Конспект лекций - Квантовая механика Часть 2 (Конспект лекций - Квантовая механика Часть 2.pdf), страница 9

тем больше релятивистскиепоправки к гамильтониану атома.Заметим, что разность энергий соседних уровней в тонкой структуре терма равна∆EJ ≡ EJ − EJ−1 = AJ(J + 1) − J(J − 1)= AJ ,2так что∆EJ ∼ J.Этот результат называется правилом интервалов Ланде.Лекция 99.1Атом в магнитном полеГамильтониан сложного атома в магнитномполеРассмотрим атом в однородном и постоянном магнитном поле H.Это магнитное поле может быть описано векторным потенциалом1[H × r], div A(r) = 0.2Гамильтониан i-го электрона имеет видe 2p̂i − Aie~cĤ(i) =+ Ui (ri ) −ŝi H, Ai = A(ri ).2mmcПреобразуя первое слагаемое гамильтониана, находимe 2eee2p̂i − Ai = p̂2i − p̂i Ai − Ai p̂i + 2 A2i .ccccЗдесьp̂i Ai = −i~ (∇i A(ri )) + Ai p̂i ,A(r) =и, так как div A = 0, тоee2ee2e 2p̂i − Ai = p̂2i − 2 Ai p̂i + 2 A2i = p̂2i − [H × ri ] p̂i + 2 A2i =ccccc= p̂2i −ee2e~e2[ri × p̂i ] H + 2 A2i = p̂2 −l̂i H + 2 A2i .cccc63Таким образом, гамильтониан атома в магнитном поле выглядитследующим образом:X p̂2e~e2e~i2Ĥ =−l̂i H +A + Ui (ri ) −ŝi H + Ûs.o.

=2m 2mc2mc2 imciX p̂2i+ Ui (ri ) + Ûs.o. + V̂ ,=2miгде V̂ есть оператор взаимодействия атома с магнитным полем,e~ Xe~ Xe2 X 2l̂i H −ŝi H +Ai =2mc imc i2mc ie~e~e2 X 2=−L̂H −ŜH +Ai =2mcmc2mc ie2 X 2Ai .= µB (L̂ + 2Ŝ)H +2mc iV̂ = −ЗдесьµB =(−e)~>02mcесть магнетон Бора.Внешнее поле H, как правило, мало по сравнению с полями внутри атома. Поэтому, по-видимому, можно пренебречь теми слагаемымив операторе V̂ , которые квадратичны по A и, следовательно, по H,оставив только линейные по H члены. Направляя ось z вдоль H, дляоператора V̂ находимV̂ = µB H(L̂z + 2Ŝz ).Далее расмотрим два случая – слабое поле и сильное поле.9.2Слабое поле (эффект Зеемана)Магнитное поле называется слабым, если энергия взаимодействияатома с полем мала по сравнению с расщеплением уровней тонкойструктуры терма,µB H |EJ − EJ−1 |.Напомним, что каждый уровень тонкой структуры обладает энергиейEJ = E + ∆EJ ,64которая складывается из энергии терма E = E(L, S) и сдвига ∆EJ ,обусловленного спин-орбитальным взаимодействием Ûs.o.

. В отсутствие магнитного поля каждый уровень тонкой структуры вырожденпо квантовому числу Jz . В магнитном поле уровни тонкой структуры расщепляются (эффект Зеемана). При этом в слабом поле можнопренебречь смешиванием уровней тонкой структуры под действиеммагнитного поля.В данном случае удобно представить гамильтониан атома,X p̂2iĤ =+ Ui (ri ) + Ûs.o. + V̂ ,2mi|{z}Ĥ0в виде суммы оператора Ĥ0 и возмущения V̂ .

