Конспект лекций - Квантовая механика Часть 2 (Конспект лекций - Квантовая механика Часть 2.pdf), страница 2

. .) =(En + En + En + . . . − Em=X(0)(1)(2)(cnk + cnk + cnk + . . .)Vmk .kРассматривая последовательно все слагаемые 0-го, 1-го, 2-го и т.д.порядков малости, мы запишем бесконечную последовательность равенств:(0)(0)в 0-м порядке:0)cnm = 0,(En − Emв 1-м порядке:0(1) (0)(En(0) − Em)c(1)nm + En cnm =во 2-м порядке:(En(0)······X(0)cnk Vmk ,k−0Em)c(2)nm+En(1) c(1)nm+ En(2) c(0)nm =X(1)cnk Vmk ,kЛегко видеть, что в нулевом порядке мы имеемEn(0) = En0 ,c(0)nm = δnm ,т.е.

собственные векторы |ψn i(0) = |ni и собственные значения(0)En = En0 гамильтониана Ĥ совпадают с собственными векторами исобственными значениями гамильтониана Ĥ0 (как, конечно, и должнобыть).В первом порядке имеем0(1)(En0 − Em)c(1)nm + En δnm = Vmn .Пусть n = m, тогдаEn(1) = Vnn .Пусть n 6= m, тогда0(En0 − Em)c(1)nm = Vmn⇒(1)c(1)nm =Коэффициенты cnn остались неопределенными.8Vmn.0En0 − EmВыпишем вклады нулевого и первого порядков в вектор состояния |ψn i:X (1)X (1)|ψn i ' |ψn i(0) + |ψn i(1) = |ni +cnk |ki = (1 + c(1)cnk |ki.nn )|ni +kk6=nМы видим, что новые состояния составляются из старых путем смешивания.

Условие нормировки для выписанного вектора состояния имеетвид:X (1)2hψn |ψn i = 1 ⇒ |1 + c(1)|cnk |2 = 1.nn | +k6=nЗаметим, что второе слагаемое в левой части получившегося уравнения имеет второй порядок малости. Следовательно в рассматриваемом приближении его нужно отбросить. Для условия нормировки тогда получим:2|1 + c(1)nn | = 1.(1)Это означает, что cnn = iα есть чисто мнимая величина, где α ∼ ε.Тогда с точностью до величин 1-го порядка малости вектор n-го состояния выглядит следующим образом:X (1)X (1)|ψn i = (1 + iα)|ni +cnk |ki ' eiα |ni +cnk |ki.k6=nk6=n−iαДомножая |ψn i на фазовый множитель e , для переопределенноговектора n-го состояния с той же точностью находим:X (1)|ψn i = |ni +cnk |ki.k6=nТаким образом, всегда можно принять, чтоc(1)nn = 0.Мы показали, что в 1-м порядке теории возмущений смещениеn-го энергетического уровня равно диагональному матричному элементу Vnn .

Если же Vnn = 0, то изменение энергии n-го уровня определяется поправкой 2-го порядка. В этом приближении имеем:X (1)0(1)(2)(En0 − Em)c(2)cnk Vmk .nm + Vnn cnm + En δnm =kПолагая n = m, получимEn(2) =XX |Vnk |2VknVnk =.0− EkEn0 − Ek0E0k6=n nk6=n9∗Здесь учтено, что Vkn = Vnkвследствие эрмитовости оператора V̂ .Итак, мы рассмотрели случай, когда система, описывающаяся гамильтонианом Ĥ0 , обладает невырожденным энергетическим спектром.

Полученные результаты верны, если|Vkn | |En0 − Ek0 |.1.3Случай вырожденного спектраРассмотрим теперь случай, когда спектр оператора Ĥ0 , вообще говоря, вырожден. В этом случае каждому энергетическому уровню могут соответствовать несколько векторов состояний. ПустьĤ0 |nαi = En0 |nαi,α = 1, 2, . .

