Конспект лекций - Квантовая механика Часть 2 (Конспект лекций - Квантовая механика Часть 2.pdf), страница 6

Поэтому волновая функция ищется в формеψ(r) = R(r)Ylm (θ, ϕ),гдеYlm (θ, ϕ) = hθ, ϕ|lmiесть собственный вектор операторов l̂2 и ˆlz в координатном представлении (сферическая гармоника). Напомним, чтоl̂ =L̂[r × p̂]== −i[r × ∇]~~есть обезразмеренный оператор орбитального момента. В качестве спинора χ обычно выбирают собственный вектор |sσi операторов ŝ2 и ŝz .Можно рассуждать иначе. Поскольку гамильтониан Ĥ0 нерелятивистской частицы в центральном поле коммутирует с операторами l̂2 ,ˆlz , ŝ2 и ŝz , то собственный вектор Ĥ0 естественно искать в классе собственных векторов этих операторов, так чтоφ = R(r)|lmi|sσi.42На предыдущей лекции мы показали, что имеются релятивистскиепоправки к гамильтониану частицы в центральном поле, а именно:Ĥ = Ĥ0 + V̂1 + V̂2 + V̂3 ,гдеV̂1 = −p̂4,8m3 c2V̂2 =~2∆U (r),8m2 c2V̂3 =~2 U 0 (r)ŝl̂.2m2 c2 rЛегко видеть, что поправки V̂1 и V̂2 сохраняют центральный характер гамильтониана, т.е.

коммутируют с операторами l̂2 , ˆlz , ŝ2 и ŝz . Ноэто не так для оператора V̂3 или, как его еще иначе называют, дляоператора спин-орбитального взаимодействияV̂3 ≡ Ûs. o. = f (r) ŝl̂,f (r) =~2 U 0 (r).2m2 c2 rВ самом деле,[ŝl̂, l̂2 ] = [ŝx ˆlx + ŝy ˆly + ŝz ˆlz , l̂2 ] = 0,т.к. [ˆli , l̂2 ] = 0,и аналогично[ŝl̂, ŝ2 ] = [ŝx ˆlx + ŝy ˆly + ŝz ˆlz , ŝ2 ] = 0,т.к.

[ŝi , ŝ2 ] = 0.В то же время[(ŝl̂), ˆlz ] = [ŝx ˆlx , ˆlz ] + [ŝy ˆly , ˆlz ] + [ŝz ˆlz , ˆlz ] = −iŝx ˆly + iŝy ˆlx 6= 0,| {z }0а также[(ŝl̂), ŝz ] = [ŝx ˆlx , ŝz ] + [ŝy ˆly , ŝz ] + [ŝz ˆlz , ŝz ] = −iŝy ˆlx + iŝx ˆly 6= 0.| {z }0Заметим, однако, что, сложив две последние формулы, мы получим[ŝl̂, ŝz + ˆlz ] = 0.Естественно, поэтому, ввести операторj = s + l,который имеет смысл оператора полного углового момента. Мы доказали, что[Ûs. o. , l̂2 ] = 0,[Ûs.

o. , ŝ2 ] = 0,43[Ûs. o. , ĵz ] = 0.Итак, гамильтониан частицы в центральном поле с учетом релятивистских поправок можно представить в видеĤ = Ĥ00 + Ûs. o. ,где Ĥ00 есть центральная часть гамильтониана, коммутирующая с операторами l̂2 , ˆlz , ŝ2 и ŝz . Очевидно, что Ĥ00 коммутирует с оператором ĵz .Таким образом, гамильтониан Ĥ коммутирует с операторами l̂2 , ŝ2и ĵz . Убедимся теперь в том, что Ĥ коммутирует также с оператором ĵ2 .Этот оператор может быть представлен в формеĵ2 = (ŝ + l̂)2 = ŝ2 + 2ŝl̂ + l̂2 .Коммутация с l̂2 и ŝ2 уже доказана.

Далее, оператор Ĥ00 коммутируетс оператором ŝl̂ = ŝx ˆlx + ŝy ˆly + ŝz ˆlz просто потому, что коммутирует с каждым из операторов ˆli и ŝj по отдельности. В то же времяоператор ŝl̂ – это и есть оператор Ûs. o. с точностью до центральногомножителя f (r). Поэтому[Ĥ, ĵ2 ] = 0.Итак, гамильтониан Ĥ частицы в центральном поле U (r), включающий в себя релятивистские поправки, коммутирует с операторами l̂2 ,ŝ2 , ĵ2 и ĵz .

Следовательно возникает задача сложения угловых моментов, т.е. поиска собственных векторов операторов ĵ2 и ĵz .6.2Постановка общей задачиПусть имеются две системы с угловыми моментами j1 и j2 , соответственно. Каждая из систем определена в собственном конфигурационном пространстве, поэтому[ĵ1i , ĵ2j ] = 0,для ∀ i, j .Состояние первой системы определяется собственными векторами|j1 m1 i операторов ĵ21 и ĵ1z ,ĵ21 |j1 m1 i = j1 (j1 + 1)|j1 m1 i,ĵ1z |j1 m1 i = m1 |j1 m1 i,где m1 = j1 , j1 −1, . . . , −j1 . Аналогичным образом для второй системыимеемĵ22 |j2 m2 i = j2 (j2 + 1)|j2 m2 i,44ĵ2z |j2 m2 i = m2 |j2 m2 i,где m2 = j2 , j2 − 1, . .