Собственные векторы|EJ JJz (LS)i гамильтониана Ĥ0 описывают уровни тонкой структурытерма в отсутствие магнитного поля. Если оператор V̂ диагонален вбазисе|JJz i = |EJ JJz (LS)i,то каждое состояние |JJz i смещается на энергию (поправку 1-го порядка к энергии EJ ):∆EJJz = hJJz |V̂ |JJz i.Для матрицы оператора V̂ в базисе |JJz i имеемhJJz |V̂ |JJz0 i = µB HhJJz |L̂z + 2Ŝz |JJz0 i == µB HhJJz |Jˆz + Ŝz |JJz0 i = µB H Jz δJz Jz0 + hJJz |Ŝz |JJz0 i .Пользуясь свойствами коэффициентов Клебша-Гордана, легко установить, что оператор Ŝz диагонален в базисе |JJz i. В самом деле,XX JJ 0JJzhJJz |Ŝz |JJz0 i =CLLCLLz0z SSz0 hLz Sz |Ŝz |L0z Sz0 i =z SSz=XLz ,SzL0z ,Sz0JJz0JJzCLLz SSz CLLz SSz Sz = δJz Jz0Lz ,SzXJJz(CLL)2 Sz .z SSzLz ,SzТаким образом, матрицаXhJJz |V̂ |JJz0 i = µB H Jz +Lz ,Sz65JJz(CLL)2 Sz  δJz Jz0z SSzдействительно диагональна.Мы видим, что сдвиг ∆EJJz состояния |JJz i зависит от среднегозначения Sz ,XJJz(CLL)2 Sz ,hJJz |Ŝz |JJz i =z SSzLz ,Szв этом состоянии.

Явное выражение для этого среднего значения можно получить следующим образом.Ясно, что в состоянии |JJz i среднее значение вектора спина S прямо пропорционально среднему значению вектора полного углового момента J,hJJz |Ŝ|JJz i = C hJJz |Ĵ|JJz i,или, иначе,hJJz |Ŝα |JJz i = C hJJz |Jˆα |JJz i,α = x, y или z.Естественно предположить, что тот же численный множитель C входит в соотношениеhJJz |Jˆα Ŝα |JJz i = C hJJz |Jˆα Jˆα |JJz i,связывающее средние значения JS и J2 . Но из определенияĴ = L̂ + Ŝлегко получить:Ĵ − Ŝ = L̂⇒Ĵ2 − 2ĴŜ + Ŝ2 = L̂2 ,так чтоĴ2 + Ŝ2 − L̂2.2Поэтому коэффициент C определяется выражениемĴŜ =C=J(J + 1) + S(S + 1) − L(L + 1).2J(J + 1)СледовательноhJJz |Ŝz |JJz i =J(J + 1) + S(S + 1) − L(L + 1)Jz .2J(J + 1)Для сдвига энергии находимJ(J + 1) + S(S + 1) − L(L + 1)∆EJJz = µB HJz 1 +2J(J + 1)66или∆EJJz = µB Hg(J)Jz ,гдеg(J) = 1 +J(J + 1) + S(S + 1) − L(L + 1)2J(J + 1)есть фактор Ланде.Интервалы между расщепленными подуровнями определяются величинойµB Hg(J),т.е.

эти интервалы, вообще говоря, различны для уровней тонкойструктуры с разными J. Чтобы подчеркнуть удивительность этогорезультата, говорят об аномальном эффекте Зеемана. Если по какимлибо причинам g(J) = 1, так что интервалы между состояниями равныµB H, то эффект Зеемана называют нормальным.9.3Сильное поле (эффект Пашена–Бака)Рассмотрим теперь случай сильного поля, когдаµB H |EJ − EJ−1 |,то есть оператор взаимодействия атома с полем V̂ существенно превосходит оператор спин-орбитального взаимодействия Ûs.o. . Тогда вгамильтониане атома,X p̂2iĤ =+ U (ri ) + Ûs.o. + V̂ ,2miоператором Ûs.o. можно пренебречь.

Следовательно гамильтониан атома в сильном магнитном поле принимает видX p̂2iĤ =+ Ui (ri ) +V̂ ,2mi|{z}Ĥ0гдеV̂ = µB H(L̂z + 2Ŝz ).Легко установить, что возмущение V̂ диагонально в базисе собственных векторов|Lz Sz i = |ELLz SSz i67оператора Ĥ0 . В самом деле,hLz Sz |V̂ |L0z Sz0 i = µB HhLz Sz |L̂z + 2Ŝz |L0z Sz0 i == µB H(Lz + 2Sz )δLz L0z δSz Sz0 .Поэтому каждое состояние |Lz Sz i сдвигается на энергию∆ELz Sz = hLz Sz |V̂ |Lz Sz i = µB H(Lz + 2Sz ).Таким образом, в сильном магнитном поле интервалы между расщепленными подуровнями равны µB H (эффект Пашена–Бака).9.4Диамагнетизм инертных газовУ атомов инертных газов полностью заполнены электронные оболочки, поэтому в основном состоянииS = 0,L = 0,J = 0.Оператор взаимодействия атома с магнитным полем выглядит следующим образом:V̂ = µB H(L̂z + 2Ŝz ) +e2 X 2Ai .2mc2 iЛегко видеть, что первое слагаемое в операторе V̂ в 1-м и 2-м (в действительности, в любом) порядках теории возмущений не приводит ксдвигу основного состояния атома.

