Конспект лекций - Квантовая механика Часть 2 (Конспект лекций - Квантовая механика Часть 2.pdf), страница 3

Таково, к примеру, возмущение, связанное со взаимодействием атома с полем плоской электромагнитной волны (фотоэффект). В силу эрмитовости гамильтониана оператор возмущения в общем случае может быть представлен в формеV̂ (t) = V̂ e−iωt + V̂ + eiωt .15В 1-м порядке нестационарной теории возмущений амплитуда перехода из i-го состояния в n-е состояние имеет видa(1)n (t)i= − Vni~Zte−i0(Ei0 −En+~ω)t0~0i ∗dt − Vin~0Zte−i0(Ei0 −En−~ω)t0~dt0 ,0∗где Vni = hn|V̂ |ii и Vin= hn|V̂ + |ii.

Вычисляя интегралы и принимаяво внимание начальные условия, находимa(1)n (t) = Vnie−i0(Ei0 −En+~ω)t~−i0(Ei0 −En−~ω)t~−1−1∗ e+ Vin.Ei0 − En0 + ~ωEi0 − En0 − ~ωОбратимся для наглядности к фотоэффекту. До взаимодействия спеременным электромагнитным полем электрон находится в стационарном состоянии |ii с энергией Ei0 . После поглощения фотона с энергией ~ω электрон переходит в одно из состояний непрерывного спектрас энергиейEf = Ei0 + ~ω.(1)Легко видеть, что амплитуда an (t) перехода в состояние с энергией En0действительно резко возрастает, еслиEn0 ' Ei0 + ~ω.(1)В этом случае первое слагаемое в формуле для an (t) линейно растетсо временем,t∼ Vni ,~тогда как второе слагаемое имеет масштаб∼∗Vin.− En0 ||Ei0Если время действия возмущения t велико по сравнению с характерным временем изменения системы T , т.е.t~∼ T,|Ei0 − En0 |(1)то вторым слагаемым в формуле для an (t) можно пренебречь, такчто0(Ei0 −En+~ω)t0(Ei0 −En+~ω)tsin−i2~2~.a(1)n (t) = −2i Vni eEi0 − En0 + ~ω16Введем обозначения:Ef = Ei0 + ~ω,∆n = En0 − Ef .Тогда для вероятности перехода из i-го состояния в n-е состояние получим:222 sin (∆n t/2~)wi→n (t) = |a(1)(t)|=4|hn|V̂|ii|.n∆2nЗависимость wi→n (t) от конечной энергии ∆n (отсчитанной от Ef )представлена на рисунке.wi→n (t)- 6π~t- 4π~t- 2π~t2 26 |hn|V̂~|ii|2t2π~t04π~t6π~t∆nМы видим, что к моменту времени t характерное отличие конечнойэнергии En0 от энергии Ef определяется формулой2π~' ∆n .tВ общем случае вводят соотношение∆t ∆E ' 2π~ ,связывающее время действия возмущения ∆t и характерную неопределенность энергии системы ∆E.

Этот результат иногда называют соотношением неопределенности для времени и энергии.Предположим, что имеется плотное множество конечных состояний, т.е. на интервал энергий от En0 до En0 +∆En0 приходится ρ(En0 )∆En0состояний. Функция ρ(E) называется плотностью конечных состояний.Тогда полная вероятность перехода из начального i-го состояния в одно из конечных состояний определяется интеграломZPi→f (t) = wi→n (t)ρ(En0 ) dEn0 .Поскольку матричный элемент hn|V̂ |ii и плотность конечных состояний ρ(En0 ) являются медленными функциями энергии En0 , то+∞Z2Pi→f (t) = 4|hf |V̂ |ii| ρ(Ef )−∞17sin2 (∆n t/2~)d∆n .∆2nВводя безразмерную переменную интегрирования∆n t,2~x=легко находим:2t|hf |V̂ |ii|2 ρ(Ef )Pi→f (t) =~+∞Z−∞sin2 x2πtdx =|hf |V̂ |ii|2 ρ(Ef ).2x~Вероятность перехода прямо пропорциональна времени действиявозмущения.