. , −j2 .Объединенная система, «1 + 2», характеризуется набором коммутирующих операторов ĵ21 , ĵ1z , ĵ22 и ĵ2z . Соответственно состояния объединенной системы описываются векторами|j1 m1 j2 m2 i ≡ |j1 m1 i|j2 m2 i.Их всего (2j1 + 1)(2j2 + 1) штук.Введем оператор полного углового момента систем 1 и 2ĵ = ĵ1 + ĵ2 .Возникает новый набор коммутирующих операторов: ĵ21 , ĵ22 , ĵ2 и ĵz .Пусть |jm(j1 j2 )i – это набор общих собственных векторов этих операторов,ĵ21 |jm(j1 j2 )i = λ1 |jm(j1 j2 )i,ĵ22 |jm(j1 j2 )i = λ2 |jm(j1 j2 )i,ĵ2 |jm(j1 j2 )i = j(j + 1)|jm(j1 j2 )i,ĵz |jm(j1 j2 )i = m|jm(j1 j2 )i,где собственные значения λ1 , λ2 , j(j + 1) и m нам пока неизвестны. Наданном этапе мы можем быть уверены только в том, что j – это, каклюбой другой угловой момент, целое или полуцелое число, и что прификсированном j проекция m пробегает значения: j, j − 1, .

. . , −j.Задача сложения угловых моментов состоит в том, чтобы по известным j1 и j2 , а также по известным |j1 m1 i и |j2 m2 i, установить,во-первых, значения j (и, конечно, λ1 и λ2 ) и, во-вторых, вид векторов состояний |jm(j1 j2 )i ≡ |jmi (известные значения j1 и j2 обычноопускают при записи собственных векторов операторов ĵ2 и ĵz ).6.3Коэффициенты Клебша–ГорданаНеизвестные векторы состояний |j m (j1 j2 )i всегда могут бытьпредставлены в виде разложений по известному базису |j1 m1 i|j2 m2 i,а именноX jm|jm(j1 j2 )i =Cj1 m1 j2 m2 |j1 m1 i|j2 m2 i.m1 ,m2называются коэффициентамиКоэффициенты разложения Cjjm1 m 1 j2 m 2Клебша–Гордана. Действуя на эти разложения операторами ĵ21 и ĵ22 ,легко устанавливаем их собственные значения:λ1 = j1 (j1 + 1),λ2 = j2 (j2 + 1).45Дальнейшее исследование разобьем на пункты.1) Воспользуемся тем, что ĵz = ĵ1z + ĵ2z .

Действуя оператором ĵzна левую часть выписанного разложения, а оператором ĵ1z + ĵ2z – направую часть, находимX jmm|jmi =Cj1 m1 j2 m2 (m1 + m2 )|j1 m1 i|j2 m2 i.m1 ,m2Откуда следует, что≡ 0,Cjjm1 m1 j2 m2если m 6= m1 + m2 ,или, иначе,Cjjm6= 0,1 m 1 j2 m 2только если m = m1 + m2 .Это означает, что суммирование в разложении реально осуществляется только по одному индексу,X jm|jmi =Cj1 m1 j2 (m−m1 ) |j1 m1 i|j2 m − m1 i.m12) С одной стороны, mmax = jmax . C другой стороны, mmax =m1max + m2max = j1 + j2 .

Следовательно, jmax = j1 + j2 .Легко понять, что при j = jmax и m = mmax = jmax разложение сводится к одному единственному слагаемому, в котором m1 = m1max = j1и m2 = m2max = j2 ,2 j1 +j2|jmax jmax i = Cjj11j+j|j1 j1 i|j2 j2 i1 j2 j2⇒2 j1 +j2Cjj11j+j= 1.1 j2 j23) Установим теперь значение jmin . Естественно предположить, чтоjmin = |j1 − j2 |. Докажем это следующим образом. Пусть j2 ≤ j1 иjmin = j1 − j2 . Тогда общее количество собственных векторов |jmiопределяется суммойjX1 +j2(2j + 1) = 2j=j1 −j2= 2 (2j2 + 1)jX1 +j2j+j=j1 −j2jX1 +j2=j=j1 −j2(j1 − j2 ) + (j1 + j2 )+ (2j2 + 1) = (2j1 + 1)(2j2 + 1).2Так, конечно, и должно быть.46Итак, мы установили, что собственные векторы операторов ĵ21 , ĵ22 ,ĵ и ĵz определяются разложениямиX jm|jmi =Cj1 m1 j2 m2 |j1 m1 i|j2 m2 i.2m1 ,m2При этом число j (полный угловой момент объединенной системы)меняется от |j1 − j2 | до j1 + j2 , т.е.

