Конспект лекций - Квантовая механика Часть 2 (Конспект лекций - Квантовая механика Часть 2.pdf), страница 4

Это означает, что диагонализованные (с помощью подходящих унитарных матриц) матрицы αi0 и β 0 , могут иметь на главной диагонали только числа ±1.Покажем, наконец, что след искомых матриц равен нулю. Напомним, что след матрицы A,XSp A =Aii ,iэто сумма ее диагональных элементов. Если след вычисляется от произведения матриц, то матрицы под знаком следа можно переставлять,а именно,!X XX XSp (AB) =Aij Bji  =Bji Aij = Sp (BA).ijjiИтак, домножаяαi β = −βαiслева на матрицу β, получимβαi β = −αi .СледовательноSp (αi ) = −Sp (βαi β) = −Sp (αi ββ) = −Sp (αi )Аналогичным образом, домножаяαi β = −βαiслева на матрицу αi , находимβ = −αi βαi ,23⇒Sp (αi ) = 0.откудаSp (β) = −Sp (αi βαi ) = −Sp (αi αi β) = −Sp (β)⇒Sp (β) = 0.Заметим, что след матрицы нечувствителен к унитарному преобразованию, то есть, например,Sp (αi0 ) = Sp (U αi U + ) = Sp (αi U + U ) = Sp (αi ) = 0.Таким образом, принимая во внимание, что на главной диагонали матриц αi0 и β 0 стоят только числа ±1, мы приходим к выводу: матрицыαi и β могут иметь только четную размерность.Простейшими матрицами четной размерности являются матрицы2 × 2.

Такими матрицами являются, например, матрицы Паули,0 10 −i1 0σ1 =, σ2 =, σ3 =.1 0i 00 −1Матрицы Паули эрмитовы (σi+ = σi ) и удовлетворяют следующим соотношениям:σi2 = 1, σi σj = −σj σi (i 6= j).Однако матриц Паули всего три. В то же время для построения релятивистского уравнения необходимы четыре матрицы α1 , α2 , α3 и β.Берем матрицы 4 × 4. Искомые матрицы в блочной форме (т.е. выраженные через матрицы–блоки размерности 2 × 2) имеют следующийвид (стандартное представление):0 σI 0α=, β=,σ 00 −Iгде I – единичная матрица.3.5Плотность тока вероятности в теории ДиракаИтак, уравнение Дирака для свободной частицы,i~∂Ψ= (cαp̂ + βmc2 )Ψ ≡ ĤΨ,∂tэто матричное уравнение, решением которого является столбецΨ1 Ψ2 Ψ= Ψ3 Ψ424из четырех функций Ψ1 , Ψ2 , Ψ3 и Ψ4 , называемый биспинором.

Заметим, что эрмитово сопряженный биспинор – это строкаΨ+ = (Ψ∗1 Ψ∗2 Ψ∗3 Ψ∗4 ).Уравнение Дирака по построению является дифференциальнымуравнением первого порядка по времени в согласии с постулатом Iквантовой механики. Выясним теперь, к какому уравнению непрерывности приводит уравнение Дирака. Для этого, как и раньше, домножим уравнение для Ψ,i~∂Ψ= −i~cα∇Ψ + mc2 βΨ,∂tна Ψ+ слева. В то же время уравнение для Ψ+ ,−i~∂Ψ+= i~c(∇Ψ+ )α + mc2 Ψ+ β,∂tдомножим на Ψ справа. Затем, вычитая из первого второе, находим:∂Ψ++ ∂Ψi~ Ψ+Ψ = −i~c(Ψ+ α(∇Ψ) + (∇Ψ+ )αΨ).∂t∂tИли∂ρ+ div j = 0,∂tгдеρ = Ψ+ Ψ = |Ψ1 |2 + |Ψ2 |2 + |Ψ3 |2 + |Ψ4 |2 > 0есть положительно определенная плотность вероятности, аj = cΨ+ αΨесть плотность тока вероятности.Условие нормировки имеет видZΨ+ Ψ d3 r = 1.R325Лекция 44.1Уравнения Дирака и ПаулиРешение уравнения Дирака для свободнойчастицыУравнение Дирака для свободной релятивистской частицы,i~∂Ψ= ĤΨ,∂tĤ = cαp̂ + βmc2 ,имеет тот же вид, что и уравнение Шредингера.