Этот результат, однако, получен в рамках теории возмущений, т.е. справедлив лишь до тех пор, покаPi→f (t) 1.Соответственно удобно ввести вероятность перехода в единицу времениPi→f (t)wi→f =.tВ 1-м порядке нестационарной теории возмущений для этой вероятности получено:2πwi→f =|hf |V̂ |ii|2 ρ(Ef ).~Это соотношение называется правилом Ферми.Заметим, что правило Ферми для вероятности перехода в единицу времени справедливо и в случае, когда в момент времени t = 0 насистему накладывается постоянное (не зависящее от времени) возмущение V̂ (V̂ + = V̂ в силу эрмитовости гамильтониана). В этом случаеω = 0, так что Ef = Ei0 .Пусть W (t) – это вероятность того, что система к произвольному(не обязательно малому) моменту времени t продолжает находиться вначальном i-м состоянии. Понятно, что W (0) = 1.

Для малого промежутка времени ∆t имеемW (t + ∆t) = W (t)(1 − wi→f ∆t).В пределе ∆t → 0 получим дифференциальное уравнениеdW= −wi→f W (t).dtЕго решение имеет следующий вид (закон радиоактивного распада):W (t) = e−wi→f t = e−tτ,τ=1wi→f.Величина τ называется временем жизни начального состояния.18Лекция 33.1Релятивистские квантовыеуравненияНерелятивистское уравнение ШредингераВ нерелятивистской квантовой механике волновая функция частицы, движущейся в потенциале U (r), определяется уравнением Шредингера, 2∂Ψp̂i~=+ U (r) Ψ.∂t2mФормально это уравнение может быть получено из нерелятивистскойформулы для полной энергии частицы,E=p2+ U (r),2mесли ввести соответствиеE → i~3.2∂,∂tp → p̂ = −i~∇.Уравнение Клейна–ГордонаПредположим, что в релятивистском случае имеется точно такоеже соответствие между классическими величинами и дифференциальными операторами. В отсутствие внешнего поля соотношение междуэнергией и импульсом имеет видE 2 = p2 c2 + m2 c4 .Выполняя соответствующие подстановки, получим уравнение Клейна–Гордона,∂2Ψ−~2 2 = (−~2 c2 ∆ + m2 c4 )Ψ.∂tУравнение Клейна–Гордона обладает рядом особенностей, которыевыводят его за рамки привычных представлений о квантовой механике.

Во-первых, уравнение Клейна–Гордона содержит вторую производную волновой фукции по времени. Это означает, что состояниесистемы определяется не только волновой функцией начального состояния, но и ее первой производной по времени. Возникает расхождениес постулатом I квантовой механики в том его широком толковании,которое было использовано при введении уравнения Шредингера. Вовторых, уравнение Клейна–Гордона, так же как уравнение Шредингера, приводит к уравнению непрерывности для некоторой плотности ρ и19некоторого тока j. Покажем, что ρ не является положительно определенной величиной, т.е. не может быть интерпретирована как плотностьвероятности.Именно, домножая уравнение Клейна–Гордона−~2∂2Ψ= −~2 c2 ∆Ψ + m2 c4 Ψ∂t2на Ψ∗ , а комплексное сопряженное уравнение Клейна–Гордона−~2∂ 2 Ψ∗= −~2 c2 ∆Ψ∗ + m2 c4 Ψ∗∂t2на Ψ, и вычитая второе из первого, найдем:2∂ 2 Ψ∗2∗∂ Ψ−~ Ψ−Ψ= −~2 c2 (Ψ∗ ∆Ψ − Ψ∆Ψ∗ ).∂t2∂t2Приведем левую и правую части к следующему виду:∂Ψ∗1 ∂∗ ∂ΨΨ−Ψ= ∇(Ψ∗ ∇Ψ − Ψ∇Ψ∗ ).c2 ∂t∂t∂tОт этого соотношения нетрудно перейти к искомому уравнению непрерывности,∂ρ+ div j = 0.∂tВ нерелятивистской квантовой механике плотность тока вероятности определяется формулойj=~(Ψ∗ ∇Ψ − Ψ∇Ψ∗ ).2miТаким образом, переписывая полученное уравнение в следующем виде,1 ∂∂Ψ∗2mi∗ ∂Ψ− 2Ψ−Ψ+div j = 0,c ∂t∂t∂t~мы, фактически, приходим к уравнению непрерывности.

