2 и ˆlz .