Поэтому так же, какв нерелятивистском случае, стационарное состояние с энергией E описывается волновой функциейΨE (r, t) = ψE (r) e−iEt~,где ψE (r) есть собственная функция оператора Ĥ,ĤψE (r) = EψE (r).Построим решение уравнения Дирака для свободной частицы сэнергией E, т.е. решим стационарное уравнениеcαp̂ + βmc2 ψE (r) = EψE (r).Поскольку операторы Ĥ и p̂ коммутируют,[cαp̂ + βmc2 , p̂] = 0,то в качестве ψE (r) можно взять собственную функцию оператора импульса, а именно,iψE (r) = u epr~,гдеu1 u2 φu=≡,u3 χu4φ=u1u2,χ=u3u4,есть биспинор, компонентами которого являются постоянные величины.Подставляя предложенное решение в стационарное уравнение,pr i pricαp̂ + βmc2 u e ~ = E u e ~ ,26получим систему алгебраических уравнений для четырех компонентбиспинора u,cαp + βmc2 u = E uилиcp0σσ0φχ+ mc2I00−Iφχ=Eφχ.Для 2-компонентных постоянных спиноров φ и χ возникает системаиз двух уравнений,(cpσχ + mc2 φ = Eφ,cpσφ − mc2 χ = Eχ.Приведение подобных слагаемых дает((mc2 − E)φ + cpσχ = 0,−cpσφ + (mc2 + E)χ = 0.Условие разрешимости этой системы имеет вид mc2 − Ecσp det =02 −cσpmc + E или(m2 c4 − E 2 ) + c2 (σp)(σp) = 0.Выполним преобразование (пользуясь свойствами матриц Паули):(σp)(σp) = σi σj pi pj = (δij + ieijk σk )pi pj = p2 + iσk eijk pi pj .В силу того, что тензор pi pj симметричен, а тензор eijk антисимметричен по индексам i и j, их свертка обращается в нуль.

Поэтому условиеразрешимости принимает видm2 c4 − E 2 + p2 c2 = 0.Таким образом, для энергии E свободной частицы с импульсом p находимpE = ± p2 c2 + m2 c4 .ПустьE=pp2 c2 + m2 c4 > 0,27тогдаχ=1cpσφ ,+Emc2так что|χ| |φ|,если cp E ' mc2или v c.Следовательно в нерелятивистском случае мы, фактически, имеем дело с 2-компонентным спинором, а не с биспинором, pr−EtiφΨ(r, t) 'e ~ .0В нерелятивистской квантовой механике 2-компонентные спиноры используются для описания частиц со спином 1/2.

Таким образом, мыприходим к выводу, что уравнение Дирака есть релятивистское уравнение для частицы со спином 1/2.Заметим, что если взять отрицательное значение энергииpE = − p2 c2 + m2 c4 < 0,тоφ=−1cpσχ.mc2 + |E|При этом|φ| |χ|,если cp |E| ' mc2 ,т.е.Ψ(r, t) '0χeipr−Et~.Таким образом, нижние компоненты биспинора необходимы для описания свободно движущихся частиц с отрицательными энергиями.Существование решений с отрицательными энергиями позволилоДираку выдвинуть гипотезу о существовании античастиц.