Следовательно изменение энергииосновного состояния определяется вторым слагаемым в V̂ , квадратичным по H. В 1-м порядке теории возмущений находим∆E = hΨS=L=J=0 |=e2 X 1[H × ri ]2 |ΨS=L=J=0 i =2mc2 i 4e2 H 2 XχH 222hΨ|rsinθ|Ψi≡−,0i0i8mc2 i2гдеχ=−e2 XhΨ0 |ri2 sin2 θi |Ψ0 i < 04mc2 iесть диамагнитная восприимчивость атома инертного газа.68Лекция 1010.1Основы квантовой теорииизлученияКвантовое описание свободногоэлектромагнитного поляВ классической физике электромагнитное поле описывается с помощью скалярного потенциала φ(r, t) и векторного потенциала A(r, t).В случае, когда поле свободно, удобно воспользоваться следующимикалибровочными условиями:φ = 0,div A = 0.Напряженности электрического и магнитного полей определяютсяформулами1 ∂AE=−, H = rot A.c ∂tКак было показано в лекции о квантовании электромагнитного поля, векторному потенциалу A(r, t) сопоставляется операторrX 2π~c2∗ −ikrA(r, t) → Â(r) =âλ eα eikr + â+.λ eα eVωλПри этом среднее значение векторного потенциала в момент времени tв точке r определяется, как обычно, матричным элементомhA(r, t)i = hΨ(t)|Â(r)|Ψ(t)i,где |Ψ(t)i – вектор состояния электромагнитного поля.В формуле для Â(r) суммирование ведется по модам λ поля в объеме V .

Каждая мода определяется совокупностью значений (k, eα ),где k – это волновой вектор, а eα – единичный вектор поляризации(eα e∗α0 = δαα0 ). Волна в каждой моде поперечна, eα ⊥ k, поэтому индекс α принимает только два значения: α = 1, 2. Частота волны ωоднозначно определяется длиной волнового вектора: ω = kc. Периодические граничные условия приводят к квантованию составляющихволнового вектора:kx =2πnx ,Lxky =2πny ,Lykz =2πnz ,Lzгде Lx , Ly и Lz – это длины сторон прямоугольного параллелепипедас объемом V = Lx Ly Lz , а nx , ny и nz – целые числа.69Оператор Гамильтона для свободного электромагнитного поля имеет видXX1ĤF =ĤF λ =~ω(â+λ âλ + ),2λλâ+λпри этом операторы âλ иудовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:0âλ , â+λ0 = δλλ .Гамильтониан каждой моды ĤF λ выглядит так же, как гамильтониан линейного гармонического осциллятора.

Соответственно решениястационарного уравнения Шредингера для ĤF λ хорошо известны, аименно:ĤF λ |nλ i = EF λ |nλ i,1EF λ = ~ω(nλ + ),2nλ = 0, 1, 2 . . .Операторы â+λ и âλ называются операторами рождения и уничтожения, поскольку√√â+nλ + 1 |nλ + 1i, âλ |nλ i = nλ |nλ − 1i.λ |nλ i =Величину nλ удобно интерпретировать как число фотонов в моде λ.Эту величину называют также числом заполнения моды.Собственный вектор |ΨF i оператора ĤF в общем случае имеет следующий вид:Y|ΨF i =|nλ i ≡ |{nλ }i.λЕму отвечает энергия свободного электромагнитного поля, равнаяEF =Xλ1~ω(nλ + ).2Мы видим, что числа заполнения nλ всех мод полностью определяютстационарное состояние свободного электромагнитного поля.10.2Атом в классическом электромагнитном полеПусть атом находится в классическом электромагнитном поле, которое задается векторным потенциалом A(r, t) таким, чтоdiv A(r, t) = 0.70Гамильтониан атома имеет вид!2Xp̂j − ec AjĤ =+ Uj (rj ) + µB σ j Hj + Ûs.o.