Величина ρопределяется формулойi~∂Ψ∗∗ ∂Ψρ=Ψ−Ψ.2mc2∂t∂tЛегко видеть, что эта величина не является положительно определенной.203.3Уравнение ДиракаДирак предложил другое уравнение для волновой функции релятивистской частицы. Он руководствовался следующими соображениями:1) уравнение должно быть первого порядка по времени;2) время (точнее, переменная x0 = ct) и координаты (x1 = x, x2 = y,x3 = z) должны входить в уравнение симметричным образом.Тогда уравнение для свободной частицы массой m в самой общейформе имеет вид∂Ψ∂Ψ∂Ψ∂Ψmc+A+B+C+DΨ = 0.∂(ct)∂x∂y∂z~В последнее слагаемое введены фундаментальные постоянные c и ~так, что величина mc/~ имеет размерность обратной длины (~/mc –это комптоновская длина волны для частицы массой m).Приводя полученное уравнение к виду∂Ψ∂Ψ∂Ψ∂Ψi~= −i~c α1+ α2+ α3+ βmc2 Ψ,∂t∂x∂y∂zмы обнаруживаем аналогию с нерелятивистским уравнением Шредингера,∂Ψi~= ĤΨ.∂tВ качестве гамильтониана в данном случае выступает оператор∂∂∂Ĥ = −i~c α1+ α2+ α3+ βmc2∂x∂y∂zилиĤ = cαp̂ + βmc2 ,p̂ = −i~∇.Для определения неизвестных коэффициентов αi и β подействуемна полученное уравнение оператором i~(∂/∂t).

Тогда∂∂Ψ∂ ∂Ψi~i~= i~ĤΨ = Ĥ i~= Ĥ 2 Ψ,∂t∂t∂t∂tто есть∂2Ψ= Ĥ 2 Ψ.∂t2Естественно предположить, что это уравнение второго порядка является уравнением Клейна–Гордона. Следовательно−~2Ĥ 2 = −~2 c2 ∆ + m2 c4 .21Подставляя в это условие выражение для оператора Ĥ,(cαi p̂i + βmc2 )(cαi p̂i + βmc2 ) = −~2 c2 ∆ + m2 c4 ,мы, в частности, находим, что слагаемое в левой части, линейное по p̂i ,т.е. пропорциональное (αi β +βαi )p̂i , должно обращаться в нуль.

Такимобразом,αi β + βαi = 0 ⇒ αi β = −βαi .Это означает, что αi и β не могут быть действительными или комплексными числами. Но они могут быть, например, матрицами.3.4Матрицы ДиракаДля определения вида этих матриц вернемся к оператору Ĥ 2 :(−i~cαi ∇i + βmc2 )(−i~cαj ∇j + βmc2 ) == −~2 c2 αi αj ∇i ∇j − i~ mc3 (αi β + βαi )∇i + m2 c4 β 2 .Первое слагаемое в правой части удобно переписать в симметризованной формеαi αj ∇i ∇j ≡αi αj ∇i ∇j + αj αi ∇j ∇iαi αj + αj αi=∇i ∇j .22Таким образом, требуемое равенствоĤ 2 = −~2 c2 ∆ + m2 c4имеет место, если матрицы–коэффициенты удовлетворяют следующим условиям: α α +α αj i i j= δij ,2β 2 = 1,αi β + βαi = 0.Воспользуемся, далее, тем, что оператор ГамильтонаĤ = cαp̂ + βmc2является эрмитовым. Это означает, что матрицы αi и β также должныбыть эрмитовыми,αi+ = αi , β + = β.22Напомним, что любая эрмитовая матрица всегда может быть диагонализована с помощью подходящей унитарной матрицы.

Т.е., например,для матрицы αi , всегда может быть подобрана такая унитарная матрица U (U + U = 1), что αi0 = U αi U + есть диагональная матрица.Теперь заметим, что в соответствии с первыми двумя условиямисистемы,( 2αi = 1,β 2 = 1,собственными значениями матриц αi и β являются числа ±1.