Это предсказание теории было подтверждено экспериментами (для всех частицсо спином 1/2 обнаружены античастицы). Суть этой идеи состоит втом, что вакуум – это такое состояние, что все уровни с отрицательными энергиями заняты частицами, а все уровни с положительнымиэнергиями – свободны. Тогда переход частицы из состояния с отрицательной энергией E1 < 0 в состояние с положительной энергиейE2 > 0 интерпретируется как рождение пары – частицы с энергией E2и античастицы с энергией |E1 |. Обратный переход из состояния с положительной энергией E2 > 0 в состояние с отрицательной энергиейE1 < 0, в котором выделяется энергия |E1 |+E2 , интерпретируется каканигиляция (взаимное уничтожение) частицы и античастицы.284.2Уравнение Дирака для частицы во внешнемполеРассмотрим релятивистскую частицу с зарядом e в электромагнитном поле. Функция Лагранжа этой частицы имеет видrv2e2L = −mc 1 − 2 − eΦ + Av,ccгде Φ(r, t) и A(r, t) – скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля.

Обобщенный импульс частицы определяется формулойP=∂Le= p + A,∂vcp= pmv1 − v 2 /c2,тогда как для обобщенной (полной) энергии получимε=v∂L− L = E + eΦ,∂vE=pmc21 − v 2 /c2.Релятивистская связь между энергией и импульсом свободной частицы,E 2 = p2 c2 + m2 c4 ,переходит в связь между обощенной энергией и обобщенным импульсом релятивистской частицы во внешнем поле,e 22(ε − eΦ) = P − A + m2 c4 .cСоответственно естественно предположить, что при наличии электромагнитного поля уравнение Клейна–Гордона принимает вид2e 2∂i~ − eΦ Ψ = c2 −i~∇ − A Ψ + m2 c4 Ψ.∂tcУравнение Дирака для свободной частицы было получено в результате линеаризации уравнения Клейна–Гордона.

Предполагая, что таже линеаризация справедлива и при наличии электромагнитного поля, находим∂e i~ − eΦ Ψ = cα −i~∇ − A Ψ + βmc2 Ψ∂tcилиi~∂Ψe = cα −i~∇ − A Ψ + βmc2 Ψ + eΦΨ.∂tc29Таким образом, уравнение для волновой функции релятивистской частицы со спином 1/2 во внешнем электромагнитном поле выглядитточно так же, как уравнение Шредингера,i~∂Ψ= ĤΨ,∂tно гамильтониан в данном случае имеет видe Ĥ = cα −i~∇ − A + βmc2 + eΦ.c4.3Уравнение ПаулиРассмотрим нерелятивистский предел, когда энергия E положительна и мало отличается от энергии покоя частицы mc2 . Представимволновую функцию в форме:Ψ(r, t) = e−imc2 t~φ(r, t)χ(r, t).Подстановка в уравнение Дирака дает2 −imc emc2 t φ~χ+ i~ e2e −i mc~= cα p̂− A ec−itmc2 t~φχ∂∂t φ=χ2 −i+ βmc emc2 t φ~χ+ eΦ e−i2mc2 t φ~.χСократим, далее, общий множитель e−imc t/~ и перепишем полученноеуравнение, пользуясь явными выражениями для матриц α и β, ∂ φφ2mc+ i~=χ∂t χ e φ0 σ I 0φφ+ mc2+ eΦ.=cp̂− Aσ 0χ0 −IχχcПолучим системуe ∂φ2=cσp̂−A χ + mc2 φ + eΦφ,mcφ+i~∂tc∂χe mc2 χ + i~= cσ p̂ − A φ − mc2 χ + eΦχ∂tc30или∂φe i~=cσA χ + eΦφ,p̂−∂tc 2mc2 χ + i~ ∂χ = cσ p̂ − e A φ + eΦχ.∂tcОбратимся ко второму уравнению в этой системе.