. kn ,где kn есть кратность вырождения n-го энергетического уровня.Задача на собственные векторы и собственные значения гамильтониана Ĥ имеет вид:(Ĥ0 + V̂ )|ψnβ i = Enβ |ψnβ i.Ищем новые собственные векторы в виде разложений по исходнымвекторамX|ψnβ i =cnβ,kα |kαi.kαДействуя так же, как ранее, получим точные уравнения для неизвестных величин Enβ и cnβ,kα :X0(Enβ − Em)cnβ,mγ =cnβ,kα Vmγ,kα .kαИщем энергии Enβ и коэффициенты cnβ,kα в виде разложений по малому параметру ε:(0)(1)(1)Enβ = Enβ + Enβ + .

. . = En0 + Enβ + . . . ,(0)(1)(1)cnβ,kα = cnβ,kα + cnβ,kα + . . . = cβα δnk + cnβ,kα + . . .(0)(0)Здесь мы сразу выписали явный вид Enβ и cnβ,kα понимая, что внулевом приближении собственные векторы и собственные значенияоператора Ĥ совпадают с собственными векторами и собственнымизначениями оператора Ĥ0 .10В случае n = m приравнивание величин первого порядка в точныхуравнениях дает:X(1)Enβ cβγ =cβα Vnγ,nααилиX(1)(Vnγ,nα − Enβ δγα )cβα = 0.αФиксируя β, получаем систему из kn уравнений (γ = 1, 2, . .

. kn ) с knнеизвестными cβα (α = 1, 2, . . . kn ).Условие разрешимости выписанной системы,(1)det kVnγ,nα − Enβ δγα k = 0,(1)является алгебраическим уравнением kn -го порядка на Enβ . Это уравнение называется секулярным. В общем случае такое уравнение име(1)ет kn решений Enβ (β = 1, 2, . .

. kn ).Таким образом, секулярное уравнение определяет характер расщепления n-го уровня невозмущенной системы на kn подуровней поддействием возмущения V̂ . Состояние с энергией(1)Enβ ' En0 + Enβв нулевом приближении описывается векторомX|ψnβ i 'cβα |nαi.αЛекция 22.1Нестационарная теориявозмущенийПостановка задачиПусть возмущение V̂ (t) зависит от времени. Будем считать, чтовозмущение начинает действовать в момент t = 0, т.е.

V̂ (t) ≡ 0 приt < 0.2.2Внезапное возмущениеВнезапным возмущением называется случай, когда V̂ (t) меняетсяот нуля до фиксированного значения V̂ за время τ , малое по сравнению11с характерным временем изменения системы T . Для оценки времени Tвозьмем уравнение Шредингераi~∂Ψ= ĤΨ.∂tЗа малое время ∆t масштаб изменения волновой функции |∆Ψ| определяется соотношением:~|∆Ψ|∼ |Ei − Ej | |Ψ|,∆tгде |Ei − Ej | – разность характерных энергий системы. Ясно, что относительное изменение волновой функции мало,|∆Ψ|∆t|Ei − Ej |∼ 1,|Ψ|~если время ∆t незначительно по сравнению с характерным временемизменения системы. Отсюда получаем порядковую оценку времени T :∆t ~∼ T.|Ei − Ej |Пусть при t = 0 система находится в стационарном состоянии |ii,т.е.|Ψ(0)i = |ii.За время τ T волновая функция не успевает заметно измениться,поэтому:|Ψ(τ )i ' |Ψ(0)i = |ii.С другой стороны, при t > τ система описывается гамильтонианомĤ 0 = Ĥ0 + V̂ ,а ее стационарные состояния определяются собственными векторами |ψk0 i этого гамильтониана.

Разложим |Ψ(τ )i по полному ортонормированному базису |ψk0 i:X|Ψ(τ )i =ak |ψk0 i.kКоэффициент разложенияak = hψk0 |Ψ(τ )i ' hψk0 |iiесть не что иное, как амплитуда вероятности перехода из i-го стационарного состояния исходной системы в k-ое стационарное состояниеизмененной системы.122.3Обобщение на случай произвольного τЕсли время τ не мало, то для определения вектора состояния |Ψ(t)iнужно решать уравнение Шредингера,∂|Ψ(t)i= (Ĥ0 + V̂ (t))|Ψ(t)i,∂tс начальным условием:|Ψ(0)i = |ii.i~Ищем |Ψ(t)i в виде разложения|Ψ(t)i =Xak (t)|ki e−iEk0 t~kпо стационарным состояниям системы, описывающейся гамильтонианом Ĥ0 .