возможными значениями j являются |j1 − j2 |, |j1 − j2 | + 1, . . . , j1 + j2 . Для каждого фиксированного jпроекция m полного углового момента на ось z принимает значенияj, j − 1, . . . , −j. Таким образом, задача сложения угловых моментовполностью сводится к определению численных значений коэффициентов Клебша–Гордана.

Одно из этих значений нам уже известно,2 j1 +j2= 1.Cjj11j+j1 j2 j2Для установления всех остальных значений может быть использованспособ, который мы продемонстрируем на примере, когда j1 = 1/2 иj2 = 1/2.6.4Пример: сложение моментов 1/2 и 1/2Вычислим коэффициенты Клебша–Гордана для случая, когдаскладываются угловые моменты (спины) s1 = 1/2 и s2 = 1/2. Собственные векторы операторов ŝ21 , ŝ1z , ŝ22 и ŝ2z имеют вид11| σ1 i| σ2 i,2211σ1 = ± , σ2 = ± .22|{z}всего 4 вектораПустьŜ = ŝ1 + ŝ2 ,тогда собственными векторами операторов ŝ21 , ŝ22 , Ŝ2 и Ŝz являются|SSz i,S = 0, Sz = 0,|S = 1, Sz = 1, 0, −1 .{z}новые 4 вектораПо общему правилу новые векторы состояний выражаются черезстарые векторы состояний следующим образом:|SSz i =Xσ1 ,σ211zC SS| σ1 i| σ2 i.112 σ1 2 σ2 2247Удобно ввести сокращенные обозначения для спиноров:α=|11i,22β=|11− i.22Известно, чтоC 111 11 12 2 2 2= 1.Поэтому вектор |11i имеет вид|11i = |11 11i| i ≡ α(1)α(2).22 22Для определения других коэффициентов Клебша–Гордана введем оператор пониженияŜ− = Ŝx − iŜy = (ŝ1x + ŝ2x ) − i(ŝ1y + ŝ2y ) = ŝ1− + ŝ2−и подействуем этим оператором на состояние |11i,1 11 11 11 1Ŝ− |1 1i = ŝ1− |i |i+|i ŝ2− |i .2 22 22 22 2Напомним, что ранее из коммутационных соотношений для операторов углового момента было получено:pĵ± |j mi = (j ∓ m)(j ± m + 1) |j m ± 1i.Пользуясь этой формулой, находимp√Ŝ− |11i = (1 + 1)(1 − 1 + 1) |10i = 2 |10i,а также11ŝ1− | i =22r1 1 1 11111( + )( − + 1) | − i = | − i.2 2 2 22222Таким образом, имеем1 1111 1111|10i = √| − i| i + | i| − i ≡2 2222 222 21≡ √ (β(1)α(2) + α(1)β(2)) .2Это означает, чтоC 11 0− 121 12 2 2= C 11 0112 2 248− 121=√ .2Подействуем теперь оператором Ŝ− на вектор состояния |10i, 111111111Ŝ− |10i = √| − i ŝ2− | i + ŝ1− | i | − i .22222222 2В левой части получимp√Ŝ− |10i = (1 + 0)(1 − 0 + 1) |1 − 1i = 2 |1 − 1i,тогда как правая часть примет вид√ 1111 1111 111 11√| − i| − i + | − i| − i = 2 | − i| − i.2 2222 2222 222 2Следовательно|1 − 1i = |11 11− i| − i ≡ β(1)β(2),22 22то естьC 11 −1−1212 2− 12= 1.Таким образом, мы получили явные выражения для векторов состояний с полным спином S = 1,|1 1i = α(1)α(2),1|1 0i = √ (α(1)β(2) + β(1)α(2)) ,2|1 − 1i = β(1)β(2).Найдем теперь те коэффициенты Клебша–Гордана, которые определяют вектор состояния с полным спином S = 0,|00i = C 01 0112 2 2− 12 α(1)β(2)+ C 001−121 12 2 2β(1)α(2).Нужно учесть, во-первых, условие нормировки,2 h00|00i = 1 ⇒ C 01 01 1 − 1 + C 01 0− 12 2 2221 12 2 22 = 1,и, во-вторых, условие ортогональности уже построенным векторам состояний, т.е., в частности,h10|00i = 0⇒1√ C 01 012 224912− 121+ √ C 01 0− 12 2 21 12 2= 0.Из этих двух условий находимC 01 0112 2 2− 12= − C 01 0− 121 12 2 21=√ .2Итак, переход к новым базисным векторам происходит по следующим правилам:1|00i = √ (α(1)β(2) − β(1)α(2)) ,2|11i = α(1)α(2),1|10i = √ (α(1)β(2) + β(1)α(2)) ,2|1 − 1i = β(1)β(2).Лекция 77.1Тождественные частицы.Гелиеподобный атомСимметрия волновой функции тождественныхчастицВолновая функция одной частицы со спином s, Ψ(r, σ), имеетсмысл амплитуды вероятности найти частицу в точке r с проекцией σ спина на выбранное направление (ось z).