В нерелятивистском случае ∂χ 22|eΦ| mc ,i~ ∂t mc |χ|.Поэтому с точностью до членов первого порядка по малому параметру v/c находимe σ p̂ − Acχ'φ,2mc|χ| |φ|.Иными словами, в нерелятивистском приближении биспинорΨ(r, t) 'φ(r, t)0e−imc2 t~полностью определяется спинором φ(r, t).Подставляя в первое уравнение системы приближенное выражениедля χ, мы получим уравнение для спинора φ, справедливое с точностью до членов первого порядка по v/c, а именно,e ∂φe σ p̂ − c Ai~= cσ p̂ − Aφ + eΦφ.∂tc2mcВыполним преобразование:e e e e σ p̂ − A σ p̂ − A = σi σj p̂i − Ai p̂j − Aj =cccce e = (δij + iσk eijk ) p̂i − Ai p̂j − Aj =cc2eeee2= p̂ − A + iσk eijk p̂i p̂j − p̂i Aj − Ai p̂j − 2 Ai Aj .ccccЗаметим, чтоp̂i Aj = −i~(∇i Aj (r, t)) + Aj p̂i .31Все слагаемые, представляющие собой свертки симметричных тензоров p̂i p̂j , (Aj p̂i +Ai p̂j ) и Ai Aj с антисимметричным тензором eijk , обращаются в нуль.

Соответственно результат преобразования имеет видe e σ p̂ − A σ p̂ − A =cc ee 2= p̂ − A + iσk eijk − (−i~(∇i Aj )) =cc2ee~= p̂ − A −σH,ccгде H = rot A – это напряженность магнитного поля.Таким образом, мы получили уравнение для 2-компонентной волновой функции φ нерелятивистской частицы со спином 1/2 во внешнемэлектромагнитном поле,e 2Ap̂−∂φe~ci~=φ−σH φ + eΦφ,∂t2m2mcкоторое называется уравнением Паули. Уравнение Паули имеет тот жевид, что и уравнение Шредингера,i~∂φ= Ĥφ,∂tно гамильтониан Паули,e 2p̂ − Ae~cĤ =−σH + eΦ,2m2mcпредставляет собой оператор полной энергии частицы со спином 1/2во внешнем электромагнитном поле.В стационарном электрическом поле, когда A = 0 и H = 0, гамильтонианp̂2+ U (r)Ĥ =2mимеет привычный вид, гдеU (r) = eΦ(r)есть потенциальная энергия частицы с зарядом e.32Слагаемое в гамильтониане Паули, пропорциональное σH, естественно интерпретировать как энергию взаимодействия магнитногомомента с магнитным полем.

Посколькуŝ =σ2есть оператор спина, то−e~e~σH = −ŝH = −µ̂H.2mcmcТаким образом, оператор магнитного момента частицы определяетсяформулойe~ee~σ=ŝ =(~ ŝ).µ̂ =2mcmcmcВ общем случае коэффициент пропорциональности между вектором магнитного момента M и вектором углового момента L называется гиромагнитным отношением. Для системы частиц с массами miи зарядами ei (i = 1, 2, . .

. N ) векторы M и L имеют видM=X ei[ri × vi ],2ciL=Xmi [ri × vi ].iЛегко видеть, что если ei /mi = e/m = const, т.е. если отношение заряда к массе для всех частиц одинаково, тоM=eL,2mcгде коэффициент пропорциональности e/2mc называют нормальнымгиромагнитным отношением.Согласно уравнению Паули (полученному из уравнения Дирака)коэффициент пропорциональности между магнитным моментом µ̂ исобственным угловым моментом (спином) ~ ŝ частицы равен e/mc,т.е. вдвое превышает нормальное гиромагнитное отношение. Соответственно величину e/mc часто называют аномальным гиромагнитнымотношением.33Лекция 55.1Релятивистские поправкивторого порядка по v/cПостановка задачиНа предыдущей лекции мы осуществили преобразование уравненияДирака, предполагая, что оно описывает нерелятивистскую частицу.При этом мы удерживали слагаемые первого порядка по малому параметру v/c.