При этом в силу начального условия:ak (0) = δik .Подстановка выписанного разложения в уравнение Шредингера дает:i~Xȧk (t)|ki e−iEk0 t~+Xk−iak (t)|ki Ek0 eEk0 t~=k=Xak (t)Ĥ0 |ki e−iEk0 t~k+Xak (t)V̂ (t)|ki ekПоскольку Ĥ0 |ki = Ek0 |ki, то после сокращений получимi~Xȧk (t)|ki e−iEk0 t~=Xkak (t)V̂ (t)|ki e−iEk0 t~ .kПроецируя это соотношение на hn|, находим:i~ ȧn (t) e−i0Ent~=Xak (t)Vnk (t) e−iEk0 t~,kгде Vnk (t) = hn|V̂ (t)|ki, или00(E −En )t−i kiX~ȧn (t) = −ak (t)Vnk (t) e.~k13−iEk0 t~.Мы получили систему линейных дифференциальных уравненийпервого порядка для неизвестных амплитуд an (t), n = 1, 2, . . .

Есливозмущение мало,hV̂ (t)i ∼ εhĤ0 i,ε 1,то система может быть решена методом последовательных приближений.Представим каждую неизвестную амплитуду в виде ряда по малому параметру ε:(1)(2)an (t) = a(0)n (t) + an (t) + an (t) + . . . ,где верхний индекс указывает на порядок малости, т.е., например,(2)an ∼ ε2 . В частности, для начальных условий имеем(1)(2)an (0) = a(0)n (0) + an (0) + an (0) + · · · = δni .Следовательноa(0)n (0) = δni ,a(1)n (0) = 0,a(2)n (0) = 0,...Подставим выписанные разложения в систему дифференциальныхуравнений:0(1)ȧ(0)n (t) + ȧn (t) + .

. . = −0(E −En )t−i ki X (0)(1)~.(ak (t) + ak (t) + . . .)Vnk (t) e~kПриравнивая величины одного порядка малости друг другу, в нулевомпорядке находим:ȧ(0)n (t) = 0a(0)n (t) = const.⇒Следовательно(0)a(0)n (t) = an (0) = δni .Далее, в первом порядке имеем0ȧ(1)n (t) = −0(E −En )t−i ki X (0)~ak (t)Vnk (t) e.~k(0)Но ak (t) = δki , поэтому0(Ei0 −En)t ȧ(1) (t) = − i Vni (t) e−i~,n~ a(1) (0) = 0.n14Решение записывается в виде интегралаa(1)n (t)2.4i=−~Zt0Vni (t ) e−i0 0(Ei0 −En)t~dt0 .0Возмущение, действующее в течение конечноговремениРассмотрим случай, когда возмущение V̂ (t) действует в течениеконечного времени или быстро затухает при t → +∞. В этом случаеa(1)n (+∞) = −i~+∞0Z(E 0 −En)t−i i~dt.Vni (t) e0Таким образом, вероятность перехода из i-го состояния в n-е состояниев 1-м порядке нестационарной теории возмущений равна +∞2Z0(Ei0 −En)t−i1 2~ .w(i → n) = |a(1)(+∞)|=V(t)edtnin2~ 0Пусть возмущение V̂ (t) плавно меняется за время действия τ , значительно превосходящее характерное время изменения системы T , т.е.τ|Ei0~∼ T.− En0 |Легко видеть, что в этом случае вероятность перехода w(i → n) мала.Такое медленно меняющееся возмущение называют адиабатическим.2.5Периодическое возмущениеРассмотрим важный класс возмущений, описывающихся гармоническими функциями времени.